彈性力學(xué)邊界條件ppt課件

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對(duì)于上述所談及的兩種平面問(wèn)題 平衡方程 2 2 2個(gè)幾何方程 2 8 3個(gè)物理方程 2 12 3個(gè) 注 雖然八個(gè)方程可解八個(gè)未知函數(shù) 但由于求解時(shí)會(huì)產(chǎn)生待定函數(shù) 常數(shù) 所以要想得出具體的解答還必需利用邊界條件來(lái)確定待定函數(shù) 邊界條件有三類 位移 應(yīng)力 混合邊界條件 2 6 邊界條件 1 在位移邊界問(wèn)題中 物體在全部邊界上的位移分量是已知的 即 式中 是位移的邊界值 邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)或邊界上已知的位移分量 二 應(yīng)力邊界條件邊界上面力分量為已知 建立邊界上微元體的應(yīng)力分量與面力分量的關(guān)系 一 位移邊界條件 2 二 應(yīng)力邊界條件在邊界上的楔形體 單位厚度 如圖所示 彈性體內(nèi)單元體斜面上的應(yīng)力分量與坐標(biāo)面應(yīng)力的關(guān)系有 靜力平衡 單元體斜面恰為邊界面則面力分量與坐標(biāo)面應(yīng)力的關(guān)系有應(yīng)力邊界條件 注意 以上在推導(dǎo)時(shí) 斜面上的應(yīng)力px py采用矢量符號(hào)規(guī)定 與面力相同 3 特例 邊界面與坐標(biāo)軸平行時(shí) 1 左右兩面 2 上下兩面 應(yīng)力邊界條件的寫法是 左端為邊界上微元體的應(yīng)力分量 右端為面力分量 可以各自采用各自的符號(hào)規(guī)定 但需要用邊界的方向余弦 4 邊界面于坐標(biāo)軸平行時(shí)的簡(jiǎn)單寫法 每個(gè)邊界條件只含有一個(gè)應(yīng)力分量 l 0orm 0 邊界上的面力按應(yīng)力分量的符號(hào)規(guī)定 不考慮l m 圖中的面力采用矢量符號(hào)規(guī)則 5 三 混合邊界條件1 在一部分邊界上的位移分量為已知 另一部分邊界上應(yīng)力分量已知 2 在同一邊界上 已知一個(gè)位移分量和一個(gè)應(yīng)力分量 6 例1 小錐度桿承受軸向拉力 利用邊界條件證明 橫截面上 除正應(yīng)力外 還有剪應(yīng)力 并確定邊界上 與的關(guān)系 假設(shè)任何界面上y方向的正應(yīng)力均勻分布 解 由 7 例 寫出應(yīng)力邊界條件 設(shè)液體比重為 解 1 右邊界 x 0 2 左邊界 x y tg 8 O x y y y n 由 9 唯一性定理 表述 1 在沒(méi)有初始應(yīng)力的情況下 如果邊界條件足以確定全部剛體位移 則彈性力學(xué)邊值問(wèn)題的解答是唯一的 表述 2 在沒(méi)有初始應(yīng)力的情況下 彈性力學(xué)邊值問(wèn)題的解在相差一組剛體位移的意義下是唯一的 證明概要 只要證明在體力和面力都為零的情況下 邊值問(wèn)題只可能有零解 應(yīng)力 應(yīng)變和位移全為零 后者則需要用到應(yīng)變能的概念 據(jù)此 任何一組應(yīng)力應(yīng)變和位移 如果它們確能滿滿足方程和邊界條件 就肯定是該問(wèn)題的解 10 疊加原理 疊加原理 兩組外力同時(shí)作用在物體上所產(chǎn)生的結(jié)果等于他們分別作用產(chǎn)生的結(jié)果之和 證明概要 只需注意方程都是線性的 同時(shí)邊界條件也是線性的即可 推廣 以上兩組外力可以推廣到n組外力 分解原理 根據(jù)疊加原理 可以把原問(wèn)題分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題單獨(dú)求解 11 2 7 圣維南原理 局部性原理 一 圣維南原理的敘述 描述 1 如果把物體的一小部分邊界上的面力以等效力系 主矢及主矩均為相同 代換 則在加載附近的的應(yīng)力發(fā)生顯著變化 而在稍遠(yuǎn)處的影響可忽略不計(jì) 亦即與載荷在邊界上的作用形式無(wú)關(guān) 描述 2 如果物體在一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系 主矢及主矩均為零 則面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力 遠(yuǎn)處的應(yīng)力可忽略不計(jì) 12 二 圣維南原理的應(yīng)用條件 1 必須用等效力系代替 2 載荷區(qū)域必須比物體的最小尺寸為小 小邊界上 舉例 13 圣維南原理的應(yīng)用 所得到的應(yīng)力分量必須在所有邊界上各點(diǎn)處嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件 才是所論問(wèn)題的解答 在小邊界上 如果不能嚴(yán)格滿足邊界條件 可以用圣維南原理在靜力等效意義上滿足 積分意義上的 邊界條件 根據(jù)這個(gè)原理 兩組面力其分布盡管不同 但如果兩者的合力與合力矩相同 靜力等效 此時(shí)它們所產(chǎn)生的作用結(jié)果僅僅在局部有比較大的差異 遠(yuǎn)離這個(gè)局部 結(jié)果基本相同 14 靜力等效邊界條件 對(duì)于嚴(yán)格要求的條件在局部放松 線性分布的邊界力所形成的力偶等于M 由材力彎曲公式 嚴(yán)格面力 嚴(yán)格邊界條件 只有在右端彎矩是由線性分布的外力引起時(shí) 材料力學(xué)的公式才在右端附近嚴(yán)格成立 15 邊界的積分式 自由端邊界條件 懸臂梁的例子 16 則邊界條件可以寫成 P 23 b 根據(jù)圣維南原理 把給出的面力化成合力和合力矩 用積分表達(dá)的邊界條件 17 對(duì)邊界條件的積分為 P 23 b 根據(jù)圣維南原理 同時(shí)還要考慮等效力矩 懸臂梁的例子 18 平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題 一 平面問(wèn)題基本未知量 1 應(yīng)力分量 3個(gè) 獨(dú)立的 3個(gè) 2 應(yīng)變分量 獨(dú)立的 3個(gè) 3個(gè) 3 位移分量 獨(dú)立的 2個(gè) 2個(gè) 平面問(wèn)題小結(jié) 19 平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題 二 平面問(wèn)題基本方程 1 平衡微分方程 2 2 同左 2個(gè) 2 幾何方程 3個(gè) 同左 20 3 物理方程 3個(gè) 用下式代換 21 在邊界上取楔形研究 單位厚度 如圖所示 22 namely 2 特例 邊界面與坐標(biāo)軸平行時(shí) 1 左右兩面 2 在上下兩面 23