高考數學總復習 第二章第8課時 函數模型及應用課件

第第8課時函數模型及應用課時函數模型及應用第二章基本初等函數、導數及其應用第二章基本初等函數、導數及其應用回歸教材回歸教材 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1常見函數模型的理解常見函數模型的理解(1)直線模型：即一次函數模型，其增長直線模型：即一次函數模型，其增長特點是直線上升特點是直線上升(x的系數的系數k0)，通過圖，通過圖象可以很直觀地認識它象可以很直觀地認識它(2)指數函數模型：能用指數型函數表達指數函數模型：能用指數型函數表達的函數模型，其增長特點是隨著自變量的函數模型，其增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快的增大，函數值增大的速度越來越快(a1)，常形象地稱之為，常形象地稱之為“指數爆炸指數爆炸” (3)對數函數模型：能用對數函數表達式表達對數函數模型：能用對數函數表達式表達的函數模型，其增長的特點是開始階段增長的函數模型，其增長的特點是開始階段增長得較快得較快(a1)，但隨著，但隨著x的逐漸增大，其函數的逐漸增大，其函數值變化越來越慢，常稱之為值變化越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長蝸牛式增長” (4)冪函數型函數模型：能用冪函數表達的函冪函數型函數模型：能用冪函數表達的函數模型，其增長情況隨數模型，其增長情況隨x中中的取值變化而定，的取值變化而定，常見的有二次函數模型常見的有二次函數模型2構建函數模型的基本步驟構建函數模型的基本步驟不同的函數模型能夠刻畫現實世界不同不同的函數模型能夠刻畫現實世界不同的變化規(guī)律，函數模型可以處理生產、的變化規(guī)律，函數模型可以處理生產、生活、科技中很多實際問題生活、科技中很多實際問題解決應用問題的基本步驟：解決應用問題的基本步驟：(1)審題：弄清題意，分析條件和結審題：弄清題意，分析條件和結論，理順數量關系，恰當選擇模型；論，理順數量關系，恰當選擇模型； (2)建模：將文字語言、圖形建模：將文字語言、圖形(或數表或數表)等轉等轉化為數學語言，利用數學知識建立相應的化為數學語言，利用數學知識建立相應的數學模型；數學模型； (3)求模：求解數學模型，得出數學結論；求模：求解數學模型，得出數學結論； (4)還原：將利用數學知識和方法得出的結還原：將利用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義論，還原為實際問題的意義3函數模型的應用實例的基本題型函數模型的應用實例的基本題型(1)給定函數模型解決實際問題；給定函數模型解決實際問題；(2)建立確定性的函數模型解決問題；建立確定性的函數模型解決問題；(3)建立擬合函數模型解決實際問題建立擬合函數模型解決實際問題課前熱身課前熱身1某商店將原價每臺某商店將原價每臺2640元的彩電以元的彩電以9折出售后仍獲利折出售后仍獲利20%，則彩電每臺進，則彩電每臺進價為價為_解析：設進價為解析：設進價為a，則，則264090%a20%a，解得，解得a1980.答案：答案：1980元元 2某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入客運，據市場分析，每輛客車營運的投入客運，據市場分析，每輛客車營運的總利潤總利潤y萬元與營運年數萬元與營運年數x(xN)的關系為的關系為yx212x25，則每輛客車營運，則每輛客車營運_年可使其營運年平均利潤最大年可使其營運年平均利潤最大答案：答案：5 3某商店已按每件某商店已按每件80元的成本購進某商品元的成本購進某商品1000件，根據市場預測，銷售價為件，根據市場預測，銷售價為100元元時可全部售完，定價每提高時可全部售完，定價每提高1元時銷售量就元時銷售量就減少減少5件，若要獲得最大利件，若要獲得最大利 潤，銷售價應定為潤，銷售價應定為_元元解析：設提高解析：設提高x元，則獲利潤元，則獲利潤y(100 x)(10005x)8010005(x50)232500，當當x50時，時，ymax32500，此時定，此時定價為價為150元元答案：答案：150答案：答案：150考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1一次函數、二次函數模型一次函數、二次函數模型一次函數、二次函數模型多數用來求最值，一次函數、二次函數模型多數用來求最值，由于一次函數是單調函數，所以在用其求最由于一次函數是單調函數，所以在用其求最大值或最小值時要考慮其定義區(qū)間端點大值或最小值時要考慮其定義區(qū)間端點處的函數值；用二次函數模型求最值，處的函數值；用二次函數模型求最值，除了考慮定義區(qū)間端點處的函數值外，除了考慮定義區(qū)間端點處的函數值外，還要考慮在對稱軸處對應的函數值還要考慮在對稱軸處對應的函數值 (2012無錫質檢無錫質檢)某公司為幫助尚有某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出借出20萬元將該商店改建成經營狀況良好萬元將該商店改建成經營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經營的某種消費品專賣店，并約定用該店經營的利潤逐步償還債務的利潤逐步償還債務(所有債務均不計利所有債務均不計利息息)例例1 已知該種消費品的進價為每件已知該種消費品的進價為每件40元；該店元；該店每月銷售量每月銷售量q(百件百件)與銷售價與銷售價p(元元/件件)之間之間的關系用右圖中的一條折線的關系用右圖中的一條折線(實線實線)表示；職表示；職工每人每月工資為工每人每月工資為1200元，該店應交付的元，該店應交付的其他費用為每月其他費用為每月13200元元 (1)若當銷售價若當銷售價p為為52元元/件時，該店正好收件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數；支平衡，求該店的職工人數； (2)若該店只安排若該店只安排20名職工，則該店最早可名職工，則該店最早可在幾年后還清所有的債務，此時每件消費在幾年后還清所有的債務，此時每件消費品的價格定為多少元？品的價格定為多少元？【名師點評名師點評】(1)對于一些較復雜的對于一些較復雜的應用問題，往往不能用一個關系式給應用問題，往往不能用一個關系式給出，而要構造由幾個不同的關系式構成出，而要構造由幾個不同的關系式構成的分段函數的分段函數(2)求分段函數的最值，應分段求出再求分段函數的最值，應分段求出再加以比較加以比較 變式訓練變式訓練 1某電腦公司準備將某電腦公司準備將100臺同類型的電腦租臺同類型的電腦租給某大學的學生根據市場調查，如果每臺電給某大學的學生根據市場調查，如果每臺電腦每月租金不高于腦每月租金不高于100元，可全部租出；如果元，可全部租出；如果每臺電腦租金高于每臺電腦租金高于100元，那么每提高元，那么每提高10元將元將有有5臺電腦閑置為了提高公司的經濟效益，臺電腦閑置為了提高公司的經濟效益，該公司需要擬定一個最佳月租價格，這個價格該公司需要擬定一個最佳月租價格，這個價格必須滿足：必須滿足： 為了便于核算，月租價定為為了便于核算，月租價定為10元的整數元的整數倍；倍； 由于公司的開支由于公司的開支(如員工工資，水電費等如員工工資，水電費等)每月需要每月需要6250元，電腦出租收入必須高于元，電腦出租收入必須高于此值，而且高出得越多越好此值，而且高出得越多越好 (1)把該公司的每月凈收入把該公司的每月凈收入y(即收入減支出即收入減支出)表示為每臺電腦月租金表示為每臺電腦月租金x元的函數，并求出元的函數，并求出其定義域；其定義域； (2)求每臺電腦的月租金求每臺電腦的月租金x為多少時，公司的為多少時，公司的凈收入凈收入y最大，并求出最大值最大，并求出最大值考點考點2分式函數模型分式函數模型分式函數模型多數和基本不等式有關，分式函數模型多數和基本不等式有關，也常用導數知識加以解決也常用導數知識加以解決 (2012鹽城質檢鹽城質檢)某市出租汽車的收費某市出租汽車的收費標準如下：在標準如下：在3 km以內以內(含含3 km)的路程統的路程統一按起步價一按起步價7元收費，超過元收費，超過3 km以外的路以外的路程按程按2.4元元/km收費而出租汽車一次載客收費而出租汽車一次載客的運輸成本包含以下三個部分：一是固定的運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用約為費用約為2.3元；二是燃油費，約為元；二是燃油費，約為1.6元元/km；三是折舊費，；三是折舊費，例例2【名師點評名師點評】利用基本不等式求函數利用基本不等式求函數最值要注意：最值要注意：把函數解析式湊配成適把函數解析式湊配成適合基本不等式的形式；合基本不等式的形式；應用基本不等應用基本不等式時要注意滿足式時要注意滿足“一正，二定，三相一正，二定，三相等等” 變式訓練變式訓練 2某工廠有舊房屋一幢，留有舊墻一面某工廠有舊房屋一幢，留有舊墻一面長長14米，現準備利用這面舊墻的一段為一米，現準備利用這面舊墻的一段為一面墻，建造平面圖形為矩形，面積為面墻，建造平面圖形為矩形，面積為126 m2的廠房，工程的條件：的廠房，工程的條件：修修1米舊墻的米舊墻的費用是造費用是造1米新墻費用的米新墻費用的25%； 拆去舊墻拆去舊墻1米用所得的材料建米用所得的材料建1米的新墻米的新墻費用是造費用是造1米新墻費用的米新墻費用的50%.問：如何利用問：如何利用舊墻才能使建墻費用最低？舊墻才能使建墻費用最低？