2019高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.2.2 復(fù)數(shù)的乘法學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

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3.2.2　復(fù)數(shù)的乘法 1．能運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算． 2．掌握虛數(shù)單位“i”的冪的規(guī)律進(jìn)行化簡(jiǎn)求值． 復(fù)數(shù)的乘法 (1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算來進(jìn)行，只是在遇到i2時(shí)，要把______換成______，并把最后的結(jié)果寫成a＋bi(a，b∈R)的形式． (2)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的乘積等于這個(gè)復(fù)數(shù)(或其共軛復(fù)數(shù))模的______． (1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍為復(fù)數(shù)． (2)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足：①交換律：z1z2＝z2z1；②結(jié)合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；③乘法對(duì)加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. (3)對(duì)復(fù)數(shù)z1，z2，z和自然數(shù)m，n有：zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立． 【做一做1－1】計(jì)算(1－i)4得(　　)． A．4 B．－4 C．4i D．－4i 【做一做1－2】(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)的運(yùn)算結(jié)果是________． 共軛復(fù)數(shù)有哪些運(yùn)算性質(zhì)？ 剖析：(1)z＝|z|2＝||2； (2)＝()2； (3)＝； (4)＝. 題型一 復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算【例題1】計(jì)算：(2－3i)(3＋2i) 分析：根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算即可． 反思：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法類似，在計(jì)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘時(shí)，先按多項(xiàng)式的乘法展開，再將i2換成－1，最后合并同類項(xiàng)即可． 題型二 i的冪的運(yùn)算 【例題2】已知等比數(shù)列z1，z2，z3，…，zn，其中z1＝1，z2＝x＋yi，z3＝y(tǒng)＋xi(x，y∈R，且x＞0)． (1)求x，y的值； (2)試求使z1＋z2＋z3＋…＋zn＝0的最小正整數(shù)n； (3)對(duì)(2)中的正整數(shù)n，求z1z2z3…zn的值． 分析：借助等比數(shù)列建立等式關(guān)系，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題來求解，進(jìn)而得到數(shù)列通項(xiàng)公式，然后便使問題逐步得以解決． 反思：(1) (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈Z. 題型三 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 【例題3】若z，z0∈C，z≠z0，且|z|＝2，求的值. 分析：要用z表示比較困難，z0沒有具體給出，要想求的值，必須充分利用|z|＝2，為此要考慮用|z|的性質(zhì)|z|2＝ 反思：是在求解復(fù)數(shù)問題時(shí)常用的一個(gè)公式. 題型四 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：有些同學(xué)總認(rèn)為只要是復(fù)數(shù)式子就不能比較大小，這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤原因是：若兩復(fù)數(shù)經(jīng)化簡(jiǎn)后為實(shí)數(shù)，則能比較大小，因此要注意運(yùn)算時(shí)式子中的隱含條件. 【例題4】已知z1，z2∈C，且z1z2≠0，，問A，B可否比較大?。坎⒄f明理由. 錯(cuò)解：因?yàn)閦1，z2∈C，且z1z2≠0，所以A∈C，而B＝|z1|2＋|z2|2∈R，所以A，B不能比較大小. 1設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，則x等于(　　). A．－2 B．－1 C．1 D．2 2設(shè)復(fù)數(shù),則z2－2z等于(　　). A．－3 B．3 C．－3i D．3i 3設(shè)z∈C，,,則復(fù)數(shù)z1與z2的關(guān)系是(　　). A．z1≤z2 B．z1≥z2 C．z1＝z2 D．不能比較大小 4已知復(fù)數(shù)z與(z＋2)2－8i均是純虛數(shù)，則z＝________. 5已知復(fù)數(shù)z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，則z1z2的實(shí)部的最大值為________，虛部的最大值為________. 答案： 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1．(1)i2?。?　(2)平方 【做一做1－1】B　(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4. 【做一做1－2】－20＋15i　(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i. 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解：(2－3i)(3＋2i)＝6＋4i－9i－6i2＝6＋4i－9i＋6＝12－5i. 【例題2】解：(1)由z1z3＝z，得(x＋yi)2＝y(tǒng)＋xi， 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得(x＞0)．解得 (2)z1＝1，z2＝＋i，q＝＋i，則zn＝n－1，于是z1＋z2＋…＋zn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＝＝0，則qn＝n＝1，即n既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)． 故n為12的倍數(shù)，所求最小的正整數(shù)n為12. (3)z1z2…z12＝12…11＝1＋2＋…＋11＝66＝(－i)6666＝－1. 【例題3】解法一：∵|z|＝2，|z|2＝z＝4， ∴＝＝＝＝. 解法二：2＝＝＝＝， ∴＝. 【例題4】錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中直接由z1C，z2C得AC是不嚴(yán)密的，事實(shí)上只要求出就能發(fā)現(xiàn)A為實(shí)數(shù)． 正解：因?yàn)锳＝z1＋z2，故＝z2＋z1＝A，即AR，而B＝z1＋z2＝|z1|2＋|z2|2R，所以A，B可以比較大小，且有 A－B＝z1＋z2－(z1＋z2)＝z1(－)＋z2(－)＝－(z1－z2)()＝－|z1－z2|2≤0， 故有A－B≤0，即A≤B. 隨堂練習(xí)鞏固 1．A　∵z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)iR，∴x＋2＝0，∴x＝－2. 2．A　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－1＋2i－2－2i＝－3. 3．A　設(shè)z＝a＋bi(a，bR)，則z2＝a2－b2＋2abi，＝a2－b2－2abi，z2－＝4abi，所以2iz1＝4abi，∴z1＝2ab，z2＝z＝a2＋b2≥2ab. 4．－2i　設(shè)z＝bi(bR，且b≠0)，則(bi＋2)2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i為純虛數(shù)．所以所以即b＝－2. 5．　　z1z2＝(cos θsin θ＋1)＋(cos θ－sin θ)i，實(shí)部為cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，故實(shí)部的最大值為，虛部為－sin θ＋cos θ＝sin≤，故虛部的最大值為.