2020高考數學一輪復習 第十章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第1講 分類加法計數原理與分步乘法計數原理課件.ppt

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計數原理 概率 隨機變量及其分布 理 第十章 第一講分類加法計數原理與分步乘法計數原理 知識梳理雙基自測 1 分類加法計算原理完成一件事有n類不同的方案 在第一類方案中有m1種不同的方法 在第二類方案中有m2種不同的方法 在第n類方案中有mn種不同的方法 則完成這件事共有N 種不同的方法 2 分步乘法計數原理完成一件事需要分成n個不同的步驟 完成第一步有m1種不同的方法 完成第二步有m2種不同的方法 完成第n步有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區(qū)別分類加法計數原理針對 分類 問題 其中各種方法相互獨立 用其中任何一種方法都可以做完這件事 分步乘法計數原理針對 分步 問題 各個步驟相互依存 只有各個步驟都完成了才算完成這件事 1 用10元 5元和1元來支付20元錢的書款 不同的支付方法有 A 3種B 5種C 9種D 12種 解析 只用一種幣值有2張10元 4張5元 20張1元 共3種 用兩種幣值的有1張10元 2張5元 1張10元 10張1元 3張5元 5張1元 2張5元 10張1元 1張5元 15張1元 共5種 用三種幣值的有1張10元 1張5元 5張1元 共1種 由分類加法計數原理得 共有3 5 1 9 種 C 2 從1到10的正整數中 任意抽取兩個相加所得和為奇數的不同情形的種數是 A 10B 15C 20D 25 解析 當且僅當偶數加上奇數后和為奇數 從而不同情形有5 5 25 種 D 3 2019 長沙模擬 用數字1 2 3 4 5組成沒有重復數字的五位數 其中偶數的個數為 A 24B 48C 60D 72 解析 先排個位 再排十位 百位 千位 萬位 依次有2 4 3 2 1種排法 由分步乘法計數原理知偶數的個數為2 4 3 2 1 48 B 4 某市汽車牌照號碼可以上網自編 但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B C D中選擇 其他四個號碼可以從0 9這十個數字中選擇 數字可以重復 有車主第一個號碼 從左到右 只想在數字3 5 6 8 9中選擇 其他號碼只想在1 3 6 9中選擇 則他的車牌號碼可選的所有可能情況有 A 180種B 360種C 720種D 960種 解析 按照車主的要求 從左到右第一個號碼有5種選法 第二個號碼有3種選法 其余三個號碼各有4種選法 因此車牌號碼可選的所有可能情況有5 3 4 4 4 960 種 D 5 已知集合M 1 2 3 N 4 5 6 7 從兩個集合中各選一個數作為點的坐標 則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第三 四象限內不同點的個數為 A 18個B 10個C 16個D 14個 解析 第三 四象限內點的縱坐標為負值 分2種情況討論 取M中的點作橫坐標 取N中的點作縱坐標 有3 2 6種情況 取M中的點作縱坐標 取N中的點作橫坐標 有4 1 4種情況 綜上共有6 4 10種情況 B 6 2019 南通模擬 現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色 要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色 則不同的著色方法共有 種 解析 按A B C D順序分四步涂色 共有4 3 2 2 48 種 故填48 48 考點突破互動探究 1 2019 常州模擬 已知I 1 2 3 A B是集合I的兩個非空子集 且A中所有元素的和大于B中所有元素的和 則集合A B共有 A 12對B 15對C 18對D 20對 2 某校學生會由高一年級3人 高二年級3人 高三年級4人組成 現要選擇不同年級的兩名成員參加市里組織的活動 則共有選法 A 27種B 33種C 36種D 81種 考點1分類加法計數原理 自主練透 例1 D B 3 2019 承德調研 a b c d e共5個人 從中選1名組長 1名副組長 但a不能當副組長 不同選法的種數是 A 20B 16C 10D 6 B 分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在 應抓住題目中的關鍵詞 關鍵元素 關鍵位置 1 根據題目特點恰當選擇一個分類標準 2 分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類 并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法 不能重復 3 分類時除了不能交叉重復外 還不能有遺漏 1 2016 全國 如圖 小明從街道的E處出發(fā) 先到F處與小紅會合 再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動 則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為 A 24B 18C 12D 9 2 有六名同學報名參加三個智力項目 每項限報一人 且每人至多參加一項 則共有 種不同的報名方法 考點2分步乘法計數原理 師生共研 例2 B 120 解析 1 從E點到F點的最短路徑有6條 從F點到G點的最短路徑有3條 所以從E點到G點的最短路徑有6 3 18 條 故選B 2 每項限報一人 且每人至多參加一項 因此可由項目選人 第一個項目有6種選法 第二個項目有5種選法 第三個項目有4種選法 根據分步乘法計數原理 可得不同的報名方法共有6 5 4 120 種 引申1 本例 2 中若將條件 每項限報一人 且每人至多參加一項 改為 每人恰好參加一項 每項人數不限 