2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第1講 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課件.ppt

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計(jì)數(shù)原理 概率 隨機(jī)變量及其分布 理 第十章 第一講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 知識(shí)梳理雙基自測(cè) 1 分類加法計(jì)算原理完成一件事有n類不同的方案 在第一類方案中有m1種不同的方法 在第二類方案中有m2種不同的方法 在第n類方案中有mn種不同的方法 則完成這件事共有N 種不同的方法 2 分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要分成n個(gè)不同的步驟 完成第一步有m1種不同的方法 完成第二步有m2種不同的方法 完成第n步有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì) 分類 問題 其中各種方法相互獨(dú)立 用其中任何一種方法都可以做完這件事 分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì) 分步 問題 各個(gè)步驟相互依存 只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事 1 用10元 5元和1元來支付20元錢的書款 不同的支付方法有 A 3種B 5種C 9種D 12種 解析 只用一種幣值有2張10元 4張5元 20張1元 共3種 用兩種幣值的有1張10元 2張5元 1張10元 10張1元 3張5元 5張1元 2張5元 10張1元 1張5元 15張1元 共5種 用三種幣值的有1張10元 1張5元 5張1元 共1種 由分類加法計(jì)數(shù)原理得 共有3 5 1 9 種 C 2 從1到10的正整數(shù)中 任意抽取兩個(gè)相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是 A 10B 15C 20D 25 解析 當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù) 從而不同情形有5 5 25 種 D 3 2019 長沙模擬 用數(shù)字1 2 3 4 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 A 24B 48C 60D 72 解析 先排個(gè)位 再排十位 百位 千位 萬位 依次有2 4 3 2 1種排法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知偶數(shù)的個(gè)數(shù)為2 4 3 2 1 48 B 4 某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編 但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B C D中選擇 其他四個(gè)號(hào)碼可以從0 9這十個(gè)數(shù)字中選擇 數(shù)字可以重復(fù) 有車主第一個(gè)號(hào)碼 從左到右 只想在數(shù)字3 5 6 8 9中選擇 其他號(hào)碼只想在1 3 6 9中選擇 則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有 A 180種B 360種C 720種D 960種 解析 按照車主的要求 從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法 第二個(gè)號(hào)碼有3種選法 其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法 因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5 3 4 4 4 960 種 D 5 已知集合M 1 2 3 N 4 5 6 7 從兩個(gè)集合中各選一個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo) 則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第三 四象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A 18個(gè)B 10個(gè)C 16個(gè)D 14個(gè) 解析 第三 四象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)值 分2種情況討論 取M中的點(diǎn)作橫坐標(biāo) 取N中的點(diǎn)作縱坐標(biāo) 有3 2 6種情況 取M中的點(diǎn)作縱坐標(biāo) 取N中的點(diǎn)作橫坐標(biāo) 有4 1 4種情況 綜上共有6 4 10種情況 B 6 2019 南通模擬 現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色 要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色 則不同的著色方法共有 種 解析 按A B C D順序分四步涂色 共有4 3 2 2 48 種 故填48 48 考點(diǎn)突破互動(dòng)探究 1 2019 常州模擬 已知I 1 2 3 A B是集合I的兩個(gè)非空子集 且A中所有元素的和大于B中所有元素的和 則集合A B共有 A 12對(duì)B 15對(duì)C 18對(duì)D 20對(duì) 2 某校學(xué)生會(huì)由高一年級(jí)3人 高二年級(jí)3人 高三年級(jí)4人組成 現(xiàn)要選擇不同年級(jí)的兩名成員參加市里組織的活動(dòng) 則共有選法 A 27種B 33種C 36種D 81種 考點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理 自主練透 例1 D B 3 2019 承德調(diào)研 a b c d e共5個(gè)人 從中選1名組長 1名副組長 但a不能當(dāng)副組長 不同選法的種數(shù)是 A 20B 16C 10D 6 B 分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在 應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞 關(guān)鍵元素 關(guān)鍵位置 1 根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn) 2 分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類 并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法 不能重復(fù) 3 分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外 還不能有遺漏 1 2016 全國 如圖 小明從街道的E處出發(fā) 先到F處與小紅會(huì)合 再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng) 則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 A 24B 18C 12D 9 2 有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 則共有 種不同的報(bào)名方法 考點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理 師生共研 例2 B 120 解析 1 從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6條 從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3條 所以從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有6 3 18 條 故選B 2 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 因此可由項(xiàng)目選人 第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法 第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法 第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理 可得不同的報(bào)名方法共有6 5 4 120 種 引申1 本例 2 中若將條件 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 改為 每人恰好參加一項(xiàng) 每項(xiàng)人數(shù)不限 則有多少種不同的報(bào)名方法 解析 每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng) 