2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第2課時 組合的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第2課時　組合的綜合應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實際問題.2.能解決有限制條件的組合問題． 知識點(diǎn)　組合的特點(diǎn) (1)組合的特點(diǎn)是只取不排 組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出． (2)組合的特性 元素的無序性，即取出的m個元素不講究順序，沒有位置的要求． (3)相同的組合 根據(jù)組合的定義，只要兩個組合中的元素完全相同(不管順序如何)，就是相同的組合． 類型一　有限制條件的組合問題 例1　課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？ (1)至少有一名隊長當(dāng)選； (2)至多有兩名女生當(dāng)選； (3)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選． 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 解　(1)C－C＝825(種) (2)至多有2名女生當(dāng)選含有三類： 有2名女生；只有1名女生；沒有女生， 所以共有CC＋CC＋C＝966(種)選法． (3)分兩類： 第一類女隊長當(dāng)選，有C＝495(種)選法， 第二類女隊長沒當(dāng)選，有CC＋CC＋CC＋C＝295(種)選法， 所以共有495＋295＝790(種)選法． 反思與感悟　有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類： 一是“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)； 二是“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏． 跟蹤訓(xùn)練1　某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A．210種 B．420種 C．56種 D．22種 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 答案　A 解析　由分類加法計數(shù)原理知，兩類配餐的搭配方法之和即為所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(種)． 類型二　與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題 例2　如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點(diǎn)D1，D2，D3，D4. (1)以這10個點(diǎn)中的3個點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個？ (2)以圖中的12個點(diǎn)(包括A，B)中的4個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個四邊形？ 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　與幾何有關(guān)的組合問題 解　(1)方法一　可作出三角形C＋CC＋CC＝116(個)． 方法二　可作三角形C－C＝116(個)， 其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有C＋CC＋C＝36(個)． (2)可作出四邊形C＋CC＋CC＝360(個)． 反思與感悟　(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法． (2)在處理幾何問題中的組合問題時，應(yīng)將幾何問題抽象成組合問題來解決． 跟蹤訓(xùn)練2　空間中有10個點(diǎn)，其中有5個點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，其余點(diǎn)無三點(diǎn)共線，無四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為(　　) A．205 B．110 C．204 D．200 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　與幾何有關(guān)的組合問題 答案　A 解析　方法一　可以按從共面的5個點(diǎn)中取0個、1個、2個、3個進(jìn)行分類，則得到所有的取法總數(shù)為CC＋CC＋CC＋CC＝205. 方法二　從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)的方法數(shù)中去掉4個點(diǎn)全部取自共面的5個點(diǎn)的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個數(shù)為C－C＝205. 類型三　分組、分配問題 例3　6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？ (1)每組2本(平均分組)； (2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)； (3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)． 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 解　(1)每組2本，均分為3組的方法數(shù)為＝＝15. (2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為CCC＝203＝60. (3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為＝＝15. 反思與感悟　一般地，n個不同的元素分成p組，各組內(nèi)元素數(shù)目分別為m1，m2，…，mp，其中k組元素數(shù)目相等，那么分組方法數(shù)是. 跟蹤訓(xùn)練3　6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本； (5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余兩人每人1本． 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 解　(1)(2)(3)中，由于每人分的本數(shù)固定，屬于定向分配問題，由分步乘法計數(shù)原理得： (1)共有CCC＝90(種)不同的分配方法； (2)共有CCC＝60(種)不同的分配方法； (3)共有CCC＝30(種)不同的分配方法． (4)(5)(6)屬于不定向分配問題，是該類題中比較困難的問題．分配給3人，同一本書給不同的人是不同的分法，屬于排列問題．實際上可看作兩個步驟：先分為3組，再把這3組分給甲、乙、丙3人的全排列數(shù)A即可．因此，(4)共有CCCAA＝90(種)不同的分配方法； (5)共有CCCA＝360(種)不同的分配方法； (6)共有CCCAA＝90(種)不同的分配方法． 例4　將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子， 求下列方法的種數(shù)． (1)每個盒子都不空； (2)恰有一個空盒子； (3)恰有兩個空盒子． 