2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第2課時 組合的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

第2課時組合的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實際問題.2.能解決有限制條件的組合問題知識點組合的特點(1)組合的特點是只取不排組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出(2)組合的特性元素的無序性，即取出的m個元素不講究順序，沒有位置的要求(3)相同的組合根據(jù)組合的定義，只要兩個組合中的元素完全相同(不管順序如何)，就是相同的組合類型一有限制條件的組合問題例1課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題解(1)CC825(種)(2)至多有2名女生當(dāng)選含有三類：有2名女生；只有1名女生；沒有女生，所以共有CCCCC966(種)選法(3)分兩類：第一類女隊長當(dāng)選，有C495(種)選法，第二類女隊長沒當(dāng)選，有CCCCCCC295(種)選法，所以共有495295790(種)選法反思與感悟有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類：一是“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)；二是“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏跟蹤訓(xùn)練1某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯則每天不同午餐的搭配方法共有()A210種 B420種 C56種 D22種考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題答案A解析由分類加法計數(shù)原理知，兩類配餐的搭配方法之和即為所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CCCC210(種)類型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例2如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4.(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含C1點的有多少個？(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？考點組合的應(yīng)用題點與幾何有關(guān)的組合問題解(1)方法一可作出三角形CCCCC116(個)方法二可作三角形CC116(個)，其中以C1為頂點的三角形有CCCC36(個)(2)可作出四邊形CCCCC360(個)反思與感悟(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算常用直接法，也可采用間接法(2)在處理幾何問題中的組合問題時，應(yīng)將幾何問題抽象成組合問題來解決跟蹤訓(xùn)練2空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內(nèi)，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為()A205 B110 C204 D200考點組合的應(yīng)用題點與幾何有關(guān)的組合問題答案A解析方法一可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進(jìn)行分類，則得到所有的取法總數(shù)為CCCCCCCC205.方法二從10個點中任取4個點的方法數(shù)中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個數(shù)為CC205.類型三分組、分配問題例36本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本(平均分組)；(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)考點排列組合綜合問題題點分組分配問題解(1)每組2本，均分為3組的方法數(shù)為15.(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為CCC20360.(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為15.反思與感悟一般地，n個不同的元素分成p組，各組內(nèi)元素數(shù)目分別為m1，m2，mp，其中k組元素數(shù)目相等，那么分組方法數(shù)是.跟蹤訓(xùn)練36本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余兩人每人1本考點排列組合綜合問題題點分組分配問題解(1)(2)(3)中，由于每人分的本數(shù)固定，屬于定向分配問題，由分步乘法計數(shù)原理得：(1)共有CCC90(種)不同的分配方法；(2)共有CCC60(種)不同的分配方法；(3)共有CCC30(種)不同的分配方法(4)(5)(6)屬于不定向分配問題，是該類題中比較困難的問題分配給3人，同一本書給不同的人是不同的分法，屬于排列問題實際上可看作兩個步驟：先分為3組，再把這3組分給甲、乙、丙3人的全排列數(shù)A即可因此，(4)共有CCCAA90(種)不同的分配方法；(5)共有CCCA360(種)不同的分配方法；(6)共有CCCAA90(種)不同的分配方法例4將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù)(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子；(3)恰有兩個空盒子考點排列組合綜合問題題點分組分配問題解(1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有C10(種)(2)恰有一個空盒子，插板分兩步進(jìn)行先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000|00|，有C種插法，故共有CC40(種)(3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進(jìn)行先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，如|00|0000|，有C種插法將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|0000|，有C種插法故共有C(CC)30(種)反思與感悟相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法隔板法專門解決相同元素的分配問題(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(nm)，有C種方法可描述為n1個空中插入m1塊板跟蹤訓(xùn)練4某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()A4種 