2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.1-2.2.2 第1課時 等差數(shù)列的概念及通項公式學(xué)案 蘇教版必修5.docx

第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的定義，會用定義判斷和證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.2.會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式，能運用等差數(shù)列的通項公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差中項的概念知識點一等差數(shù)列的概念思考給出以下三個數(shù)列：(1)0,5,10,15,20；(2)4,4,4,4，；(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.它們有什么共同的特征？答案從第2項起，每項與它的前一項的差是同一個常數(shù)梳理一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，可正可負可為零知識點二等差中項的概念思考下列所給的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的數(shù)分別為3,2,0，.梳理如果三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，且A.知識點三等差數(shù)列的通項公式思考對于等差數(shù)列2,4,6,8，有a2a12，即a2a12；a3a22，即a3a22a122；a4a32，即a4a32a132.試猜想ana1()2.答案n1梳理若一個等差數(shù)列an，首項是a1，公差為d，則ana1(n1)d.此公式可用累加法證明1若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列()2任意兩個實數(shù)都有等差中項()3從通項公式可以看出，若等差數(shù)列的公差d>0，則該數(shù)列為遞增數(shù)列()4若三個數(shù)a，b，c滿足2bac，則a，b，c一定成等差數(shù)列()類型一等差數(shù)列的判定與證明命題角度1根據(jù)前幾項判定數(shù)列是否為等差數(shù)列例1判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？(1)9,7,5,3,2n11,；(2)1,11,23,35,12n13,；(3)1,2,1,2,；(4)1,2,4,6,8,10,；(5)a,a,a,a,a,.考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用解由等差數(shù)列的定義得(1)，(2)，(5)為等差數(shù)列，(3)，(4)不是等差數(shù)列反思與感悟判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷該數(shù)列的每一項減去它的前一項差是否為同一個常數(shù)跟蹤訓(xùn)練1下列數(shù)列是等差數(shù)列的是_(填序號)5,5,5,5,5；3,7,11,15,19；2，1,0,2,4,6.考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案命題角度2用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列例2已知數(shù)列an的通項公式an2n5.求證an是等差數(shù)列考點等差數(shù)列的判定題點證明數(shù)列是等差數(shù)列證明an2n5，an12(n1)5.an1an2(n1)5(2n5)2，nN*，an是公差為2的等差數(shù)列反思與感悟為了確保從第二項起，每一項減前一項的差始終是同一個常數(shù)當(dāng)證明項數(shù)較多或者無窮的數(shù)列為等差數(shù)列時，不宜逐項驗證，而需證an1and.跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列an中，an2n，求證lnan為等差數(shù)列考點等差數(shù)列的判定題點證明數(shù)列是等差數(shù)列證明lnan1lnanlnlnln2.nN*，lnan是公差為ln2的等差數(shù)列類型二等差中項例3在1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用解1，a，b，c,7成等差數(shù)列，b是1與7的等差中項，b3.又a是1與3的等差中項，a1.又c是3與7的等差中項，c5.該數(shù)列為1,1,3,5,7.反思與感悟在等差數(shù)列an中，由定義有an1ananan1(n2，nN*)，即an，從而由等差中項的定義知，等差數(shù)列從第2項起的每一項都是它前一項與后一項的等差中項跟蹤訓(xùn)練3若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用解由m和2n的等差中項為4，得m2n8.又由2m和n的等差中項為5，得2mn10.兩式相加，得mn6.所以m和n的等差中項為3.類型三等差數(shù)列通項公式的求法及應(yīng)用命題角度1基本量(a1，d，n，an)知其中三個求其余例4在等差數(shù)列an中，已知a612，a1836，求通項公式an.考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項解由題意可得解得d2，a12.an2(n1)22n.反思與感悟根據(jù)通項公式把已知量和未知量之間的關(guān)系列為方程求解的思想方法，稱為方程思想跟蹤訓(xùn)練4(1)求等差數(shù)列8,5,2，的第20項；(2)判斷401是不是等差數(shù)列5，9，13，的項，如果是，是第幾項？考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項解(1)由a18，a25，得da2a1583，由n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得這個數(shù)列的通項公式為an5(n1)(4)4n1.由題意，令4014n1，得n100，即401是這個數(shù)列的第100項命題角度2等差數(shù)列的實際應(yīng)用例5某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，那么需要支付多少車費？考點等差數(shù)列的應(yīng)用題題點等差數(shù)列的應(yīng)用題解根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元所以，可以建立一個等差數(shù)列an來計算車費令a111.2，表示4km處的車費，公差d1.2，那么當(dāng)出租車行至14km處時，n11，此時a1111.2(111)1.223.2.即需要支付車費23.2元反思與感悟在實際問題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要確認(rèn)首項、項數(shù)等關(guān)鍵因素跟蹤訓(xùn)練5在通常情況下，從地面到10km高空，高度每增加1km，氣溫就下降某一個固定數(shù)值如果1km高度的氣溫是8.5，5km高度的氣溫是17.5，求2km，4km,8km高度的氣溫考點等差數(shù)列的應(yīng)用題題點等差數(shù)列的應(yīng)用題解用an表示自下而上各高度氣溫組成的數(shù)列，由題意可知，數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.則a18.5，a517.5，由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5，an156.5n.a22，a411，a837，即2km,4km,8km高度的氣溫分別為2，11，37.1下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是_(填序號)1,1,1,1,1; 4,7,10,13,16；，1，；3，2，1,1,2.