2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

第二章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解離散型隨機(jī)變量及分布列，并掌握兩個(gè)特殊的分布列二項(xiàng)分布和超幾何分布.3.理解離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，并能應(yīng)用其解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4.了解正態(tài)分布曲線特點(diǎn)及曲線所表示的意義1離散型隨機(jī)變量的分布列(1)如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量；所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量(2)若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱(chēng)表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，具有性質(zhì)：pi 0，i1,2，n；pi1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和2兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中0<p<1，q1p則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布3超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率：P(Xk) (k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，則稱(chēng)分布列X01mP為超幾何分布列4條件概率及其性質(zhì)(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來(lái)表示，其公式為P(B|A)(P(A)>0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A).(2)條件概率具有的性質(zhì)：0P(B|A)1；如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)A，B是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立6二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)，并稱(chēng)p為成功概率7離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱(chēng)E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱(chēng)D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(3)均值與方差的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b.D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))(4)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)8正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)，x(，)，其中和為參數(shù)(>0，R)我們稱(chēng)函數(shù)，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)；曲線在x處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為 1 ；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著 的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b (a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682 6；P(2<X2)0.954 4；P(3<X3)0.997 4.類(lèi)型一條件概率的求法例1設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程x2bxc0實(shí)根的個(gè)數(shù)(重根按一個(gè)計(jì))求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2bxc0有實(shí)根的概率考點(diǎn)條件概率的定義及計(jì)算公式題點(diǎn)直接利用公式求條件概率解記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，則基本事件總數(shù)為6636.其中先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5，共有11種從而P(M).記“方程x2bxc0有實(shí)根”為事件N，若使方程x2bxc0有實(shí)根，則b24c0，即b2.b，c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，當(dāng)先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5時(shí)，若b5，則c1,2,3,4,5,6；若c5，則b5,6.b5，c5只能算一種情況，從而P(MN).在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2bxc0有實(shí)根的概率為P(N|M).反思與感悟條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法(1)P(B|A).(2)P(B|A).在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)跟蹤訓(xùn)練1已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100個(gè)男人和100個(gè)女人中任選一人(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率(以上各問(wèn)結(jié)果寫(xiě)成最簡(jiǎn)分式形式)考點(diǎn)條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用題點(diǎn)條件概率的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用解設(shè)“任選一人是男人”為事件A，“任選一人是女人”為事件B，“任選一人是色盲”為事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)P(AC)P(BC)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B).(2)由(1)得P(AC)，又因?yàn)镻(C)，所以P(A|C).類(lèi)型二相互獨(dú)立事件的概率與二項(xiàng)分布例2天氣預(yù)報(bào)，在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為，至少有一個(gè)地方降雨的概率為，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在這段時(shí)間甲、乙兩地降雨互不影響(1)分別求甲、乙兩地降雨的概率；(2)在甲、乙兩地3天假期中，僅有一地降雨的天數(shù)為X，求X的分布列、均值與方差考點(diǎn)二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用題點(diǎn)求二項(xiàng)分布的分布列解(1)設(shè)甲、乙兩地降雨的事件分別為A，B，且P(A)x，P(B)y.由題意得解得所以甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為.(2)在甲、乙兩地中，僅有一地降雨的概率為PP(A )P(B)P(A)P()P()P(B).X的可能取值為0,1,2,3.P(X0)C3，P(X1)C12，P(X2)C2，P(X3)C3，所以X的分布列為X0123P所以E(X)0123.方差D(X)2222.