2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1.1 平均變化率學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

3.1.1平均變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例，了解平均變化率的概念，并會(huì)求具體函數(shù)的平均變化率.2.了解平均變化率概念的形成過(guò)程，會(huì)在具體的環(huán)境中，說(shuō)明平均變化率的實(shí)際意義.3.了解平均變化率的正負(fù).知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率在吹氣球時(shí)，氣球的半徑r(單位：dm)與氣球空氣容量(體積)V(單位：L)之間的函數(shù)關(guān)系是r(V).思考1當(dāng)空氣容量V從0增加到1L時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？答案平均膨脹率為0.62 (dm/L).思考2當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？答案平均膨脹率為.梳理函數(shù)yf(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為，其中yf(x2)f(x1)是函數(shù)值的改變量.知識(shí)點(diǎn)二平均變化率的意義思考如何用數(shù)學(xué)反映曲線的“陡峭”程度？答案如圖，表示A，B之間的曲線和B，C之間的曲線的陡峭程度，可以近似地用直線的斜率來(lái)量化.如用比值近似量化B，C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在xB，xC上的平均變化率.梳理平均變化率的幾何意義：設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲線yf(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的平均變化率為割線AB的斜率.1.函數(shù)yx21在2,3上的平均變化率是5.()2.甲、乙二人銷售化妝品，從2014年2月開始的3個(gè)月內(nèi)，甲投入資金5萬(wàn)元，獲利4萬(wàn)元，乙投入資金8萬(wàn)元，獲利6萬(wàn)元.因此我們認(rèn)為乙的經(jīng)營(yíng)效果較好.()3.一次函數(shù)任意兩點(diǎn)的平均變化率都是相應(yīng)直線的斜率.()4.函數(shù)f(x)在A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均變化率就是直線AB的斜率.()類型一求函數(shù)的平均變化率例1(1)已知函數(shù)f(x)2x23x5.求：當(dāng)x14，x25時(shí)，函數(shù)增量y和平均變化率；求：當(dāng)x14，x24.1時(shí)，函數(shù)增量y和平均變化率.(2)求函數(shù)yf(x)x2在x1,2,3附近的平均變化率，取x都為，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率解(1)因?yàn)閒(x)2x23x5，所以yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.2x4x13.當(dāng)x14，x25時(shí)，x1，y2(x)2(4x13)x21921，21.當(dāng)x14，x24.1時(shí)，x0.1，y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.2x4x1319.2.(2)在x1附近的平均變化率為k12x；在x2附近的平均變化率為k24x；在x3附近的平均變化率為k36x.當(dāng)x時(shí)，k12，k24，k36.由于k1<k2<k3，所以在x3附近的平均變化率最大.反思與感悟求平均變化率的主要步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)；(2)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1；(3)得平均變化率.跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，函數(shù)yf(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案解析A(1,2)，B(3,4)，x3(1)4，y422，A，B兩點(diǎn)間的平均變化率為.(2)已知函數(shù)f(x)53x2，分別計(jì)算f(x)在區(qū)間0,1，1,2，上的平均變化率.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率解f(x)在0,1上的平均變化率是253.在1,2上的平均變化率是(534)(531)9.在上的平均變化率是2.在上的平均變化率是2.類型二平均變化率的應(yīng)用例2在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10.(1)求運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)0.5s內(nèi)高度h的平均變化率；(2)求高度h在1t2這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解(1)運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)0.5s內(nèi)高度h的平均變化率為4.05m/s.(2)在1t2這段時(shí)間內(nèi)，高度h的平均變化率為8.2m/s.反思與感悟(1)結(jié)合物理知識(shí)可知，在第一個(gè)0.5s內(nèi)高度h的平均變化率為正值，表示此時(shí)運(yùn)動(dòng)員在起跳后處于上升過(guò)程；在1t2這段時(shí)間內(nèi)，高度h的平均變化率為負(fù)值，表示此時(shí)運(yùn)動(dòng)員已開始向水面下降.事實(shí)上平均變化率的值可正、可負(fù)也可以是0.(2)平均變化率的應(yīng)用主要有：求某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度，物體受熱膨脹率，高度(重量)的平均變化率等等.解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)自變量和因變量.跟蹤訓(xùn)練2某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，則從出生到第3個(gè)月與從第6個(gè)月到第12個(gè)月體重的平均變化率分別為_千克/月.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案1,0.4解析從出生到第3個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為1(千克/月).從第6個(gè)月到第12個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為0.4(千克/月).1.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為S53t2，則在一段時(shí)間1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度是_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案3t6解析3t6.2.圓的半徑r從0.1變化到0.3時(shí)，圓的面積S的平均變化率為_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案0.4解析Sr2，0.4.3.如圖，函數(shù)yf(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率為_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案1解析因?yàn)閗AB1，由平均變化率的意義知，yf(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率為1.4.如圖，函數(shù)yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)，平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案x3，x4解析由平均變化率的定義可知，函數(shù)yf(x)在區(qū)間x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均變化率分別為，.結(jié)合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)yf(x)的平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是x3，x4.5.甲企業(yè)用2年時(shí)間獲利100萬(wàn)元，乙企業(yè)投產(chǎn)6個(gè)月時(shí)間就獲利30萬(wàn)元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩企業(yè)的生產(chǎn)效益？(設(shè)兩企業(yè)投產(chǎn)前的投資成本都是10萬(wàn)元)考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解甲企業(yè)生產(chǎn)效益的平均變化率為.