2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項(xiàng)式乘方次數(shù)不大時(shí)的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用知識點(diǎn)“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(ab)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以表示成如下形式：思考1從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？答案在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和思考2計(jì)算每一行的系數(shù)和，你又能看出什么規(guī)律？答案2,4,8,16,32,64，其系數(shù)和為2n.思考3二項(xiàng)式系數(shù)的最大值有何規(guī)律？答案當(dāng)n2,4,6時(shí)，中間一項(xiàng)最大，當(dāng)n3,5時(shí)中間兩項(xiàng)最大梳理(1)楊輝三角的特點(diǎn)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即CCC.(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性CC，即二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等增減性與最大值如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大如果n為奇數(shù)，那么其展開式中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)相等且同時(shí)取得最大值各二項(xiàng)式系數(shù)的和二項(xiàng)展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即CCCC2n奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，都等于2n1，即CCCCCC2n11楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個(gè)等差數(shù)列()2二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為CCC.()3二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)相同()類型一與楊輝三角有關(guān)的問題例1(1)楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具有類似性質(zhì)的行是()A第6行 B第7行 C第8行 D第9行(2)如圖，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S(n)，則S(16)等于()A144 B146 C164 D461考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)與楊輝三角有關(guān)的問題答案(1)B(2)C解析(1)由題意，第6行為1,6,15,20,15,6,1，第7行為1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去兩端數(shù)字1以外，均能被7整除(2)由題干圖知，數(shù)列中的首項(xiàng)是C，第2項(xiàng)是C，第3項(xiàng)是C，第4項(xiàng)是C，第15項(xiàng)是C，第16項(xiàng)是C，所以S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(CCC)CC1164.反思與感悟解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第_行中從左至右的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為23.考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)與楊輝三角有關(guān)的問題答案34解析由題意設(shè)第n行的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為23，它等于二項(xiàng)展開式的第14項(xiàng)和第15項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比，所以CC23，即，解得n34，所以在第34行中，從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比是23.類型二二項(xiàng)式系數(shù)和問題例2已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：(1)a0a1a2a5；(2)|a0|a1|a2|a5|；(3)a1a3a5.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題解(1)令x1，得a0a1a2a51.(2)令x1，得35a0a1a2a3a4a5.由(2x1)5的通項(xiàng)Tk1C(1)k25kx5k知a1，a3，a5為負(fù)值，所|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(3)由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得2(a1a3a5)135.所以a1a3a5121.引申探究在本例條件下，求下列各式的值：(1)a0a2a4；(2)a1a2a3a4a5；(3)5a04a13a22a3a4.解(1)因?yàn)閍0a1a2a51，a0a1a2a535.所以a0a2a4122.(2)因?yàn)閍0是(2x1)5展開式中x5的系數(shù)，所以a02532.又a0a1a2a51，所以a1a2a3a4a531.(3)因?yàn)?2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以兩邊求導(dǎo)數(shù)得10(2x1)45a0x44a1x33a2x22a3xa4.令x1得5a04a13a22a3a410.反思與感悟二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.跟蹤訓(xùn)練2在二項(xiàng)式(2x3y)9的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題解設(shè)(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為CCCC29.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，將兩式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.類型三二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知f(x)(3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解令x1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5為奇數(shù)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，它們分別為T3C(3x2)290x6，T4C(3x2)3270.(2)展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C3k，假設(shè)Tk1項(xiàng)系數(shù)最大，則有即k，kN，k4，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5C(3x2)4405.反思與感悟(1)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(ab)n中的n進(jìn)行討論當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(2)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析如求(abx)n(a，bR)的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，An，且第k1項(xiàng)最大，應(yīng)用解出k，即得出系數(shù)的最大項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練3寫出(xy)11的展開式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；(3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；(4)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(5)各項(xiàng)系數(shù)的和考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題解(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)：T6Cx6y5，T7Cx5y6.(2)(xy)11展開式的通項(xiàng)為Tk1Cx11k(y)kC(1)kx11kyk，項(xiàng)的系數(shù)的絕對值為|C(1)k|C，項(xiàng)的系數(shù)的絕對值等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，其最大的項(xiàng)也是中間兩項(xiàng)，T6Cx6y5，T7Cx5y6.(3)由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對值相等，又第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正，故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為T7Cx5y6，項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為T6Cx6y5.(4)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為CCCC211.(5)令xy1，得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為CCCC(11)110.1觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是()A8 B6 C4 D2考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)與楊輝三角有關(guān)的問題答案B解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4a10，得a6.2(1x)2n1的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是()An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大(小)的項(xiàng)答案C解析2n1為奇數(shù)，展開式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，分別為第項(xiàng)，第項(xiàng)，即第n1項(xiàng)與第n2項(xiàng)，故選C.3已知n展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于()A4 B5C6 D7考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題答案C解析令x1，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，故有64，所以n6.4設(shè)(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a1a2a3的值為_考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案15解析令x1，得a0a1a2a3a41.