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24.1.3 弧、弦、圓心角
知識要點基礎練
知識點1 圓的對稱性
1.下列語句中,不正確的是(C)
A.圓既是中心對稱圖形,又是旋轉對稱圖形
B.圓是軸對稱圖形,過圓心的直線是它的對稱軸
C.當圓繞它的中心旋轉8957時,不會與原來的圓重合
D.圓的對稱軸有無數(shù)條,但是對稱中心只有一個
知識點2 圓心角及圓心角的計算
2.下列圖中,∠AOB是圓心角的是(C)
3.如圖,在☉O中,∠B=37,則劣弧所對的圓心角的度數(shù)為(A)
A.106
B.126
C.74
D.53
知識點3 弧、弦、圓心角之間的關系
4.在同圓或等圓中,下列說法錯誤的是(A)
A.相等弦所對的弧相等
B.相等弦所對的圓心角相等
C.相等圓心角所對的弧相等
D.相等圓心角所對的弦相等
5.如圖所示,已知OA,OB,OC是☉O的三條半徑,相等,M,N分別是OA,OB的中點.求證:MC=NC.
證明:∵,
∴∠AOC=∠BOC.
又∵OA=OB,M,N分別是OA,OB的中點,
∴OM=ON,在△MOC和△NOC中,OM=ON,∠AOC=∠BOC,OC=OC.
∴△MOC≌△NOC(SAS),∴MC=NC.
綜合能力提升練
6.如圖,☉O中,如果∠AOB=2∠COD,那么(C)
A.AB=DC B.AB
2DC
7.如圖所示,在☉O中,,∠A=30,則∠B=(B)
A.150 B.75
C.60 D.15
8.如圖,AB是圓O的直徑,BC,CD,DA是圓O的弦,且BC=CD=DA,則∠BCD等于(C)
A.100 B.110 C.120 D.135
9.如圖,已知AB和CD是☉O的兩條等弦.OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分別為M,N,BA,DC的延長線交于點P,連接OP.下列四個說法中:①;②OM=ON;③PA=PC;④∠BPO=∠DPO.正確的個數(shù)是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則所對圓心角的度數(shù)是(C)
A.120 B.135 C.150 D.165
11.如圖是兩個半圓,點O為大半圓的圓心,AB平行于半圓的直徑且是大半圓的弦且與小半圓相切,且AB=20,則圖中陰影部分的面積是 50π .
12.如圖,安徽馬鞍山二中的小華假期早起鍛煉,從一個圓形操場A點出發(fā),沿著操場邊緣與半徑OA夾角為α的方向跑步,跑到操場邊緣B后,再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向跑.小華一直沿著這樣的方向跑,當小華第五次走到操場邊緣時,正好在弧AB上,這時∠AOE=80,則α的度數(shù)是 55 .
13.如圖,已知點C,D是半圓上的三等分點,連接AC,BC,CD,OD,BC和OD相交于點E.則下列結論:①∠CBA=30;②OD⊥BC;③OE=AC;④四邊形AODC是菱形.說法正確的有?、佗冖邰堋?
14.如圖,MN是☉O的直徑,MN=12,∠AMN=20,點B為的中點,點P是直徑MN上的一個動點,則PA+PB的最小值為 6 .
提示:作點A關于直線MN的對稱點A,連接AB交MN于點P,由軸對稱的性質可知AB即為PA+PB的最小值.
15.如圖,已知AB是☉O的直徑,弦AC∥OD.
(1)求證:;
(2)若所對圓心角的度數(shù)為58,求∠AOD的度數(shù).
解:(1)連接OC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACO.
∵AC∥OD,∴∠OAC=∠BOD,∠COD=∠ACO.
∴∠BOD=∠COD,∴.
(2)∵,∠AOC=58,∴∠BOD=∠COD=∠BOC=(180-58)=61.
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=119.
16.如圖,AB是☉O的直徑,C是的中點,CE⊥AB于點E,BD交CE于點F.
(1)求證:CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,求BE,CF的長.
解:(1)延長CE交☉O于點P,
∵CE⊥AB,∴.
∴∠BCP=∠BDC.
∵C是的中點,
∴CD=CB.∴∠BDC=∠CBD.∴∠CBD=∠BCP.
∴CF=BF.
(2)∵CD=6,AC=8,∴AB=10.∴BE==3.6.
∴CE==4.8.設CF=x,則FE=4.8-x,BF=x,∴(4.8-x)2+3.62=x2.∴x=.
拓展探究突破練
17.已知Rt△ABC中,∠ACB=90,CA=CB,有一個圓心角為45,半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉,且直線CE,CF分別與直線AB交于點M,N.
(1)當扇形CEF繞點C在∠ACB的內部旋轉時,如圖1,求證:MN2=AM2+BN2;
(思路點撥:考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需轉化為在直角三角形中解決.可將△ACM沿直線CE對折,得△DCM,連DN,只需證DN=BN,∠MDN=90就可以了.請你完成證明過程.)
(2)當扇形CEF繞點C旋轉至圖2的位置時,解析式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
解:(1)∵將△ACM沿直線CE對折,得△DCM,連DN,∴△DCM≌△ACM.∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A.又∵CA=CB,∴CD=CB,∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45-∠DCM,
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90-45-∠ACM=45-∠ACM,∴∠DCN=∠BCN.
又∵CN=CN,∴△CDN≌△CBN.∴DN=BN,∠CDN=∠B.
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90.
∴在Rt△MDN中,由勾股定理
得MN2=DM2+DN2,即MN2=AM2+BN2.
(2)解析式MN2=AM2+BN2仍然成立.
證明:∵將△ACM沿直線CE對折,得△GCM,連GN,
∴△GCM≌△ACM.
∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM.
又∵CA=CB,得CG=CB.
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45,
∠BCN=∠ACB-∠ACN=90-(∠ECF-∠ACM)=45+∠ACM,∴∠GCN=∠BCN.又∵CN=CN,∴△CGN≌△CBN.
∴GN=BN,∠CGN=∠B=45,∠CGM=∠CAM=180-∠CAB=135.
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135-45=90.
∴在Rt△MGN中,由勾股定理得MN2=GM2+GN2.即MN2=AM2+BN2.
九年級數(shù)學上冊 第二十四章《圓》24.1 圓的有關性質 24.1.3 弧、弦、圓心角試題 （新版）新人教版.doc
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