考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案2已知等差數(shù)列an的通項公式an32n，則它的公差d_.考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案2解析由等差數(shù)列的定義，得da2a1112.3已知在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則B_.考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用答案60解析因為A，B，C成等差數(shù)列，所以B是A，C的等差中項，則有AC2B，又因為ABC180，所以3B180，從而B60.4已知等差數(shù)列5，2,1，則該數(shù)列的第20項為_考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案52解析公差d2(5)3，a205(201)d519352.5已知等差數(shù)列1，1，3，5，89，則它的項數(shù)是_考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案46解析d112，設(shè)89為第n項，則891(n1)d1(n1)(2)，n46.1判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法：(1)an1and(d為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列(2)2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(3)anknb(k，b為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列但若要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個反例即可2由等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首項a1和公差d，就可以求出通項公式，反過來，在a1，d，n，an四個量中，只要知道其中任意三個量，就可以求出另一個量一、填空題1.1與1的等差中項是_考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用答案解析設(shè)等差中項為a，則有a.2在數(shù)列an中，a12,2an12an1，則a101_.考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案52解析因為2an12an1，a12，所以數(shù)列an是首項a12，公差d的等差數(shù)列，所以a101a1100d210052.3若ab，則等差數(shù)列a，x1，x2，b的公差是_考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點等差數(shù)列公差有關(guān)問題答案解析由等差數(shù)列的通項公式，得ba(41)d，所以d.4已知在等差數(shù)列an中，a3a822，a67，則a5_.考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項答案15解析設(shè)an的首項為a1，公差為d，根據(jù)題意得解得a147，d8.所以a547(51)(8)15.5等差數(shù)列20,17,14,11，中第一個負數(shù)項是第_項考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案8解析a120，d3，an20(n1)(3)233n，a720，a81<0.6若5，x，y，z,21成等差數(shù)列，則xyz_.考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用答案39解析5，x，y，z,21成等差數(shù)列，y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項5212y，y13，xz2y26，xyz39.7一個等差數(shù)列的前4項是a，x，b,2x，則_.考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用答案解析b是x,2x的等差中項，b，又x是a，b的等差中項，2xab，a，.8已知在等差數(shù)列an中，a7a916，a41，則a12_.考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項答案15解析由得a12a111d1115.9若一個等差數(shù)列的前三項為a,2a1,3a，則這個數(shù)列的通項公式為_考點等差數(shù)列的通項公式題點求通項公式答案an1，nN*解析a(3a)2(2a1)，a.這個等差數(shù)列的前三項依次為，d，an(n1)1，nN*.10現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_升考點等差數(shù)列的應(yīng)用題題點等差數(shù)列的應(yīng)用題答案解析設(shè)此等差數(shù)列為an，公差為d，則解得a5a14d4.11在等差數(shù)列an中，若a184，a280，則使an0，且an1<0的n_.考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案22解析公差da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令即21<n22.又nN*，n22.二、解答題12在數(shù)列an中，a11，an12an2n，設(shè)bn.(1)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用(1)證明由已知an12an2n，得bn11bn1.又b1a11，因此bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)知數(shù)列bn的通項公式為bnn，又bn，所以數(shù)列an的通項公式為ann2n1.13已知等差數(shù)列an：3,7,11,15，.(1)135,4m19(mN*)是an中的項嗎？試說明理由；(2)若ap，aq(p，qN*)是數(shù)列an中的項，則2ap3aq是數(shù)列an中的項嗎？并說明你的理由考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用解由題可知，a13，d4，則ana1(n1)d4n1.(1)令an4n1135，n34，135是數(shù)列an的第34項令an4n14m19，則nm5N*，4m19是數(shù)列an的第m5項(2)ap，aq是數(shù)列an中的項，ap4p1，aq4q1.2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1，其中2p3q1N*，2ap3aq是數(shù)列an的第2p3q1項三、探究與拓展14已知在數(shù)列an中，a11，an1ananan1(n2，nN*)，則a10_.考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案解析易知an0，數(shù)列an滿足an1ananan1(n2)，1(n2)，故數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，1910，a10.15已知數(shù)列an滿足：a110，a25，anan22(nN*)，求數(shù)列an的通項公式考點等差數(shù)列的通項公式題點求通項公式解由anan22知，an的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列當(dāng)n2k1時，2kn1，a2k1a1(k1)(2)122k，an12(n1)11n(n為奇數(shù))當(dāng)n2k時，a2ka2(k1)(2)52k272k.an7n(n為偶數(shù))an