反思與感悟(1)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問(wèn)題“P(AB)P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問(wèn)題的唯一工具涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問(wèn)題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系公式“P(AB)1P( )”常應(yīng)用于相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率(2)二項(xiàng)分布的判定與二項(xiàng)分布有關(guān)的問(wèn)題關(guān)鍵是二項(xiàng)分布的判定，可從以下幾個(gè)方面判定：每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)跟蹤訓(xùn)練2在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個(gè)巨大汽油罐，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是.(1)求油灌被引爆的概率；(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求不小于4的概率考點(diǎn)互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題題點(diǎn)互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題解(1)油罐引爆的對(duì)立事件為油罐沒(méi)有引爆，沒(méi)有引爆的可能情況是：射擊5次只擊中一次或一次也沒(méi)有擊中，故該事件的概率為PC45，所以所求的概率為1P1.(2)當(dāng)4時(shí)，記事件為A，則P(A)C2，當(dāng)5時(shí)，意味著前4次射擊只擊中一次或一次也未擊中，記為事件B.則P(B)C34，所以所求概率為P(AB)P(A)P(B).類(lèi)型三離散型隨機(jī)變量的均值與方差例3為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由考點(diǎn)均值與方差的應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差的綜合應(yīng)用解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，依題意，得P(X60)，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.依題意得X的所有可能取值為20,60，P(X20)，P(X60)，即X的分布列為X2060P所以這位顧客所獲獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為E(X)206040.(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每位顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以先尋找均值為60元的可能方案對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1，對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2，以下是對(duì)這兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的均值E(X1)206010060.X1的方差D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2，對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的均值E(X2)40608060，X2的方差D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2.反思與感悟求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能的全部取值；(2)求X取每個(gè)值的概率或求出函數(shù)P(Xk)；(3)寫(xiě)出X的分布列；(4)由分布列和均值的定義求出E(X)；(5)由方差的定義，求D(X)，若XB(n，p)，則可直接利用公式求，E(X)np，D(X)np(1p)跟蹤訓(xùn)練3某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的分布列如下表：X15678P0.4ab0.1且X1的均值E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的均值；(3)在(1)(2)的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性？說(shuō)明理由注：產(chǎn)品的“性價(jià)比”；“性價(jià)比”高的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性考點(diǎn)均值與方差的應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差的綜合應(yīng)用解(1)E(X1)6，50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的均值為4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下：甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的均值為6，價(jià)格為6元/件，其性價(jià)比為1，乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的均值等于4.8，價(jià)格為4元/件，其性價(jià)比為1.2.乙廠的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性類(lèi)型四正態(tài)分布的應(yīng)用例4為了評(píng)估某大米包裝生產(chǎn)設(shè)備的性能，從該設(shè)備包裝的大米中隨機(jī)抽取100袋作為樣本，稱(chēng)其重量為重量kg9.59.69.79.89.910.010.110.210.310.410.510.610.710.8合計(jì)包數(shù)11356193418342121100經(jīng)計(jì)算：樣本的平均值10.10，標(biāo)準(zhǔn)差0.21.(1)為評(píng)判該生產(chǎn)線的性能，從該生產(chǎn)線中任抽取一袋，設(shè)其重量為X(kg)，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判P(<X)0.682 6；P( 2<X2)0.954 4；P(3<X3)0.997 4；若同時(shí)滿足三個(gè)不等式，則生產(chǎn)設(shè)備為甲級(jí)；滿足其中兩個(gè)，則為乙級(jí)；僅滿足其中一個(gè)，則為丙級(jí)；若全不滿足，則為丁級(jí)請(qǐng)判斷該設(shè)備的等級(jí)；(2)將重量小于或等于2與重量大于2的包裝認(rèn)為是不合格的包裝，從設(shè)備的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5袋大米，求其中不合格包裝袋數(shù)Y的均值E(Y)考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的綜合應(yīng)用解(1)由題意得P(<X)P(9.89<X10.31)0.8>0.682 6，P(2<X2)P(9.68<X10.52)0.94<0.954 4，P(3<X3)P(9.47<X10.73)0.99<0.997 4，所以該生產(chǎn)設(shè)備為丙級(jí)(2)由表知，不合格的包裝共有6袋，則從設(shè)備的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽一袋不合格的概率P，由題意知Y服從二項(xiàng)分布，即YB，所以E(Y)50.3.反思與感悟正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于將待求的問(wèn)題向(，(2，2，(3，3這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想跟蹤訓(xùn)練4某市去年高考考生成績(jī)X服從正態(tài)分布N(500,502)，現(xiàn)有25 000名考生，試確定考生成績(jī)?cè)?50分600分的人數(shù)考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用解考生成績(jī)XN(500,502)，500，50，P(550<X600)P(500250<X500250)P(50050<X50050)(0.954 40.682 6)0.135 9.故考生成績(jī)?cè)?50分600分的人數(shù)約為25 0000.135 93 398.1拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為()A. B. C. D.