又Tk1C(3)4k(2x)k，當(dāng)k4時(shí)，x4的系數(shù)a416.由得a0a1a2a315.5已知n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)多項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案解析由CCC37，得1nn(n1)37，解得n8(負(fù)值舍去)，則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，T5C(2x)4x4，該項(xiàng)的系數(shù)為.1二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出2求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定一般地對字母賦的值為0,1或1，但在解決具體問題時(shí)要靈活掌握3注意以下兩點(diǎn)：(1)區(qū)分開二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)(2)求解有關(guān)系數(shù)最大時(shí)的不等式組時(shí)，注意其中k0,1,2，n一、選擇題1如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a7時(shí)，b等于()A20 B21 C22 D23考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)與楊輝三角有關(guān)的問題答案C解析根據(jù)觀察可知，每一行除開始和末尾的數(shù)外，中間的數(shù)分別是上一行相鄰兩個(gè)數(shù)的和，當(dāng)a7時(shí)，上面一行的第一個(gè)數(shù)為6，第二個(gè)數(shù)為16，所以b61622.2若n(nN*)的展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A210 B252C462 D10考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)答案A解析由于展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)，所以展開式項(xiàng)數(shù)為11，從而n10，于是得其常數(shù)項(xiàng)為C210.3已知關(guān)于x的二項(xiàng)式n展開式的二項(xiàng)系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為()A1 B1 C2 D2考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案C解析由條件知2n32，即n5，在通項(xiàng)公式Tk1C()5kkCak中，令155k0，得k3.所以Ca380，解得a2.4(x1)11的展開式中，x的奇次冪的系數(shù)之和是()A2 048 B1 023 C1 024 D1 024考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案D解析(x1)11a0x11a1x10a2x9a11，令x1，則a0a1a2a11211，令x1，則a0a1a2a110，a0a2a4a102101 024.5若x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，則a8的值為()A10 B45C9 D45考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡答案B解析x101(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，a8CC45.6設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為M，二項(xiàng)式系數(shù)和為N，若MN240，則展開式中x的系數(shù)為()A150 B150 C300 D300考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)答案B解析由已知條件4n2n240，解得n4，Tk1C(5x)4kk(1)k54kC，令41，得k2，所以展開式中x的系數(shù)為(1)252C150.7已知(2x1)n二項(xiàng)展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，則CCCC的值為()A28 B281C27 D271考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案B解析設(shè)(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.則Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知可知，BA38.令x1，得，a0a1a2a3an(1)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n.(3)n38(3)8，n8.由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得，CCCC2nC281.8關(guān)于下列(ab)10的說法，錯(cuò)誤的是()A展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1 024B展開式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C展開式的第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題答案C解析由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知CCCC2101 024，故A正確二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C，是展開式的第6項(xiàng)，故B正確由展開式的通項(xiàng)為Tk1Ca10k(b)k(1)kCa10kbk知，第6項(xiàng)的系數(shù)C最小，故D正確二、填空題9已知(1x)10a1a2xa3x2a11x10，若數(shù)列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是_考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算答案6解析(1x)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)為其二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n10時(shí)，展開式的中間項(xiàng)第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故k的最大值為6.10在n的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為1 024，則中間項(xiàng)系數(shù)是_考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)答案462解析二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，故由題意得2n11 024，n11，展開式共12項(xiàng)，中間項(xiàng)為第六項(xiàng)、第七項(xiàng)，其系數(shù)為CC462.11若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，則log2(a1a3a11)_.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案7解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12，282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.三、解答題12設(shè)(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)求a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題解(1)令x0，則展開式為a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.與式聯(lián)立相減得a1a3a99.(4)由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2)100(2)1001.(5)|a0|a1|a100|，即(2x)100的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，在(2x)100的展開式中，令x1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(2)100.13已知n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256.(1)求n；(2)若展開式中常數(shù)項(xiàng)為，求m的值；(3)若(xm)n展開式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的取值情況考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)解(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n256，可得n8.(2)設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第k1項(xiàng)，則Tk1Cx8kkCmkx82k，故82k0，即k4，則Cm4，解得m.(3)易知m>0，設(shè)第k1項(xiàng)系數(shù)最大則化簡可得k.由于只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大，所以即所以m只能等于2.四、探究與拓展14設(shè)(3x2)6a0a1(2x1)a2(2x1)2a6(2x1)6，則_.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案解析令x1，得a0a1a2a61，令x0，得a0a1a2a664，兩式相減得2(a1a3a5)63，兩式相加得2(a0a2a4a6)65，故.15已知(x2)2n的展開式的系數(shù)和比(3x1)n的展開式的系數(shù)和大992，求2n的展開式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解由題意得22n2n992，解得n5.(1)10的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T6C(2x)558 064.(2)設(shè)第k1項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，則Tk1C(2x)10kk(1)kC210kx102k.得即k，kN，k3，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項(xiàng)T4(1)3C27x415 360x4.