各有3種不同的報(bào)名方法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理 可得不同的報(bào)名方法共有36 729 種 引申2 本例 2 中若將條件 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 改為 每項(xiàng)限報(bào)一人 但每人參加的項(xiàng)目不限 則有多少種不同的報(bào)名方法 解析 每人參加的項(xiàng)目不限 因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理 可得不同的報(bào)名方法共有63 216 種 1 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步 即分步是有先后順序的 并且分步必須滿足 完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的 只有各個(gè)步驟都完成了 才算完成這件事 2 分步必須滿足兩個(gè)條件 一是步驟互相獨(dú)立 互不干擾 二是步與步確保連續(xù) 逐步完成 1 2019 廈門模擬 從班委會(huì)5名成員中選出3名 分別但任班級(jí)學(xué)習(xí)委員 文娛委員與體育委員 其中甲 乙二人不能擔(dān)任文娛委員 則不同的選法共有 種 用數(shù)字作答 2 若原來站成一排的4個(gè)人重新站成一排 恰有一個(gè)人站在自己原來的位置上 則不同的站法種數(shù)為 A 4B 8C 12D 24 變式訓(xùn)練1 36 B 考點(diǎn)3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合 多維探究 例3 C 角度2與涂色有關(guān)的問題將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色 并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色 若只有4種顏色可供使用 則不同的染色方法有 A 48種B 72種C 96種D 108種 例4 B 解析 如圖所示 若點(diǎn)B與D處所染顏色相同 則不同的染色方法有4 3 2 2 48種 若點(diǎn)B與D處所染顏色不相同 則不同的染色方法有4 3 2 1 1 24種 由分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的染色方法有48 24 72種 角度3與幾何有關(guān)的問題如果一條直線與一個(gè)平面垂直 那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè) 正交線面對(duì) 在一個(gè)正方體中 由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的 正交線面對(duì) 的個(gè)數(shù)是 A 48B 18C 24D 36 解析 第1類 對(duì)于每一條棱 都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成 正交線面對(duì) 這樣的 正交線面對(duì) 有2 12 24 個(gè) 第2類 對(duì)于每一條面對(duì)角線 都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成 正交線面對(duì) 這樣的 正交線面對(duì) 有12個(gè) 所以正方體中 正交線面對(duì) 共有24 12 36 個(gè) 例5 D 與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問題的常見類型及解題策略 1 與數(shù)字有關(guān)的問題 可分類解決 每類中又可分步完成 也可以直接分步解決 2 與幾何有關(guān)的問題 可先分類 再分步解決 3 涂色問題 可按顏色的種數(shù)分類完成 也可以按不同的區(qū)域分步完成 1 角度2 2019 寧波模擬 如圖所示的五個(gè)區(qū)域中 現(xiàn)有四種顏色可供選擇 要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色 相鄰區(qū)域所涂顏色不同 則不同的涂色方法種數(shù)為 A 24種B 48種C 72種D 96種 變式訓(xùn)練2 C 2 角度1 2019 臨沂模擬 某彩票公司每天開獎(jiǎng)一次 從1 2 3 4四個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)開出一個(gè)作為中獎(jiǎng)號(hào)碼 開獎(jiǎng)時(shí)如果開出的號(hào)碼與前一天的相同 就要重開 直到開出與前一天不同的號(hào)碼為止 如果第一天開出的號(hào)碼是4 那么第五天開出的號(hào)碼也同樣是4的所有可能的情況有 A 14種B 21種C 24種D 35種 3 角度3 如果一條直線與一個(gè)平面平行 那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè) 平行線面組 在一個(gè)長方體中 由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的 平行線面組 的個(gè)數(shù)是 A 60B 48C 36D 24 B B 解析 1 分兩種情況 A C不同色 先涂A有4種 C有3種 E有2種 B D有1種 有4 3 2 24 種 A C同色 先涂A有4種 E有3種 C有1種 B D各有2種 有4 3 2 2 48 種 綜上兩種情況 不同的涂色方法共有48 24 72 種 2 第一天開出4 第五天同樣開出4 則第二天開出的號(hào)碼有3種情況 如果第三天開出的號(hào)碼是4 則第四天開出的號(hào)碼有3種情況 如果第三天開出的號(hào)碼不是4 則第四天開出的號(hào)碼有2種情況 所以滿足條件的情況有3 1 3 3 2 2 21種 3 長方體的6個(gè)表面構(gòu)成的 平面線面組 的個(gè)數(shù)為6 6 36 另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面 非表面 構(gòu)成的 平行線面組 的個(gè)數(shù)為6 2 12 故符合條件的 平行線面組 的個(gè)數(shù)是36 12 48 名師講壇素養(yǎng)提升 1 2019 四川模擬 從1 3 5 7 9這五個(gè)數(shù)中 每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a b 共可得到lga lgb的不同值的個(gè)數(shù)是 A 9B 10C 18D 20 2 若把英語單詞 good 的字母順序?qū)戝e(cuò)了 則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤寫法共有 種 巧用間接法求解計(jì)數(shù)問題 例6 C 11 1 間接法的解題思路 1 將問題所包含的所有情景一一列舉出來并得出其數(shù)值 2 找出不合題設(shè)要求的情況 3 刪除不合題意的部分 得出結(jié)論 2 間接法的應(yīng)用條件 間接法 求解計(jì)數(shù)問題的應(yīng)用條件是該問題包含兩種或兩種以上的情況 而要求計(jì)數(shù)的情況較復(fù)雜不易得出結(jié)論 而問題的反面 對(duì)立面 計(jì)數(shù)比較容易 此時(shí)可采用間接法求解 1 用0 1 9十個(gè)數(shù)字 可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 A 243B 252C 261D 279 2 2019 濟(jì)南模擬 如圖 某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成 形成回路 其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A B C D E F 如果焊接點(diǎn)脫落 整個(gè)電路就會(huì)不通 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通 那么焊接點(diǎn)脫落的可能情況共有 種 變式訓(xùn)練3 B 63 解析 1 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知 用0 1 9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù) 可有重復(fù)數(shù)字 的個(gè)數(shù)為9 10 10 900 組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9 9 8 648 則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900 648 252 故選B 2 因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況 而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落 則電路就不通 故共有26 1 63 種 可能情況