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 解　(1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有C＝10(種)． (2)恰有一個空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有C種插法，故共有CC＝40(種)． (3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進(jìn)行． 先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒． ①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子， 如||00||0000|，有C種插法． ②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|，有C種插法． 故共有C(C＋C)＝30(種)． 反思與感悟　相同元素分配問題的處理策略 (1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題． (2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板． 跟蹤訓(xùn)練4　某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有(　　) A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 答案　B 解析　由于只剩一本書，且這些畫冊、集郵冊分別相同，可以從剩余的書的類別進(jìn)行分析．又由于排列、組合針對的是不同的元素，應(yīng)從4位朋友中進(jìn)行選?。? 第一類：當(dāng)剩余的一本是畫冊時，相當(dāng)于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友，只有1位朋友得到畫冊．即把4位朋友分成人數(shù)為1,3的兩隊，有1個元素的那隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C種分法． 第二類：當(dāng)剩余的一本是集郵冊時，相當(dāng)于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友，有2位朋友得到畫冊，即把4位朋友分成人數(shù)為2,2的兩隊，一隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C種分法． 因此，滿足題意的贈送方法共有C＋C＝4＋6＝10(種)． 1．某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名選手參加比賽，種子選手必須在內(nèi)，那么不同選法共有(　　) A．26種 B．84種 C．35種 D．21種 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 答案　C 解析　從7名隊員中選出3人有C＝＝35(種)選法． 2．身高各不相同的7名同學(xué)排成一排照相，要求正中間的同學(xué)最高，左右兩邊分別順次一個比一個低，這樣的排法種數(shù)是(　　) A．5 040 B．36 C．18 D．20 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 答案　D 解析　最高的同學(xué)站中間，從余下6人中選3人在一側(cè)只有一種站法，另3人在另一側(cè)也只有一種站法，所以排法有C＝20(種)． 3．直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有(　　) A．25個 B．36個 C．100個 D．225個 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　與幾何有關(guān)的組合問題 答案　D 解析　從垂直于x軸的6條直線中任取2條，從垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個矩形，所以矩形總數(shù)為CC＝1515＝225. 4．從7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動，若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答) 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 答案　140 解析　安排方案分為兩步完成：從7名志愿者中選3人安排在周六參加社區(qū)公益活動，有C種方法；再從剩下的4名志愿者中選3人安排在周日參加社區(qū)公益活動，有C種方法．故不同的安排方案共有CC＝4＝140(種)． 5．正六邊形頂點(diǎn)和中心共7個點(diǎn)，可組成________個三角形． 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　與幾何有關(guān)的組合問題 答案　32 解析　不共線的三個點(diǎn)可組成一個三角形，7個點(diǎn)中共線的是：正六邊形過中心的3條對角線，即共有3種情況，故組成三角形的個數(shù)為C－3＝32. 1．無限制條件的組合應(yīng)用題．其解題步驟為： (1)判斷；(2)轉(zhuǎn)化；(3)求值；(4)作答． 2．有限制條件的組合應(yīng)用題： (1)“含”與“不含”問題： 這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法．解題時要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)． (2)幾何中的計算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決． (3)分組、分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的． 一、選擇題 1．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取3個不同的數(shù)，使其和為奇數(shù)，則不同的取法共有(　　) A．30種 B．33種 C．37種 D．40種 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 答案　D 解析　從1,2,3，…，9這9個數(shù)中取出3個不同的數(shù)，使其和為奇數(shù)的情況包括：(1)取出的3個數(shù)都是奇數(shù)，取法有C＝10(種)；(2)取出的3個數(shù)中有2個偶數(shù)、1個奇數(shù)，取法有CC＝30(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，滿足題意的取法共有10＋30＝40(種)． 2．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為(　　) A．24種 B．14種 C．28種 D．48種 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 答案　B 解析　方法一　分兩類完成： 第1類，選派1名女生、3名男生，有CC種選派方案； 第2類，選派2名女生、2名男生，有CC種選派方案． 故共有CC＋CC＝14(種)不同的選派方案． 方法二　6人中選派4人的組合數(shù)為C，其中都選男生的組合數(shù)為C，所以至少有1名女生的選派方案有C－C＝14(種)． 3．直線a∥b，a上有5個點(diǎn)，b上有4個點(diǎn)，以這九個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個數(shù)為(　　) A．CC＋CC B．(C＋C)(C＋C) C．C－9 D．