乙企業(yè)生產(chǎn)效益的平均變化率為.>，甲企業(yè)的生產(chǎn)效益較好.1.準(zhǔn)確理解平均變化率的意義是求解平均變化率的關(guān)鍵，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)值增量y與自變量取值增量x的比值.涉及具體問(wèn)題，計(jì)算y很容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，因此，計(jì)算時(shí)要注意括號(hào)的應(yīng)用，先列式再化簡(jiǎn)，這是減少錯(cuò)誤的有效方法.2.函數(shù)的平均變化率在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用，如平均速度、平均勞動(dòng)生產(chǎn)率、面積體積變化率等.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是能從實(shí)際問(wèn)題中引出數(shù)學(xué)模型并列出函數(shù)關(guān)系式，需注意是相對(duì)什么量變化的.一、填空題1.函數(shù)f(x)在2,6上的平均變化率為_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案解析.2.在雨季潮汛期間，某水文觀測(cè)員觀察千島湖水位的變化，在24h內(nèi)發(fā)現(xiàn)水位從102.7m上漲到105.1m，則水位漲幅的平均變化率是_m/h.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案0.1解析0.1 (m/h).3.已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S(t)5t2(單位：m)，則在1s到3s這段時(shí)間內(nèi)，該質(zhì)點(diǎn)的平均速度為_m/s.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案20解析20 (m/s).4.函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率為2，則t_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案5解析函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率是2，即t2t62t4，t23t100，解得t5或t2(舍去).所以當(dāng)函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率是2時(shí)，t的值是5.5.假設(shè)在生產(chǎn)8到30臺(tái)機(jī)器的情況下，生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器的成本是c(x)x36x215x(元)，而售出x臺(tái)的收入是r(x)x33x212x(元)，則生產(chǎn)并售出10臺(tái)至20臺(tái)的過(guò)程中平均利潤(rùn)是_元.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案87解析由題意，得生產(chǎn)并售出x臺(tái)機(jī)器所獲得的利潤(rùn)是L(x)r(x)c(x)(x33x212x)(x36x215x)3x23x，故所求的平均利潤(rùn)為87(元).6.在x1附近取x0.3，在四個(gè)函數(shù)yx；yx2；yx3；y中平均變化率最大的是_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案解析由平均變化率的定義計(jì)算可得最大.7.一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離h(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為h2t22t，則下列說(shuō)法正確的是_.(填序號(hào))前3s內(nèi)球滾下的垂直距離的增量為h24m；在時(shí)間2,3內(nèi)球滾下的垂直距離的增量為h12m；前3s內(nèi)球的平均速度為8m/s；在時(shí)間2,3內(nèi)球的平均速度為12m/s.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案解析前3s內(nèi)，t3s，hh(3)h(0)24(m)，此時(shí)平均速度為8(m/s)，故正確；在時(shí)間2,3上，t321(s)，hh(3)h(2)12(m)，故平均速度為12(m/s)，所以正確.綜上，都正確.8.如果函數(shù)yf(x)axb在區(qū)間1,2上的平均變化率為3，則a的值為_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案3解析根據(jù)平均變化率的定義可知，a3.9.汽車行駛的路程S和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為_.(用“<”連接)考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案1<2<3解析1kOA，2kAB，3kBC，由圖象知，kOA<kAB<kBC.10.給半徑為R的熱氣球加熱使其體積增大，若半徑從R1到Rm時(shí)的體積膨脹率為，則m_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案1.5解析VR3，(m2m1)，m2m0，解得m1.5(負(fù)值舍去).二、解答題11.函數(shù)f(x)x22x在區(qū)間0，a上的平均變化率是函數(shù)g(x)2x3在區(qū)間2,3上的平均變化率的2倍，求a的值.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率解由題意，得函數(shù)f(x)在區(qū)間0，a上的平均變化率為a2.函數(shù)g(x)在區(qū)間2,3上的平均變化率為2.又a222，所以a2.12.若函數(shù)f(x)x2x在2,2x(x>0)上的平均變化率不大于1，求x的取值范圍.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)函數(shù)因變量的增量解函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2x上的平均變化率為3x，由3x1，得x2.又x>0，x的取值范圍是(0，).13.巍巍泰山為我國(guó)五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語(yǔ)來(lái)形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會(huì)感覺(jué)比較輕松，而從B處到C處會(huì)感覺(jué)比較吃力.想想看，為什么？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)量化BC段曲線的陡峭程度嗎？考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解山路從A到B高度的平均變化率為hAB，山路從B到C高度的平均變化率為hBC，hBC>hAB，山路從B到C比從A到B要陡峭得多.三、探究與拓展14.如圖所示是物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)路程的變化情況，下列說(shuō)法正確的是_.在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度；在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度；在0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案解析在0到t0范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為v，故錯(cuò)；在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為.因?yàn)镾2S0>S1S0，t1t0>0，所以>.所以甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，又S2>S1，所以甲的平均速度大于乙的平均速度.故填.15.很多人都吹過(guò)氣球，回憶一下吹氣球的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來(lái)越慢.試從平均變化率的角度，比較氣球容量V從0增加到1L及從1L增加到2L時(shí)平均膨脹率的大小關(guān)系，能否用來(lái)解釋氣球的半徑增加得越來(lái)越慢？考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)r3，將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r(V)，當(dāng)氣球容積V從0增加到1L時(shí)，氣球半徑增加了r(1)r(0)0.62(dm).氣球的平均膨脹率為0.62(dm/L).類似地，當(dāng)空氣容積從1L增加到2L時(shí)，氣球半徑增加了r(2)r(1)0.16(dm).氣球的平均膨脹率為0.16(dm/L).因?yàn)?.62>0.16，所以隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小了，因此氣球的半徑增加的越來(lái)越慢.