2018-2019版高中數學 第一章 計數原理 1.3 二項式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數的性質學案 新人教A版選修2-3.doc
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1.3.2“楊輝三角”與二項式系數的性質學習目標1.了解楊輝三角,會用楊輝三角求二項式乘方次數不大時的各項的二項式系數.2.理解二項式系數的性質并靈活運用知識點“楊輝三角”與二項式系數的性質(ab)n的展開式的二項式系數,當n取正整數時可以表示成如下形式:思考1從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律?答案在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數相等;在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和思考2計算每一行的系數和,你又能看出什么規(guī)律?答案2,4,8,16,32,64,其系數和為2n.思考3二項式系數的最大值有何規(guī)律?答案當n2,4,6時,中間一項最大,當n3,5時中間兩項最大梳理(1)楊輝三角的特點在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數相等在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和,即CCC.(2)二項式系數的性質性質內容對稱性CC,即二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等增減性與最大值如果二項式的冪指數n是偶數,那么展開式中間一項的二項式系數最大如果n為奇數,那么其展開式中間兩項與的二項式系數相等且同時取得最大值各二項式系數的和二項展開式中各二項式系數的和等于2n,即CCCC2n奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和,都等于2n1,即CCCCCC2n11楊輝三角的每一斜行數字的差成一個等差數列()2二項式展開式的二項式系數和為CCC.()3二項式展開式中系數最大項與二項式系數最大項相同()類型一與楊輝三角有關的問題例1(1)楊輝三角如圖所示,楊輝三角中的第5行除去兩端數字1以外,均能被5整除,則具有類似性質的行是()A第6行 B第7行 C第8行 D第9行(2)如圖,在楊輝三角中,斜線AB上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列:1,2,3,3,6,4,10,記這個數列的前n項和為S(n),則S(16)等于()A144 B146 C164 D461考點二項式系數的性質題點與楊輝三角有關的問題答案(1)B(2)C解析(1)由題意,第6行為1,6,15,20,15,6,1,第7行為1,7,21,35,35,21,7,1,故第7行除去兩端數字1以外,均能被7整除(2)由題干圖知,數列中的首項是C,第2項是C,第3項是C,第4項是C,第15項是C,第16項是C,所以S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(CCC)CC1164.反思與感悟解決與楊輝三角有關的問題的一般思路跟蹤訓練1如圖所示,在由二項式系數所構成的楊輝三角中,第_行中從左至右的第14個數與第15個數的比為23.考點二項式系數的性質題點與楊輝三角有關的問題答案34解析由題意設第n行的第14個數與第15個數的比為23,它等于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數的比,所以CC23,即,解得n34,所以在第34行中,從左至右第14個數與第15個數的比是23.類型二二項式系數和問題例2已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值:(1)a0a1a2a5;(2)|a0|a1|a2|a5|;(3)a1a3a5.考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題解(1)令x1,得a0a1a2a51.(2)令x1,得35a0a1a2a3a4a5.由(2x1)5的通項Tk1C(1)k25kx5k知a1,a3,a5為負值,所|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(3)由a0a1a2a51,a0a1a2a535,得2(a1a3a5)135.所以a1a3a5121.引申探究在本例條件下,求下列各式的值:(1)a0a2a4;(2)a1a2a3a4a5;(3)5a04a13a22a3a4.解(1)因為a0a1a2a51,a0a1a2a535.所以a0a2a4122.(2)因為a0是(2x1)5展開式中x5的系數,所以a02532.又a0a1a2a51,所以a1a2a3a4a531.(3)因為(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以兩邊求導數得10(2x1)45a0x44a1x33a2x22a3xa4.令x1得5a04a13a22a3a410.反思與感悟二項展開式中系數和的求法(1)對形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展開式的各項系數之和,常用賦值法,只需令x1即可;對(axby)n(a,bR,nN*)的式子求其展開式各項系數之和,只需令xy1即可(2)一般地,若f(x)a0a1xa2x2anxn,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和為a0a2a4,偶數項系數之和為a1a3a5.跟蹤訓練2在二項式(2x3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數之和;(2)各項系數之和;(3)所有奇數項系數之和考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題解設(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項式系數之和為CCCC29.