B10種C18種 D20種考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案B解析由于只剩一本書，且這些畫冊、集郵冊分別相同，可以從剩余的書的類別進(jìn)行分析又由于排列、組合針對的是不同的元素，應(yīng)從4位朋友中進(jìn)行選取第一類：當(dāng)剩余的一本是畫冊時，相當(dāng)于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友，只有1位朋友得到畫冊即把4位朋友分成人數(shù)為1,3的兩隊，有1個元素的那隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C種分法第二類：當(dāng)剩余的一本是集郵冊時，相當(dāng)于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友，有2位朋友得到畫冊，即把4位朋友分成人數(shù)為2,2的兩隊，一隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C種分法因此，滿足題意的贈送方法共有CC4610(種)1某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名選手參加比賽，種子選手必須在內(nèi)，那么不同選法共有()A26種 B84種 C35種 D21種考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題答案C解析從7名隊員中選出3人有C35(種)選法2身高各不相同的7名同學(xué)排成一排照相，要求正中間的同學(xué)最高，左右兩邊分別順次一個比一個低，這樣的排法種數(shù)是()A5 040 B36 C18 D20考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題答案D解析最高的同學(xué)站中間，從余下6人中選3人在一側(cè)只有一種站法，另3人在另一側(cè)也只有一種站法，所以排法有C20(種)3直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線xn(n0,1,2，5)與平行直線yn(n0,1,2，5)組成的圖形中，矩形共有()A25個 B36個 C100個 D225個考點組合的應(yīng)用題點與幾何有關(guān)的組合問題答案D解析從垂直于x軸的6條直線中任取2條，從垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個矩形，所以矩形總數(shù)為CC1515225.4從7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動，若每天安排3人，則不同的安排方案共有_種(用數(shù)字作答)考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案140解析安排方案分為兩步完成：從7名志愿者中選3人安排在周六參加社區(qū)公益活動，有C種方法；再從剩下的4名志愿者中選3人安排在周日參加社區(qū)公益活動，有C種方法故不同的安排方案共有CC4140(種)5正六邊形頂點和中心共7個點，可組成_個三角形考點組合的應(yīng)用題點與幾何有關(guān)的組合問題答案32解析不共線的三個點可組成一個三角形，7個點中共線的是：正六邊形過中心的3條對角線，即共有3種情況，故組成三角形的個數(shù)為C332.1無限制條件的組合應(yīng)用題其解題步驟為：(1)判斷；(2)轉(zhuǎn)化；(3)求值；(4)作答2有限制條件的組合應(yīng)用題：(1)“含”與“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法解題時要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)(2)幾何中的計算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時，應(yīng)先明確幾何中的點、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決(3)分組、分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的一、選擇題1若從1,2,3，9這9個整數(shù)中同時取3個不同的數(shù)，使其和為奇數(shù)，則不同的取法共有()A30種 B33種 C37種 D40種考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題答案D解析從1,2,3，9這9個數(shù)中取出3個不同的數(shù)，使其和為奇數(shù)的情況包括：(1)取出的3個數(shù)都是奇數(shù)，取法有C10(種)；(2)取出的3個數(shù)中有2個偶數(shù)、1個奇數(shù)，取法有CC30(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，滿足題意的取法共有103040(種)2某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為()A24種 B14種 C28種 D48種考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題答案B解析方法一分兩類完成：第1類，選派1名女生、3名男生，有CC種選派方案；第2類，選派2名女生、2名男生，有CC種選派方案故共有CCCC14(種)不同的選派方案方法二6人中選派4人的組合數(shù)為C，其中都選男生的組合數(shù)為C，所以至少有1名女生的選派方案有CC14(種)3直線ab，a上有5個點，b上有4個點，以這九個點為頂點的三角形個數(shù)為()ACCCC B(CC)(CC)CC9 