2018版高中數學 第一章 計數原理 1.3 第2課時 組合的應用學案 蘇教版選修2-3.doc

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第2課時　組合的應用 學習目標　1.能應用組合知識解決有關組合的簡單實際問題.2.能解決有限制條件的組合問題． 知識點　組合的特點 思考　組合的特征有哪些？ 　 梳理　(1)組合的特點是只取不排 組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出． (2)組合的特性 元素的無序性，即取出的m個元素不講究順序，沒有位置的要求． (3)相同的組合 根據組合的定義，只要兩個組合中的元素完全相同(不管順序如何)，就是相同的組合． 類型一　有限制條件的組合問題 例1　男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運動員3名，女運動員2名； (2)至少有1名女運動員； (3)既要有隊長，又要有女運動員． 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關． (2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類和分步時，一定要注意有無重復或遺漏． 跟蹤訓練1　在一次數學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓．在下列條件下，有多少種不同的選法？ (1)任意選5人； (2)甲、乙、丙三人必須參加； (3)甲、乙、丙三人不能參加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加． 　 　 　 　 　 　 　 　 類型二　與幾何有關的組合應用題 例2　如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4. (1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含C1點的有多少個？ (2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？ 　 　 　 　 反思與感悟　(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法． (2)在處理幾何問題中的組合問題時，應將幾何問題抽象成組合問題來解決． 跟蹤訓練2　空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內，其余點無三點共線，四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為________． 類型三　分組、分配問題 例3　有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？ (1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本； (3)分成三組，每組都是2本； (4)分給甲、乙、丙三人，每人2本． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　分組、分配問題的求解策略 (1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種 ①完全均勻分組，每組的元素個數均相等． ②部分均勻分組，應注意不要重復，若有n組均勻，最后必須除以n！. ③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象． (2)分配問題屬于“排列”問題．分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配． 跟蹤訓練3　某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則不同的安排方法有________種． 例4　將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子， 求下列方法的種數． (1)每個盒子都不空； (2)恰有一個空盒子； (3)恰有兩個空盒子． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　相同元素分配問題的處理策略 (1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題． (2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板． 跟蹤訓練4　某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有________種． 1．甲、乙、丙三位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種． 2．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有________種． 3．某食堂每天中午準備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐： (1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯； (2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯． 則每天不同午餐的搭配方法共有________種． 4．直角坐標平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個． 5．要從12人中選出5人參加一次活動，其中A，B，C三人至多兩人入選，則有________種不同選法． 1．無限制條件的組合應用題的解題步驟 (1)判斷．(2)轉化．(3)求值．(4)作答． 2．有限制條件的組合應用題的分類 (1)“含”與“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法．解題時要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準確把握分類標準． (2)幾何中的計算問題：在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，將幾何問題抽象成組合問題來解決． (3)分組、分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的． 答案精析 問題導學 知識點 思考　組合取出的元素是無序的． 題型探究 例1　解　(1)第一步：選3名男運動員，有C種選法；第二步：選2名女運動員，有C種選法，故共有CC＝120(種)選法． (2)方法一　(直接法) “至少有1名女運動員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類計數原理知共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)選法． 方法二　(間接法) 不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運動員的選法有C種，故“至少有1名女運動員”的選法有C－C＝246(種)． (3)當有女隊長時，其他人選法任意，共有C種選法；不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法，其中不含女運動員的選法有C種，故不選女隊長時共有C－C種選法．所以既有隊長又有女運動員的選法共有C＋C－C＝191(種)． 跟蹤訓練1　解　(1)從中任取5人是組合問題，共有C＝792(種)不同的選法． (2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需從另外9人中選2人，是組合問題，共有C＝36(種)不同的選法． (3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C＝126(種)不同的選法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分為兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有C種選法，再從另外9人中選4人，有C種選法，共有CC＝378(種)不同的選法． 例2　解　(1)方法一　可作出三角形C＋CC＋CC＝116(個)． 方法二　可作三角形C－C＝116(個)， 其中以C1為頂點的三角形有C＋CC＋C＝36(個)． (2)可作出四邊形C＋CC＋CC＝360(個)． 跟蹤訓練2　205 解析　方法一　可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類，則得到所有的取法總個數為CC＋CC＋CC＋CC＝205. 方法二　從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的個數為C－C＝205. 例3　解　(1)分三步：先選一本有C種選法，再從余下的5本中選兩本有C種選法，最后余下的三本全選有C種選法．由分步計數原理知，分配方式共有CCC＝60(種)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三個人，在(1)問的基礎上，還應考慮再分配問題．因此，分配方式共有CCCA＝360(種)． (3)先分三組，有CCC種分法，但是這里面出現了重復，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種)． (4)在(3)的基礎上再分配即可，共有分配方式A＝90(種)． 跟蹤訓練3　114 解析　5個人住三個房間，每個房間至少住1人，則有(3,1,1)和(2,2,1)兩種． 當為(3,1,1)時，有CA＝60(種)，A，B住同一房間有CA＝18(種)，故有60－18＝42(種)． 當為(2,2,1)時，有A＝90(種)，A，B住同一房間有CCA＝18(種)，故有90－18＝72(種)． 根據分類計數原理共有42＋72＝114(種)． 例4　解　(1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有C＝10(種)． (2)恰有一個空盒子，插板分兩步進行．先在首尾兩球外側放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有C種插法，故共有CC＝40(種)． (3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進行． 先在首尾兩球外側放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒． ①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子， 如||00||0000|，有C種插法． ②將兩塊板與前面三塊板之一并放， 如|00|||0000|，有C種插法． 故共有C(C＋C)＝30(種)． 跟蹤訓練4　10 解析　第一類：當剩余的一本是畫冊時，相當于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友，只有1位朋友得到畫冊．即把4位朋友分成人數為1,3的兩隊，有1個元素的那隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C種分法． 第二類：當剩余的一本是集郵冊時，相當于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友，有2位朋友得到畫冊，即把4位朋友分成人數為2,2的兩隊，一隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C種分法． 因此，滿足題意的贈送方法共有C＋C＝4＋6＝10(種)． 當堂訓練 1．96　2.120　3.210　4.225　5.756