(2)各項系數之和為a0a1a2a9,令x1,y1,所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1,y1,可得a0a1a2a959,又a0a1a2a91,將兩式相加可得a0a2a4a6a8,即所有奇數項系數之和為.類型三二項式系數性質的應用例3已知f(x)(3x2)n展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992.(1)求展開式中二項式系數最大的項;(2)求展開式中系數最大的項考點展開式中系數最大(小)的項問題題點求展開式中系數最大(小)的項解令x1,則二項式各項系數的和為f(1)(13)n4n,又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知,4n2n992.(2n)22n9920,(2n31)(2n32)0,2n31(舍去)或2n32,n5.(1)由于n5為奇數,展開式中二項式系數最大的項為中間的兩項,它們分別為T3C(3x2)290x6,T4C(3x2)3270.(2)展開式的通項公式為Tk1C3k,假設Tk1項系數最大,則有即k,kN,k4,展開式中系數最大的項為T5C(3x2)4405.反思與感悟(1)二項式系數的最大項的求法求二項式系數的最大項,根據二項式系數的性質對(ab)n中的n進行討論當n為奇數時,中間兩項的二項式系數最大當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大(2)展開式中系數的最大項的求法求展開式中系數的最大項與求二項式系數最大項是不同的,需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析如求(abx)n(a,bR)的展開式中系數的最大項,一般采用待定系數法設展開式中各項系數分別為A0,A1,A2,An,且第k1項最大,應用解出k,即得出系數的最大項跟蹤訓練3寫出(xy)11的展開式中:(1)二項式系數最大的項;(2)項的系數絕對值最大的項;(3)項的系數最大的項和系數最小的項;(4)二項式系數的和;(5)各項系數的和考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題解(1)二項式系數最大的項為中間兩項:T6Cx6y5,T7Cx5y6.(2)(xy)11展開式的通項為Tk1Cx11k(y)kC(1)kx11kyk,項的系數的絕對值為|C(1)k|C,項的系數的絕對值等于該項的二項式系數,其最大的項也是中間兩項,T6Cx6y5,T7Cx5y6.(3)由(2)知中間兩項系數絕對值相等,又第6項系數為負,第7項系數為正,故項的系數最大的項為T7Cx5y6,項的系數最小的項為T6Cx6y5.(4)展開式中,二項式系數的和為CCCC211.(5)令xy1,得展開式中各項的系數和為CCCC(11)110.1觀察圖中的數所成的規(guī)律,則a所表示的數是()A8 B6 C4 D2考點二項式系數的性質題點與楊輝三角有關的問題答案B解析由題圖知,下一行的數是其肩上兩數的和,所以4a10,得a6.2(1x)2n1的展開式中,二項式系數最大的項所在的項數是()An,n1 Bn1,nCn1,n2 Dn2,n3考點展開式中系數最大(小)的項問題題點求展開式中二項式系數最大(小)的項答案C解析2n1為奇數,展開式中中間兩項的二項式系數最大,分別為第項,第項,即第n1項與第n2項,故選C.3已知n展開式中,各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為64,則n等于()A4 B5C6 D7考點二項式系數的性質題點二項式系數與項的系數問題答案C解析令x1,各項系數和為4n,二項式系數和為2n,故有64,所以n6.4設(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,則a0a1a2a3的值為_考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題答案15解析令x1,得a0a1a2a3a41.又Tk1C(3)4k(2x)k,當k4時,x4的系數a416.由得a0a1a2a315.5已知n的展開式中前三項的二項式系數的和等于37,則展開式中二項式系數最大的項的系數為_考點展開式中系數的和問題題點多項展開式中系數的和問題答案解析由CCC37,得1nn(n1)37,解得n8(負值舍去),則第5項的二項式系數最大,T5C(2x)4x4,該項的系數為.1二項式系數的性質可從楊輝三角中直觀地看出2求展開式中的系數或展開式中的系數的和、差的關鍵是給字母賦值,賦值的選擇則需根據所求的展開式系數和特征來確定一般地對字母賦的值為0,1或1,但在解決具體問題時要靈活掌握3注意以下兩點:(1)區(qū)分開二項式系數與項的系數(2)求解有關系數最大時的不等式組時,注意其中k0,1,2,n一、選擇題1如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘,a,b是某行的前兩個數,當a7時,b等于()A20 B21 C22 D23考點二項式系數的性質題點與楊輝三角有關的問題答案C解析根據觀察可知,每一行除開始和末尾的數外,中間的數分別是上一行相鄰兩個數的和,當a7時,上面一行的第一個數為6,第二個數為16,所以b61622.2若n(nN*)的展開式中只有第6項系數最大,則該展開式中的常數項為()A210 B252C462 D10考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項答案A解析由于展開式中只有第6項的系數最大,且其系數等于其二項式系數,所以展開式項數為11,從而n10,于是得其常數項為C210.3已知關于x的二項式n展開式的二項系數之和為32,常數項為80,則a的值為()A1 B1 C2 D2考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題答案C解析由條件知2n32,即n5,在通項公式Tk1C()5kkCak中,令155k0,得k3.