2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1.1 平均變化率學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

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3.1.1　平均變化率 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過實(shí)例，了解平均變化率的概念，并會(huì)求具體函數(shù)的平均變化率.2.了解平均變化率概念的形成過程，會(huì)在具體的環(huán)境中，說明平均變化率的實(shí)際意義.3.了解平均變化率的正負(fù). 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)的平均變化率 在吹氣球時(shí)，氣球的半徑r(單位：dm)與氣球空氣容量(體積)V(單位：L)之間的函數(shù)關(guān)系是r(V)＝. 思考1　當(dāng)空氣容量V從0增加到1L時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？ 答案　平均膨脹率為≈＝0.62 (dm/L). 思考2　當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？ 答案　平均膨脹率為. 梳理　函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為＝，其中Δy＝f(x2)－f(x1)是函數(shù)值的改變量. 知識(shí)點(diǎn)二　平均變化率的意義 思考　如何用數(shù)學(xué)反映曲線的“陡峭”程度？ 答案　如圖，表示A，B之間的曲線和B，C之間的曲線的陡峭程度，可以近似地用直線的斜率來量化. 如用比值近似量化B，C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在[xB，xC]上的平均變化率. 梳理　平均變化率的幾何意義：設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線y＝f(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)y＝f(x)的平均變化率＝＝為割線AB的斜率. 1.函數(shù)y＝x2＋1在[2,3]上的平均變化率是5.(　√　) 2.甲、乙二人銷售化妝品，從2014年2月開始的3個(gè)月內(nèi)，甲投入資金5萬元，獲利4萬元，乙投入資金8萬元，獲利6萬元.因此我們認(rèn)為乙的經(jīng)營效果較好.(　　) 3.一次函數(shù)任意兩點(diǎn)的平均變化率都是相應(yīng)直線的斜率.(　√　) 4.函數(shù)f(x)在A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均變化率就是直線AB的斜率.(　√　) 類型一　求函數(shù)的平均變化率 例1　(1)已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5. ①求：當(dāng)x1＝4，x2＝5時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變化率； ②求：當(dāng)x1＝4，x2＝4.1時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變化率. (2)求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？ 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 解　(1)因?yàn)閒(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. ＝＝2Δx＋4x1＋3. ①當(dāng)x1＝4，x2＝5時(shí)，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21. ②當(dāng)x1＝4，x2＝4.1時(shí)，Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92. ＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. (2)在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝ ＝6＋Δx. 當(dāng)Δx＝時(shí)，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1，∴甲企業(yè)的生產(chǎn)效益較好. 1.準(zhǔn)確理解平均變化率的意義是求解平均變化率的關(guān)鍵，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)值增量Δy與自變量取值增量Δx的比值.涉及具體問題，計(jì)算Δy很容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，因此，計(jì)算時(shí)要注意括號(hào)的應(yīng)用，先列式再化簡(jiǎn)，這是減少錯(cuò)誤的有效方法. 2.函數(shù)的平均變化率在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用，如平均速度、平均勞動(dòng)生產(chǎn)率、面積體積變化率等.解決這類問題的關(guān)鍵是能從實(shí)際問題中引出數(shù)學(xué)模型并列出函數(shù)關(guān)系式，需注意是相對(duì)什么量變化的. 一、填空題 1.函數(shù)f(x)＝在[2,6]上的平均變化率為________. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案?。? 解析?。剑剑? 2.在雨季潮汛期間，某水文觀測(cè)員觀察千島湖水位的變化，在24h內(nèi)發(fā)現(xiàn)水位從102.7m上漲到105.1m，則水位漲幅的平均變化率是________m/h. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案　0.1 解析?。?.1 (m/h). 3.已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S(t)＝5t2(單位：m)，則在1s到3s這段時(shí)間內(nèi)，該質(zhì)點(diǎn)的平均速度為________m/s. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案　20 解析?。剑?0 (m/s). 4.函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率為2，則t＝________. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案　5 解析　函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是＝＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍去). 所以當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2時(shí)，t的值是5. 5.假設(shè)在生產(chǎn)8到30臺(tái)機(jī)器的情況下，生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x臺(tái)的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，則生產(chǎn)并售出10臺(tái)至20臺(tái)的過程中平均利潤是________元. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 答案　87 解析　由題意，得生產(chǎn)并售出x臺(tái)機(jī)器所獲得的利潤是 L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利潤為 ＝＝＝87(元). 6.在x＝1附近取Δx＝0.3，在四個(gè)函數(shù)①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中平均變化率最大的是________. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案?、? 解析　由平均變化率的定義計(jì)算可得③最大. 7.一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離h(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為h＝2t2＋2t，則下列說法正確的是________.(填序號(hào)) ①前3s內(nèi)球滾下的垂直距離的增量為Δh＝24m； ②在時(shí)間[2,3]內(nèi)球滾下的垂直距離的增量為Δh＝12m； ③前3s內(nèi)球的平均速度為8m/s； ④在時(shí)間[2,3]內(nèi)球的平均速度為12m/s. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 答案?、佗冖邰? 解析　前3s內(nèi)，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(huán)(0)＝24(m)，此時(shí)平均速度為＝＝8(m/s)，故①③正確；在時(shí)間[2,3]上，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(huán)(2)＝12(m)，故平均速度為＝12(m/s)，所以②④正確.綜上，①②③④都正確. 8.如果函數(shù)y＝f(x)＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3，則a的值為________. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案　3 解析　根據(jù)平均變化率的定義可知， ＝＝a＝3. 9.汽車行駛的路程S和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為________________.(用“<”連接) 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案　1<2<3 解析　1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC， 由圖象知，kOA0)上的平均變化率不大于－1，求Δx的取值范圍. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　函數(shù)因變量的增量 解　∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2＋Δx]上的平均變化率為 ＝ ＝＝－3－Δx， ∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又∵Δx>0，∴Δx的取值范圍是(0，＋∞). 13.巍巍泰山為我國五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會(huì)感覺比較輕松，而從B處到C處會(huì)感覺比較吃力.想想看，為什么？你能用數(shù)學(xué)語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？ 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 解　山路從A到B高度的平均變化率為 hAB＝＝＝， 山路從B到C高度的平均變化率為 hBC＝＝＝， ∵h(yuǎn)BC>hAB， ∴山路從B到C比從A到B要陡峭得多. 三、探究與拓展 14.如圖所示是物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)路程的變化情況，下列說法正確的是________. ①在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度； ⑤在0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 答案?、邰? 解析　在0到t0范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為v＝，故①②錯(cuò)；在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為.因?yàn)镾2－S0>S1－S0，t1－t0>0，所以>.所以甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，又S2>S1，所以甲的平均速度大于乙的平均速度.故填③⑤. 15.很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢.試從平均變化率的角度，比較氣球容量V從0增加到1L及從1L增加到2L時(shí)平均膨脹率的大小關(guān)系，能否用來解釋氣球的半徑增加得越來越慢？ 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 解　氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)＝πr3，將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r(V)＝，當(dāng)氣球容積V從0增加到1L時(shí)，氣球半徑增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm).氣球的平均膨脹率為≈0.62(dm/L). 類似地，當(dāng)空氣容積從1L增加到2L時(shí)，氣球半徑增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm). 氣球的平均膨脹率為≈0.16(dm/L).因?yàn)?.62>0.16，所以隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小了，因此氣球的半徑增加的越來越慢.