則有多少種不同的報名方法 解析 每人都可以從這三個比賽項目中選報一項 各有3種不同的報名方法 根據分步乘法計數原理 可得不同的報名方法共有36 729 種 引申2 本例 2 中若將條件 每項限報一人 且每人至多參加一項 改為 每項限報一人 但每人參加的項目不限 則有多少種不同的報名方法 解析 每人參加的項目不限 因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽 根據分步乘法計數原理 可得不同的報名方法共有63 216 種 1 利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步 即分步是有先后順序的 并且分步必須滿足 完成一件事的各個步驟是相互依存的 只有各個步驟都完成了 才算完成這件事 2 分步必須滿足兩個條件 一是步驟互相獨立 互不干擾 二是步與步確保連續(xù) 逐步完成 1 2019 廈門模擬 從班委會5名成員中選出3名 分別但任班級學習委員 文娛委員與體育委員 其中甲 乙二人不能擔任文娛委員 則不同的選法共有 種 用數字作答 2 若原來站成一排的4個人重新站成一排 恰有一個人站在自己原來的位置上 則不同的站法種數為 A 4B 8C 12D 24 變式訓練1 36 B 考點3兩個計數原理的綜合 多維探究 例3 C 角度2與涂色有關的問題將一個四棱錐的每個頂點染上1種顏色 并使同一條棱的兩個端點異色 若只有4種顏色可供使用 則不同的染色方法有 A 48種B 72種C 96種D 108種 例4 B 解析 如圖所示 若點B與D處所染顏色相同 則不同的染色方法有4 3 2 2 48種 若點B與D處所染顏色不相同 則不同的染色方法有4 3 2 1 1 24種 由分類加法計數原理可知不同的染色方法有48 24 72種 角度3與幾何有關的問題如果一條直線與一個平面垂直 那么稱此直線與平面構成一個 正交線面對 在一個正方體中 由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的 正交線面對 的個數是 A 48B 18C 24D 36 解析 第1類 對于每一條棱 都可以與兩個側面構成 正交線面對 這樣的 正交線面對 有2 12 24 個 第2類 對于每一條面對角線 都可以與一個對角面構成 正交線面對 這樣的 正交線面對 有12個 所以正方體中 正交線面對 共有24 12 36 個 例5 D 與兩個計數原理有關問題的常見類型及解題策略 1 與數字有關的問題 可分類解決 每類中又可分步完成 也可以直接分步解決 2 與幾何有關的問題 可先分類 再分步解決 3 涂色問題 可按顏色的種數分類完成 也可以按不同的區(qū)域分步完成 1 角度2 2019 寧波模擬 如圖所示的五個區(qū)域中 現有四種顏色可供選擇 要求每一個區(qū)域只涂一種顏色 相鄰區(qū)域所涂顏色不同 則不同的涂色方法種數為 A 24種B 48種C 72種D 96種 變式訓練2 C 2 角度1 2019 臨沂模擬 某彩票公司每天開獎一次 從1 2 3 4四個號碼中隨機開出一個作為中獎號碼 開獎時如果開出的號碼與前一天的相同 就要重開 直到開出與前一天不同的號碼為止 如果第一天開出的號碼是4 那么第五天開出的號碼也同樣是4的所有可能的情況有 A 14種B 21種C 24種D 35種 3 角度3 如果一條直線與一個平面平行 那么稱此直線與平面構成一個 平行線面組 在一個長方體中 由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的 平行線面組 的個數是 A 60B 48C 36D 24 B B 解析 1 分兩種情況 A C不同色 先涂A有4種 C有3種 E有2種 B D有1種 有4 3 2 24 種 A C同色 先涂A有4種 E有3種 C有1種 B D各有2種 有4 3 2 2 48 種 綜上兩種情況 不同的涂色方法共有48 24 72 種 2 第一天開出4 第五天同樣開出4 則第二天開出的號碼有3種情況 如果第三天開出的號碼是4 則第四天開出的號碼有3種情況 如果第三天開出的號碼不是4 則第四天開出的號碼有2種情況 所以滿足條件的情況有3 1 3 3 2 2 21種 3 長方體的6個表面構成的 平面線面組 的個數為6 6 36 另含4個頂點的6個面 非表面 構成的 平行線面組 的個數為6 2 12 故符合條件的 平行線面組 的個數是36 12 48 名師講壇素養(yǎng)提升 1 2019 四川模擬 從1 3 5 7 9這五個數中 每次取出兩個不同的數分別記為a b 共可得到lga lgb的不同值的個數是 A 9B 10C 18D 20 2 若把英語單詞 good 的字母順序寫錯了 則可能出現的錯誤寫法共有 種 巧用間接法求解計數問題 例6 C 11 1 間接法的解題思路 1 將問題所包含的所有情景一一列舉出來并得出其數值 2 找出不合題設要求的情況 3 刪除不合題意的部分 得出結論 2 間接法的應用條件 間接法 求解計數問題的應用條件是該問題包含兩種或兩種以上的情況 而要求計數的情況較復雜不易得出結論 而問題的反面 對立面 計數比較容易 此時可采用間接法求解 1 用0 1 9十個數字 可以組成有重復數字的三位數的個數為 A 243B 252C 261D 279 2 2019 濟南模擬 如圖 某電子器件由3個電阻串聯而成 形成回路 其中有6個焊接點A B C D E F 如果焊接點脫落 整個電路就會不通 現發(fā)現電路不通 那么焊接點脫落的可能情況共有 種 變式訓練3 B 63 解析 1 由分步乘法計數原理知 用0 1 9十個數字組成三位數 可有重復數字 的個數為9 10 10 900 組成沒有重復數字的三位數的個數為9 9 8 648 則組成有重復數字的三位數的個數為900 648 252 故選B 2 因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況 而只要有一個焊接點脫落 則電路就不通 故共有26 1 63 種 可能情況