高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第7章學(xué)案37

精品資料學(xué)案37數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題自主梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法叫歸納法根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法2數(shù)學(xué)歸納法設(shè)Pn是一個與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題P1(或P0)成立；(2)在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以斷定Pn對一切正整數(shù)成立3數(shù)學(xué)歸納法公理(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值_時命題成立(2)(歸納遞推)假設(shè)_時命題成立，證明當(dāng)_時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立自我檢測1用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1aa2an1 (a1)”在驗證n1時，左端計算所得的項為_2如果命題P(n)對于nk (kN*)時成立，則它對nk2也成立，又若P(n)對于n2時成立，則下列結(jié)論中正確的序號有_P(n)對所有正整數(shù)n成立；P(n)對所有正偶數(shù)n成立；P(n)對所有正奇數(shù)n成立；P(n)對所有大于1的正整數(shù)n成立3證明<1<n1(n>1)，當(dāng)n2時，中間式子等于_4用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n21對于n>n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取_5在數(shù)列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列an的前n項和)，則S2，S3，S4分別為_；由此猜想Sn_.探究點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1對于nN*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2)變式遷移1用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的nN*,1.探究點二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式>均成立變式遷移2已知m為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>1時，(1x)m1mx.探究點三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN*時，an1(a1)2n1能被a2a1整除變式遷移3用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正整數(shù)時，f(n)32n28n9能被64整除從特殊到一般的思想例(14分)已知等差數(shù)列an的公差d大于0，且a2、a5是方程x212x270的兩根，數(shù)列bn的前n項和為Tn，且Tn1bn.(1)求數(shù)列an、bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，試比較與Sn1的大小，并說明理由【答題模板】解(1)由已知得，又an的公差大于0，a5>a2，a23，a59.d2，a11，an1(n1)22n1.2分Tn1bn，b1，當(dāng)n2時，Tn11bn1，bnTnTn11bn，化簡，得bnbn1，4分bn是首項為，公比為的等比數(shù)列，即bnn1，an2n1，bn.6分(2)Snnn2，Sn1(n1)2，.以下比較與Sn1的大小：當(dāng)n1時，S24，<S2，當(dāng)n2時，S39，<S3，當(dāng)n3時，S416，<S4，當(dāng)n4時，S525，>S5.9分猜想：n4時，>Sn1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n4時，已證假設(shè)當(dāng)nk (kN*，k4)時，>Sk1，即>(k1)2.11分那么，nk1時，3>3(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1>(k1)12S(k1)1，nk1時，>Sn1也成立由可知nN*，n4時，>Sn1都成立綜上所述，當(dāng)n1,2,3時，<Sn1，當(dāng)n4時，>Sn1.14分【突破思維障礙】1歸納猜想證明是高考重點考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律2數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決【易錯點剖析】1嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個步驟書寫，特別是對初始值的驗證不可省略，有時要取兩個(或兩個以上)初始值進(jìn)行驗證；初始值的驗證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)2在進(jìn)行nk1命題證明時，一定要用nk時的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)學(xué)歸納法：先證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk (kN*，kn0)時命題成立，并證明當(dāng)nk1時命題也成立，那么就證明了這個命題成立這是因為第一步首先證明了n取第一個值n0時，命題成立，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)，至少kn0時命題成立，由假設(shè)合理推證出nk1時命題也成立，這實質(zhì)上是證明了一種循環(huán)，如驗證了n01成立，又證明了nk1也成立，這就一定有n2成立，n2成立，則n3成立，n3成立，則n4也成立，如此反復(fù)以至無窮，對所有nn0的整數(shù)就都成立了2(1)第步驗證nn0使命題成立時n0不一定是1，是使命題成立的最小正整數(shù)(2)第步證明nk1時命題也成立的過程中一定要用到歸納遞推，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，在第二步時，正確的證法是_(填序號)假設(shè)nk(kN*)時命題成立，證明nk1命題成立；假設(shè)nk(k是正奇數(shù))時命題成立，證明nk1命題成立；假設(shè)n2k1 (kN*)時命題成立，證明nk1命題成立；假設(shè)nk(k是正奇數(shù))時命題成立，證明nk2命題成立2已知f(n)，則f(n)中共有_項；當(dāng)n2時，f(2)_.3如果命題P(n)對nk成立，則它對nk1也成立，現(xiàn)已知P(n)對n4不成立，則下列結(jié)論正確的是_(填序號)P(n)對nN*成立；P(n)對n>4且nN*成立；P(n)對n<4且nN*成立；P(n)對n4且nN*不成立4(2010泰州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上_.5(2010淮南調(diào)研)若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_6用數(shù)學(xué)歸納法證明“123n321n2 (nN*)”時，從nk到nk1時，該式左邊應(yīng)添加的代數(shù)式是_7(2010南京模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>的過程中，由nk推導(dǎo)nk1時，不等式的左邊增加的式子是_8凸n邊形有f(n)條對角線，凸n1邊形有f(n1)條對角線，則f(n1)f(n)_.二、解答題(共42分)9(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明11n (nN*)10(14分)數(shù)列an滿足an>0，Sn(an)，求S1，S2，猜想Sn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明11(16分)(高考預(yù)測題)已知函數(shù)f(x)e(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)在(，0)上求函數(shù)f(x)的極值；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>0時，對任意正整數(shù)n都有f()<n！