(注：建門窗的注：建門窗的費用與建新墻的費用相同，可不考慮費用與建新墻的費用相同，可不考慮)考點考點3指數函數模型指數函數模型指數函數、對數函數的應用是高考的一指數函數、對數函數的應用是高考的一個重點內容，常與增長率相結合進行考個重點內容，常與增長率相結合進行考查在實際問題中，有關人口增長、銀查在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數函數模型表示，數函數模型表示， 通常可以表示為通?？梢员硎緸閥N(1p)x(其中其中N為原為原來的基礎數，來的基礎數，p為增長率，為增長率，x為時間為時間)的形的形式另外，指數方程常利用對數進行計算，式另外，指數方程常利用對數進行計算，指數、對數在很多問題中可轉化應用指數、對數在很多問題中可轉化應用 2012年年1月月1日，某城市現有人口總數日，某城市現有人口總數100萬，如果年自然增長率為萬，如果年自然增長率為1.2%，試解答下，試解答下列問題：列問題： (1)寫出該城市人口總數寫出該城市人口總數y(萬人萬人)與年數與年數x(年年)的的函數關系式；函數關系式； (2)計算計算10年后該城市人口總數年后該城市人口總數(精確到精確到0.1萬萬人人) (1.012101.127)例例3【思路分析思路分析】先寫出先寫出1年后、年后、2年后、年后、3年后的人口總數年后的人口總數寫出寫出y與與x的函數關的函數關系系計算求解計算求解作答作答 【解解】(1)1年后該城市人口總數為年后該城市人口總數為 y1001001.2%100(11.2%) 2年后該城市人口總數為年后該城市人口總數為 y100(11.2%)100(11.2%)1.2% 100(11.2%)2. 3年后該城市人口總數為年后該城市人口總數為 y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3. x年后該城市人口總數為年后該城市人口總數為 y100(11.2%)x. 所以該城市人口總數所以該城市人口總數y(萬人萬人)與年數與年數x(年年)的函的函數關系式是數關系式是y100(11.2%)x. (2)10年后人口總數為年后人口總數為 100(11.2%)10112.7(萬萬) 所以所以10年后該城市人口總數為年后該城市人口總數為112.7萬萬 3(2010高考湖北卷高考湖北卷)已知某地今年年初已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為擁有居民住房的總面積為a(單位單位m2),其中其中有部分舊房需要拆除當地有關部門決定有部分舊房需要拆除當地有關部門決定每年以當年年初住房面積的每年以當年年初住房面積的10%建設新住建設新住房，同時也拆除面積為房，同時也拆除面積為b(單位單位m2)的舊住的舊住房房 (1)分別寫出第一年末和第二年末的實際住分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達式房面積的表達式 (2)如果第五年末該地的住房面積正好比今如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了年年初的住房面積增加了30%，則每年拆，則每年拆除的舊住房面積除的舊住房面積b是多少？是多少？(計算時取計算時取1.151.6)考點考點4擬合函數擬合函數利用擬合函數解決應用性問題的基本過利用擬合函數解決應用性問題的基本過程為：收集數據程為：收集數據畫函數圖象畫函數圖象選擇函選擇函數模型數模型求出函數模型求出函數模型用函數模型解用函數模型解決實際問題決實際問題 某工廠今年某工廠今年1月，月，2月，月，3月生產某產品分月生產某產品分別為別為1萬件，萬件，1.2萬件，萬件，1.3萬件為了估測以后萬件為了估測以后每個月的產量，以這三個月的產品數量為依據，每個月的產量，以這三個月的產品數量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量用一個函數模擬該產品的月產量y與月份數與月份數x的的關系，模擬函數可以選用二次函數或函數關系，模擬函數可以選用二次函數或函數yabxc(其中其中a、b、c為常數為常數)已知四月份已知四月份該產品的產量為該產品的產量為1.37萬件，請問用以上哪個函萬件，請問用以上哪個函數作為模擬函數較好？請說明理由數作為模擬函數較好？