考點(diǎn)條件概率的定義及計(jì)算公式題點(diǎn)利用縮小基本事件空間求條件概率答案D解析設(shè)拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4為事件A，拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)為事件B，則P(B|A).故選D.2國(guó)慶節(jié)放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分別是，.假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A. B. C. D.考點(diǎn)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點(diǎn)獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用答案B解析設(shè)“國(guó)慶節(jié)放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分別為事件A，B，C，則A，B，C相互獨(dú)立且P(A)，P(B)，P(C)，至少有1人去北京旅游的概率為1P( )1P()P()P()11，故選B.3某班有50名學(xué)生，一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)N(110,102)，若P(100110)0.34，則估計(jì)該班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上(含120分)的人數(shù)為()A10 B9 C8 D7考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用答案C解析數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(110,102)，且P(100110)0.34，P(120)P(<100)(10.342)0.16，該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為0.16508.4設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k)mk，k1,2,3，則m的值為 考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)分布列的性質(zhì)求參數(shù)答案解析因?yàn)镻(1)P(2)P(3)1，即m1，所以m.5某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)，若P(X0)，則隨機(jī)變量X的均值E(X) .考點(diǎn)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點(diǎn)獨(dú)立事件與分布列答案解析隨機(jī)變量X的可能取值是0,1,2,3.由題意知P(X0)(1p)2，所以p，于是P(X1)，P(X3)，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)1，所以均值E(X)0123.1條件概率的兩個(gè)求解策略(1)定義法：計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)求解(2)縮小樣本空間法：利用P(B|A)求解其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題2求解實(shí)際問(wèn)題的均值與方差的解題思路：先要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的分布列，同時(shí)要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì)一、選擇題1已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D8考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果答案C解析由題意和分布列的性質(zhì)得0.50.1b1，且E(X)40.50.1a9b6.3，解得b0.4，a7.2某工程施工在很大程度上受當(dāng)?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X(單位：mm)對(duì)工期延誤天數(shù)Y的影響及相應(yīng)的概率P如下表所示：年降水量XX<100100X<200200X<300X300工期延誤天數(shù)Y051530概率P0.40.20.10.3在年降水量X至少是100的條件下，工期延誤小于30天的概率為()A0.7 B0.5C0.3 D0.2考點(diǎn)條件概率的定義及計(jì)算公式題點(diǎn)直接利用公式求條件概率答案B解析設(shè)事件A為“年降水量X至少是100”，事件B為“工期延誤小于30天”，則P(B|A)0.5，故選B.3從應(yīng)屆高中畢業(yè)生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該生均合格的概率為(假設(shè)各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)()A. B.C. D.考點(diǎn)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算題點(diǎn)求多個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率答案D解析該生各項(xiàng)均合格的概率為.4設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則P(X<13a)P(X>a27)成立的一個(gè)必要不充分條件是()Aa1或2 Ba1或2Ca2 Da考點(diǎn)正態(tài)分布密度函數(shù)的概念題點(diǎn)正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用答案B解析XN(3,4)，P(X<13a)P(X>a27)，(13a)(a27)23，a1或2.故選B.5(2017福建莆田二十四中高二期中)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A0.648 B0.432C0.36 D0.312考點(diǎn)互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題題點(diǎn)互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題答案A解析根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為C0.620.4C0.630.648.6命題r：隨機(jī)變量N(3，2)，若P(2)0.4，則P(4)0.6.命題q：隨機(jī)變量B(n，p)，且E()200，D()100，則p0.5.則()Ar正確，q錯(cuò)誤Br錯(cuò)誤，q正確Cr錯(cuò)誤，q也錯(cuò)誤Dr正確，q也正確考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的綜合應(yīng)用答案D解析因?yàn)殡S機(jī)變量N(3，2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x3對(duì)稱(chēng)，又P(2)0.4，則P(>4)P(2)0.4，所以P(4)0.6，所以r是正確的；隨機(jī)變量B(n，p)，且E()np200，D()np(1p)100，所以200(1p)100，解得p0.5，所以q是正確的故選D.7節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷(xiāo)售價(jià)是每束5元；節(jié)日賣(mài)不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理根據(jù)前五年銷(xiāo)售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布列X200300400500P0.200.350.300.15若進(jìn)這種鮮花500束，則利潤(rùn)的均值為()A706元 B690元C754元 D720元考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量均值的概率與計(jì)算題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算答案A解析因?yàn)镋(X)2000.23000.354000.35000.15340，所以利潤(rùn)的均值為340(52.5)(500340)(2.51.6)706元，故選A.8某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100從樣本成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，這2人中成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)為，則的均值為()A. B.C. D.