x2n.學(xué)案37數(shù)學(xué)歸納法答案自主梳理3(1)n0 (n0N*)(2)nk (kN*，且kn0)nk1自我檢測11aa2解析當(dāng)n1時左端有n2項，左端1aa2.2解析由n2成立，根據(jù)遞推關(guān)系“P(n)對于nk時成立，則它對nk2也成立”，可以推出n4時成立，再推出n6時成立，依次類推，P(n)對所有正偶數(shù)n成立”31解析當(dāng)n2時，中間的式子11.45解析當(dāng)n1時，21121；當(dāng)n2時，22<221；當(dāng)n3時，23<321；當(dāng)n4時，24<421.而當(dāng)n5時，25>521，n05.5.，課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律：等式的兩邊各有多少項，由nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項證明設(shè)f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1且kN*)時等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，則當(dāng)nk1時，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3)由(1)(2)可知當(dāng)nN*時等式都成立變式遷移1證明(1)當(dāng)n1時，左邊1右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1，kN*)時，等式成立，即1.則當(dāng)nk1時，1，即當(dāng)nk1時，等式也成立，所以由(1)(2)知對任意的nN*等式都成立例2解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時，從nk到nk1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等證明(1)當(dāng)n2時，左邊1；右邊.左邊>右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k2，且kN*)時不等式成立，即>.則當(dāng)nk1時，>>.當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立變式遷移2證明(1)當(dāng)m1時，原不等式成立；當(dāng)m2時，左邊12xx2，右邊12x，因為x20，所以左邊右邊，原不等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)mk(k2，kN*)時，不等式成立，即(1x)k1kx，則當(dāng)mk1時，x>1，1x>0.于是在不等式(1x)k1kx兩邊同時乘以1x得，(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x.所以(1x)k11(k1)x，即當(dāng)mk1時，不等式也成立綜合(1)(2)知，對一切正整數(shù)m，不等式都成立例3解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，由k過渡到k1時常使用“配湊法”在證明nk1成立時，先將nk1時的原式進(jìn)行分拆、重組或者添加項等方式進(jìn)行整理，最終將其變成一個或多個部分的和，其中每個部分都能被約定的數(shù)(或式子)整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得nk1時也成立證明(1)當(dāng)n1時，a2(a1)a2a1能被a2a1整除(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1且kN*)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假設(shè)可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1時命題也成立綜合(1)(2)知，對任意的nN*命題都成立變式遷移3證明(1)當(dāng)n1時，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1，kN*)時，f(k)32k28k9能被64整除則當(dāng)nk1時，32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1)nk1時命題也成立綜合(1)(2)可知，對任意的nN*，命題都成立課后練習(xí)區(qū)1解析、中，k1不一定表示奇數(shù)，只有中k為奇數(shù)，k2為奇數(shù)2n2n13解析由題意可知，P(n)對n3不成立(否則P(n)對n4也成立)同理可推P(n)對n2，n1也不成立4(k21)(k22)(k23)(k1)2解析當(dāng)nk時，左端123k2，當(dāng)nk1時，左端123k2(k21)(k1)2，當(dāng)nk1時，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析f(k)1222(2k)2f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.62k1解析當(dāng)nk1時，左邊12k(k1)k21，從nk到nk1時，應(yīng)添加的代數(shù)式為(k1)k2k1.7.解析不等式的左邊增加的式子是.8n1解析f(4)f(3)2，f(5)f(4)3，f(6)f(5)4，f(n1)f(n)n1.9證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，1，命題成立(2分)當(dāng)n2時，左邊12；右邊2，2<1<，命題成立(4分)(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時命題成立，即1<1<k，(6分)則當(dāng)nk1時，1>12k1.(8分)又1<k2k(k1)，即nk1時，命題也成立(10分)由(1)(2)可知，命題對所有nN*都成立(12分)10解an>0，Sn>0，由S1(a1)，變形整理得S1，取正根得S11.由S2(a2)及a2S2S1S21得S2(S21)，變形整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.(6分)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n1時，上面已求出S11，結(jié)論成立(8分)(2)假設(shè)當(dāng)nk時，結(jié)論成立，即Sk.(9分)那么，當(dāng)nk1時，Sk1(ak1)(Sk1Sk)(Sk1)整理得Sk1，取正根得Sk1.故當(dāng)nk1時，結(jié)論成立(13分)由(1)、(2)可知，對一切nN*，Sn都成立(14分)11(1)解函數(shù)f(x)定義域為xR|x0且f(x)eef(x)，f(x)是偶函數(shù)(4分)(2)解當(dāng)x<0時，f(x)e，f(x)ee()e(2x1)，(6分)令f(x)0有x，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，)(，0)f(x)0f(x)增極大值減由表可知：當(dāng)x時，f(x)取極大值4e2，無極小值(10分)(3)證明當(dāng)x>0時f(x)e，f()x2ex.考慮到：x>0時，不等式f()<n！x2n等價于x2ex<n！x2nxn<n！ex()(12分)所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式()對一切nN*都成立即可當(dāng)n1時，設(shè)g(x)exx(x>0)，x>0時，g(x)ex1>0，g(x)是增函數(shù)，故g(x)>g(0)1>0，即ex>x(x>0)所以當(dāng)n1時，不等式()成立(13分)假設(shè)nk(k1，kN*)時，不等式()成立，即xk<k！ex，當(dāng)nk1時，設(shè)h(x)(k1)！exxk1(x>0)，h(x)(k1)！ex(k1)xk(k1)(k！exxk)>0，故h(x)(k1)！exxk1(x>0)為增函數(shù)，h(x)>h(0)(k1)！>0，xk1<(k1)！ex，即nk1時，不等式()也成立，(15分)由知不等式()對一切nN*都成立，故當(dāng)x>0時，原不等式對nN*都成立(16分)