DCC考點組合的應(yīng)用題點與幾何有關(guān)的組合問題答案A解析可以分為兩類：a上取兩點，b上取一點，則可構(gòu)成三角形個數(shù)為CC；a上取一點，b上取兩點，則可構(gòu)成三角形個數(shù)為CC，利用分類加法計數(shù)原理可得以這九個點為頂點的三角形個數(shù)為CCCC，故選A.4從乒乓球運動員男5名、女6名中組織一場混合雙打比賽，不同的組合方法有()ACC種 BCA種CCACA種 DAA種考點排列組合綜合問題題點排列與組合的綜合應(yīng)用答案B解析先從5名男選手中任意選取2名，有C種選法，再從6名女選手中任意選擇兩名與選出的男選手打比賽，有CA，即A種所以共有CA種5將標(biāo)號為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張卡片，其中標(biāo)號為A，B的卡片放入同1個信封，則不同的放法共有()A12種 B18種 C36種 D54種考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案B解析由題意知，不同的放法共有CC318(種)6某地招募了20名志愿者，他們編號分別為1號，2號，19號，20號，如果要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個編號較大的人在另一組，那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數(shù)是()A16 B21 C24 D90考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案B解析分2類：第1類，5號與14號為編號較大的一組，則另一組編號較小的有C6(種)選取方法第2類，5號與14號為編號較小的一組，則編號較大的一組有C15(種)選取方法由分類加法計數(shù)原理得，共有CC61521(種)選取方法7北京財富全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為()ACCC BCAAC. DCCCA考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案A解析首先從14人中選出12人共C種，然后將12人平均分為3組共種，然后這兩步相乘，得.將三組分配下去共CCC種故選A.8假如北京大學(xué)給中山市某三所重點中學(xué)7個自主招生的推薦名額，則每所中學(xué)至少分到一個名額的方法數(shù)為()A30 B21 C10 D15考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案D解析用“隔板法”在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，有C15(種)分配方法二、填空題9在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加等級考試小明同學(xué)決定在生物、政治、歷史三門中至多選擇一門，那么小明同學(xué)的選擇方案有_種考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題答案10解析在生物、政治、歷史三門中選擇1門，則在物理、化學(xué)、地理中選2門，有CC9(種)選法；在生物、政治、歷史三門中選擇0門，則物理、化學(xué)、地理全選，有C1(種)選法共有選法9110(種)10.如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐PABC與正三棱柱ABCA1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有_種考點涂色問題題點涂色問題答案12解析先涂三棱錐PABC的三個側(cè)面，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，共有CCCC321212(種)不同的涂法11在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_種(用數(shù)字作答)考點排列組合綜合問題題點排列與組合的綜合應(yīng)用答案60解析一、二、三等獎，三個人獲得，有A24(種)一、二、三等獎，有一個人獲得2張，一個人獲得1張，共有CA36(種)，共有243660(種)不同的獲獎情況三、解答題12現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，求不同取法的種數(shù)考點組合的應(yīng)用題點有限制條件的組合問題解若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有CCC64(種)，若2張同色，則有CCCC144(種)，若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有CCCC192(種)，剩余2張同色，則有CCC72(種)，所以共有6414419272472(種)不同的取法13現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？考點排列組合綜合問題題點分組分配問題解可以分三類第一類，讓兩項工作都能勝任的青年從事英語翻譯工作，有CC種選法；第二類，讓兩項工作都能勝任的青年從事德語翻譯工作，有CC種選法；第三類，讓兩項工作都能勝任的青年不從事任何工作，有CC種選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共有CCCCCC42(種)不同的選法四、探究與拓展1420個不加區(qū)別的小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)為_考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案120解析先在編號為2,3的盒內(nèi)分別放入1,2個球，還剩17個小球，三個盒內(nèi)分別至少再放入1個球，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中即可，共C120(種)方法15已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有4件次品為止(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？考點排列組合綜合問題題點排列與組合的綜合應(yīng)用解(1)先排前4次測試，只能取正品，有A種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有CAA(種)測法，再排余下4件的測試位置，有A種測法所以共有不同測試方法AAA103 680(種)(2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同測試方法CCA576(種)