2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 第2課時(shí) 組合的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第2課時(shí)　組合的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實(shí)際問題.2.能解決有限制條件的組合問題． 知識點(diǎn)　組合的特點(diǎn) 思考　組合的特征有哪些？ 　 梳理　(1)組合的特點(diǎn)是只取不排 組合要求n個(gè)元素是不同的，被取出的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出． (2)組合的特性 元素的無序性，即取出的m個(gè)元素不講究順序，沒有位置的要求． (3)相同的組合 根據(jù)組合的定義，只要兩個(gè)組合中的元素完全相同(不管順序如何)，就是相同的組合． 類型一　有限制條件的組合問題 例1　男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男女隊(duì)長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運(yùn)動員3名，女運(yùn)動員2名； (2)至少有1名女運(yùn)動員； (3)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動員． 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)解簡單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)． (2)要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，一定要注意有無重復(fù)或遺漏． 跟蹤訓(xùn)練1　在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級培訓(xùn)．在下列條件下，有多少種不同的選法？ (1)任意選5人； (2)甲、乙、丙三人必須參加； (3)甲、乙、丙三人不能參加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加． 　 　 　 　 　 　 　 　 類型二　與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題 例2　如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4. (1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？ (2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？ 　 　 　 　 反思與感悟　(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法． (2)在處理幾何問題中的組合問題時(shí)，應(yīng)將幾何問題抽象成組合問題來解決． 跟蹤訓(xùn)練2　空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余點(diǎn)無三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為________． 類型三　分組、分配問題 例3　有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？ (1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本； (3)分成三組，每組都是2本； (4)分給甲、乙、丙三人，每人2本． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　分組、分配問題的求解策略 (1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種 ①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等． ②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，若有n組均勻，最后必須除以n！. ③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象． (2)分配問題屬于“排列”問題．分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配． 跟蹤訓(xùn)練3　某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則不同的安排方法有________種． 例4　將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號為1,2,3,4的盒子， 求下列方法的種數(shù)． (1)每個(gè)盒子都不空； (2)恰有一個(gè)空盒子； (3)恰有兩個(gè)空盒子． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　相同元素分配問題的處理策略 (1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”．每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題． (2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對象(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個(gè)空中插入m－1塊板． 跟蹤訓(xùn)練4　某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有________種． 1．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種． 2．把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有________種． 3．某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐： (1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯； (2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯． 則每天不同午餐的搭配方法共有________種． 4．直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個(gè)． 5．要從12人中選出5人參加一次活動，其中A，B，C三人至多兩人入選，則有________種不同選法． 1．無限制條件的組合應(yīng)用題的解題步驟 (1)判斷．(2)轉(zhuǎn)化．(3)求值．(4)作答． 2．有限制條件的組合應(yīng)用題的分類 (1)“含”與“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法．解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)． (2)幾何中的計(jì)算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決． (3)分組、分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn) 思考　組合取出的元素是無序的． 題型探究 例1　解　(1)第一步：選3名男運(yùn)動員，有C種選法；第二步：選2名女運(yùn)動員，有C種選法，故共有CC＝120(種)選法． (2)方法一　(直接法) “至少有1名女運(yùn)動員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類計(jì)數(shù)原理知共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)選法． 方法二　(間接法) 不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運(yùn)動員的選法有C種，故“至少有1名女運(yùn)動員”的選法有C－C＝246(種)． (3)當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法；不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動員的選法有C種，故不選女隊(duì)長時(shí)共有C－C種選法．所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動員的選法共有C＋C－C＝191(種)． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)從中任取5人是組合問題，共有C＝792(種)不同的選法． (2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需從另外9人中選2人，是組合問題，共有C＝36(種)不同的選法． (3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C＝126(種)不同的選法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分為兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有C種選法，再從另外9人中選4人，有C種選法，共有CC＝378(種)不同的選法． 例2　解　(1)方法一　可作出三角形C＋CC＋CC＝116(個(gè))． 方法二　可作三角形C－C＝116(個(gè))， 其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有C＋CC＋C＝36(個(gè))． (2)可作出四邊形C＋CC＋CC＝360(個(gè))． 跟蹤訓(xùn)練2　205 解析　方法一　可以按從共面的5個(gè)點(diǎn)中取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)進(jìn)行分類，則得到所有的取法總個(gè)數(shù)為CC＋CC＋CC＋CC＝205. 方法二　從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的方法數(shù)中去掉4個(gè)點(diǎn)全部取自共面的5個(gè)點(diǎn)的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為C－C＝205. 例3　解　(1)分三步：先選一本有C種選法，再從余下的5本中選兩本有C種選法，最后余下的三本全選有C種選法．由分步計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有CCC＝60(種)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在(1)問的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問題．因此，分配方式共有CCCA＝360(種)． (3)先分三組，有CCC種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F(xiàn)，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種)． (4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式A＝90(種)． 跟蹤訓(xùn)練3　114 解析　5個(gè)人住三個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有(3,1,1)和(2,2,1)兩種． 當(dāng)為(3,1,1)時(shí)，有CA＝60(種)，A，B住同一房間有CA＝18(種)，故有60－18＝42(種)． 當(dāng)為(2,2,1)時(shí)，有A＝90(種)，A，B住同一房間有CCA＝18(種)，故有90－18＝72(種)． 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有42＋72＝114(種)． 例4　解　(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，有C＝10(種)． (2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有C種插法，故共有CC＝40(種)． (3)恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行． 先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒． ①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子， 如||00||0000|，有C種插法． ②將兩塊板與前面三塊板之一并放， 如|00|||0000|，有C種插法． 故共有C(C＋C)＝30(種)． 跟蹤訓(xùn)練4　10 解析　第一類：當(dāng)剩余的一本是畫冊時(shí)，相當(dāng)于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友，只有1位朋友得到畫冊．即把4位朋友分成人數(shù)為1,3的兩隊(duì)，有1個(gè)元素的那隊(duì)分給畫冊，另一隊(duì)分給集郵冊，有C種分法． 第二類：當(dāng)剩余的一本是集郵冊時(shí)，相當(dāng)于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友，有2位朋友得到畫冊，即把4位朋友分成人數(shù)為2,2的兩隊(duì)，一隊(duì)分給畫冊，另一隊(duì)分給集郵冊，有C種分法． 因此，滿足題意的贈送方法共有C＋C＝4＋6＝10(種)． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．96　2.120　3.210　4.225　5.756