所以Ca380,解得a2.4(x1)11的展開式中,x的奇次冪的系數之和是()A2 048 B1 023 C1 024 D1 024考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題答案D解析(x1)11a0x11a1x10a2x9a11,令x1,則a0a1a2a11211,令x1,則a0a1a2a110,a0a2a4a102101 024.5若x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10,則a8的值為()A10 B45C9 D45考點二項式定理題點逆用二項式定理求和、化簡答案B解析x101(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10,a8CC45.6設n的展開式的各項系數和為M,二項式系數和為N,若MN240,則展開式中x的系數為()A150 B150 C300 D300考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數答案B解析由已知條件4n2n240,解得n4,Tk1C(5x)4kk(1)k54kC,令41,得k2,所以展開式中x的系數為(1)252C150.7已知(2x1)n二項展開式中,奇次項系數的和比偶次項系數的和小38,則CCCC的值為()A28 B281C27 D271考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題答案B解析設(2x1)na0a1xa2x2anxn,且奇次項的系數和為A,偶次項的系數和為B.則Aa1a3a5,Ba0a2a4a6.由已知可知,BA38.令x1,得,a0a1a2a3an(1)n(3)n,即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n,即BA(3)n.(3)n38(3)8,n8.由二項式系數性質可得,CCCC2nC281.8關于下列(ab)10的說法,錯誤的是()A展開式中的二項式系數之和是1 024B展開式的第6項的二項式系數最大C展開式的第5項或第7項的二項式系數最大D展開式中第6項的系數最小考點二項式系數的性質題點二項式系數與項的系數問題答案C解析由二項式系數的性質知CCCC2101 024,故A正確二項式系數最大的項為C,是展開式的第6項,故B正確由展開式的通項為Tk1Ca10k(b)k(1)kCa10kbk知,第6項的系數C最小,故D正確二、填空題9已知(1x)10a1a2xa3x2a11x10,若數列a1,a2,a3,ak(1k11,kZ)是一個單調遞增數列,則k的最大值是_考點二項式系數的性質題點利用二項式系數的性質進行計算答案6解析(1x)n展開式的各項系數為其二項式系數,當n10時,展開式的中間項第六項的二項式系數最大,故k的最大值為6.10在n的展開式中,所有奇數項系數之和為1 024,則中間項系數是_考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數答案462解析二項式的展開式中所有項的二項式系數和為2n,而所有偶數項的二項式系數和與所有奇數項的二項式系數和相等,故由題意得2n11 024,n11,展開式共12項,中間項為第六項、第七項,其系數為CC462.11若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12,則log2(a1a3a11)_.考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題答案7解析令x1,28a0a1a2a11a12.令x3,0a0a1a2a11a12,282(a1a3a11),a1a3a1127,log2(a1a3a11)log2277.三、解答題12設(2x)100a0a1xa2x2a100x100,求下列各式的值(1)求a0;(2)a1a2a3a4a100;(3)a1a3a5a99;(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2;(5)|a0|a1|a100|.考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題解(1)令x0,則展開式為a02100.(2)令x1,可得a0a1a2a100(2)100,所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1,可得a0a1a2a3a100(2)100.與式聯立相減得a1a3a99.(4)由可得,(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2)100(2)1001.(5)|a0|a1|a100|,即(2x)100的展開式中各項系數的和,在(2x)100的展開式中,令x1,可得各項系數的和為(2)100.13已知n展開式的二項式系數之和為256.(1)求n;(2)若展開式中常數項為,求m的值;(3)若(xm)n展開式中系數最大項只有第6項和第7項,求m的取值情況考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數求參數解(1)二項式系數之和為2n256,可得n8.(2)設常數項為第k1項,則Tk1Cx8kkCmkx82k,故82k0,即k4,則Cm4,解得m.(3)易知m0,設第k1項系數最大則化簡可得k.由于只有第6項和第7項系數最大,所以即所以m只能等于2.四、探究與拓展14設(3x2)6a0a1(2x1)a2(2x1)2a6(2x1)6,則_.考點展開式中系數的和問題題點二項展開式中系數的和問題答案解析令x1,得a0a1a2a61,令x0,得a0a1a2a664,兩式相減得2(a1a3a5)63,兩式相加得2(a0a2a4a6)65,故.15已知(x2)2n的展開式的系數和比(3x1)n的展開式的系數和大992,求2n的展開式中:(1)二項式系數最大的項;(2)系數的絕對值最大的項考點展開式中系數最大(小)的項問題題點求展開式中系數最大(小)的項解由題意得22n2n992,解得n5.(1)10的展開式中第6項的二項式系數最大,即T6C(2x)558 064.(2)設第k1項的系數的絕對值最大,則Tk1C(2x)10kk(1)kC210kx102k.得即k,kN,k3,故系數的絕對值最大的是第4項T4(1)3C27x415 360x4.- 配套講稿:
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