請說明理由例例4【名師點評名師點評】本題把實際應用問題和本題把實際應用問題和函數模型相結合，通過分析函數圖象判函數模型相結合，通過分析函數圖象判斷選用哪一個函數模型，利用待定系數斷選用哪一個函數模型，利用待定系數法確定函數的解析式法確定函數的解析式 變式訓練變式訓練 4某地區(qū)的一種特色水果上市時間僅能持某地區(qū)的一種特色水果上市時間僅能持續(xù)續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下現供大于求使價格連續(xù)下 跌，現有三種價格模擬函數：跌，現有三種價格模擬函數： f(x)pqx； f(x)px2qx1； f(x)x(xq)2p(以上三式中以上三式中p、q均為均為常數，且常數，且q1) (1)為準確研究其價格走勢，應選哪種價格為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數，為什么？模擬函數，為什么？ (2)若若f(0)4，f(2)6，求出所選函數，求出所選函數f(x)的解析式的解析式(注：函數的定義域是注：函數的定義域是 0,5其中其中x0表示表示4月月1日，日，x1表示表示5月月1日，日，以此類推，以此類推)； (3)為保證果農的收益，打算在價格下跌期為保證果農的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該水果在哪幾間積極拓寬外銷，請你預測該水果在哪幾個月份內價格下跌個月份內價格下跌方法技巧方法技巧應用函數知識解應用題的方法步驟應用函數知識解應用題的方法步驟(1)正確地將實際問題轉化為函數模正確地將實際問題轉化為函數模型，這是解應用題的關鍵，轉化來源型，這是解應用題的關鍵，轉化來源于對已知條件的綜合分析、歸納與抽于對已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數模型相比較，以象，并與熟知的函數模型相比較，以確定函數模型的種類；確定函數模型的種類； (2)用相關的函數知識，進行合理設計用相關的函數知識，進行合理設計,確定確定最佳解題方案，進行數學上的計算求解；最佳解題方案，進行數學上的計算求解； (3)把計算獲得的結果帶回到實際問題中去把計算獲得的結果帶回到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結作解釋實際問題，即對實際問題進行總結作答答 失誤防范失誤防范 1實際問題中的函數和一般的函數有一實際問題中的函數和一般的函數有一個明顯的區(qū)別，就是在實際問題中個明顯的區(qū)別，就是在實際問題中,函數函數的定義域一般不是由函數解析式確定的，的定義域一般不是由函數解析式確定的，而是由問題的實際意義確定的而是由問題的實際意義確定的 2解函數應用問題常見的錯誤解函數應用問題常見的錯誤 (1)不會將實際問題抽象轉化為函數模型或不會將實際問題抽象轉化為函數模型或轉化不全面轉化不全面 (2)在求解過程中忽略實際問題對變量參數在求解過程中忽略實際問題對變量參數的限制條件的限制條件考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考 命題預測命題預測 1作為對考生能力和素質的檢驗，江蘇作為對考生能力和素質的檢驗，江蘇高考加強了對函數綜合應用的考查力度，高考加強了對函數綜合應用的考查力度，這類題目更多地以社會實際生活為背景，這類題目更多地以社會實際生活為背景，設問新穎、靈活設問新穎、靈活 3趨勢分析：在趨勢分析：在2013年高考復習中應充分年高考復習中應充分挖掘課本涉及的應用背景，重點訓練學生挖掘課本涉及的應用背景，重點訓練學生處理問題、建立數學模型的能處理問題、建立數學模型的能 力力 規(guī)范解答規(guī)范解答 (本題滿分本題滿分14分分)(2011高考江蘇卷高考江蘇卷)請你設計一個包裝盒，如圖所示，請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為是邊長為60 cm的正方形硬紙的正方形硬紙 片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角直角三角 例例 形，再沿虛線折起，使得形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個四個點重合于圖中的點點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，柱形狀的包裝盒，E，F在在AB上，是被切去上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設設AEFBx(cm) (1)某廣告商要求包裝盒的側面積某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最最大，試問大，試問x應取何值？應取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最最 大，試問大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值高與底面邊長的比值