考點(diǎn)常見(jiàn)的幾種均值題點(diǎn)與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值答案B解析由頻率分布直方圖知，30.006100.01100.0541010x1，解得x0.018，成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.0180.006)105012，成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)為0.00610503，的可能取值為0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，E()012.二、填空題9盒中有10支螺絲釘，其中3支是壞的，現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩支，那么在第一支抽取為好的條件下，第二支是壞的概率為 考點(diǎn)條件概率的定義及計(jì)算公式題點(diǎn)直接利用公式求條件概率答案解析記事件A為“第一支抽取為好的”，事件B為“第二支是壞的”，則P(A)，P(AB)，P(B|A).10甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出已知每一局甲、乙二人獲勝的概率分別為，則甲勝出的概率為 考點(diǎn)互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題題點(diǎn)互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題答案解析方法一甲勝的情況為：舉行一局比賽，甲勝出，比賽結(jié)束，舉行兩局比賽，第一局乙勝，第二局甲勝，其概率分別為，且這兩個(gè)事件是互斥的，所以甲勝出的概率為.方法二因?yàn)楸荣惤Y(jié)果只有甲勝出和乙勝出兩個(gè)結(jié)果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝出，其概率為，所以甲勝出的概率為1.11一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲得30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利 元考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計(jì)算題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算答案37解析設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢(qián)數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的取值可以是20,30,50.依題意，X的分布列為X203050P0.10.30.6故E(X)200.1300.3500.637(元)12一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8，每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種則每穴至少種 粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.(lg 20.301 0)考點(diǎn)互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題題點(diǎn)互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題答案3解析記事件A為“種一粒種子，發(fā)芽”，則P(A)0.8，P()10.80.2.因?yàn)槊垦ǚNn粒相當(dāng)于做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”，則P()C0.80(10.8)n0.2n，所以P(B)1P()10.2n.根據(jù)題意，得P(B)>98%，即0.2n<0.02.兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得nlg 0.2<lg 0.02，即n(lg 21)<lg 22，所以n>2.43.因?yàn)閚N*，所以n的最小正整數(shù)值為3.三、解答題13一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)用X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與均值(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足abc，則稱(chēng)b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))考點(diǎn)常見(jiàn)的幾種均值題點(diǎn)與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值解(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率P.(2)X的所有可能取值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列為X123P從而E(X)123.四、探究與拓展14某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇方案甲：?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為.第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束若中獎(jiǎng)，則通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)且在第二次抽獎(jiǎng)中，若中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金1 000元；若未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為0元方案乙：?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)率均為，每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)哪個(gè)方案更劃算？考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用解(1)由題意得，X的所有可能取值為0,500,1 000，則P(X0)，P(X500)，P(X1 000)，所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為X05001 000P(2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的均值E(X)5001 000520，若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)B，則E()3，抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金Y的均值E(Y)E(400)400E()480，故選擇方案甲較劃算15某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、均值及方差；若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用解(1)當(dāng)日需求量n16時(shí)，利潤(rùn)y80.當(dāng)日需求量n<16時(shí)，利潤(rùn)y10n80.所以當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.故X的分布列為X607080P0.10.20.7E(X)600.1700.2800.776，D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.方法一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4，D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)<D(Y)，即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小另外，雖然E(X)<E(Y)，但兩者相差不大，故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花方法二：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)<E(Y)，即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn)故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花