C－C 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　與幾何有關(guān)的組合問題 答案　A 解析　可以分為兩類：a上取兩點(diǎn)，b上取一點(diǎn)，則可構(gòu)成三角形個數(shù)為CC；a上取一點(diǎn)，b上取兩點(diǎn)，則可構(gòu)成三角形個數(shù)為CC，利用分類加法計數(shù)原理可得以這九個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個數(shù)為CC＋CC，故選A. 4．從乒乓球運(yùn)動員男5名、女6名中組織一場混合雙打比賽，不同的組合方法有(　　) A．CC種 B．CA種 C．CACA種 D．AA種 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　排列與組合的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　先從5名男選手中任意選取2名，有C種選法，再從6名女選手中任意選擇兩名與選出的男選手打比賽，有CA，即A種．所以共有CA種． 5．將標(biāo)號為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張卡片，其中標(biāo)號為A，B的卡片放入同1個信封，則不同的放法共有(　　) A．12種 B．18種 C．36種 D．54種 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 答案　B 解析　由題意知，不同的放法共有CC＝3＝18(種)． 6．某地招募了20名志愿者，他們編號分別為1號，2號，…，19號，20號，如果要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個編號較大的人在另一組，那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數(shù)是(　　) A．16 B．21 C．24 D．90 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 答案　B 解析　分2類： 第1類，5號與14號為編號較大的一組，則另一組編號較小的有C＝6(種)選取方法． 第2類，5號與14號為編號較小的一組，則編號較大的一組有C＝15(種)選取方法． 由分類加法計數(shù)原理得，共有C＋C＝6＋15＝21(種)選取方法． 7．北京《財富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為(　　) A．CCC B．CAA C. D．CCCA 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 答案　A 解析　首先從14人中選出12人共C種，然后將12人平均分為3組共種，然后這兩步相乘，得.將三組分配下去共CCC種．故選A. 8．假如北京大學(xué)給中山市某三所重點(diǎn)中學(xué)7個自主招生的推薦名額，則每所中學(xué)至少分到一個名額的方法數(shù)為(　　) A．30 B．21 C．10 D．15 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 答案　D 解析　用“隔板法”．在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，有C＝15(種)分配方法． 二、填空題 9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加等級考試．小明同學(xué)決定在生物、政治、歷史三門中至多選擇一門，那么小明同學(xué)的選擇方案有________種． 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 答案　10 解析?、僭谏铩⒄?、歷史三門中選擇1門，則在物理、化學(xué)、地理中選2門，有CC＝9(種)選法； ②在生物、政治、歷史三門中選擇0門，則物理、化學(xué)、地理全選，有C＝1(種)選法． 共有選法9＋1＝10(種)． 10.如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐P－ABC與正三棱柱ABC－A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有______種． 考點(diǎn)　涂色問題 題點(diǎn)　涂色問題 答案　12 解析　先涂三棱錐P－ABC的三個側(cè)面，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，共有CCCC＝3212＝12(種)不同的涂法． 11．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種．(用數(shù)字作答) 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　排列與組合的綜合應(yīng)用 答案　60 解析　一、二、三等獎，三個人獲得，有A＝24(種)． 一、二、三等獎，有一個人獲得2張，一個人獲得1張，共有CA＝36(種)，共有24＋36＝60(種)不同的獲獎情況． 三、解答題 12．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，求不同取法的種數(shù)． 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 解　若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有CCC＝64(種)， 若2張同色，則有CCCC＝144(種)， 若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有CCCC＝192(種)， 剩余2張同色，則有CCC＝72(種)， 所以共有64＋144＋192＋72＝472(種)不同的取法． 13．現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)．現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？ 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 解　可以分三類． 第一類，讓兩項工作都能勝任的青年從事英語翻譯工作，有CC種選法； 第二類，讓兩項工作都能勝任的青年從事德語翻譯工作，有CC種選法； 第三類，讓兩項工作都能勝任的青年不從事任何工作，有CC種選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(種)不同的選法． 四、探究與拓展 14．20個不加區(qū)別的小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)為________． 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　分組分配問題 答案　120 解析　先在編號為2,3的盒內(nèi)分別放入1,2個球，還剩17個小球，三個盒內(nèi)分別至少再放入1個球，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中即可，共C＝120(種)方法． 15．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有4件次品為止． (1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？ 考點(diǎn)　排列組合綜合問題 題點(diǎn)　排列與組合的綜合應(yīng)用 解　(1)先排前4次測試，只能取正品，有A種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有CA＝A(種)測法，再排余下4件的測試位置，有A種測法． 所以共有不同測試方法AAA＝103 680(種)． (2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同測試方法CCA＝576(種)．