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第二章 隨機變量及其分布
章末復習
學習目標 1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念.2.理解離散型隨機變量及分布列，并掌握兩個特殊的分布列——二項分布和超幾何分布.3.理解離散型隨機變量的均值、方差的概念，并能應用其解決一些簡單的實際問題.4.了解正態(tài)分布曲線特點及曲線所表示的意義．
1．離散型隨機變量的分布列
(1)如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量；所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
(2)若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有性質(zhì)：
①pi ≥ 0，i＝1,2，…，n；
②pi＝1.
離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．
2．兩點分布
如果隨機變量X的分布列為
X
1
0
P
p
q
其中0
0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝.
(2)條件概率具有的性質(zhì)：
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是兩個互斥事件，
則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
5．相互獨立事件
(1)對于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A，B是相互獨立事件．
(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨立．
6．二項分布
(1)獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的．
(2)在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．
7．離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量X的標準差．
(3)均值與方差的性質(zhì)
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù))
(4)兩點分布與二項分布的均值、方差
①若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
8．正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
③曲線在x＝μ處達到峰值；
④曲線與x軸之間的面積為 1 ；
⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著 μ 的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；
⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；
σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．
(3)正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實數(shù)a，b (a0.682 6，
P(μ－2σa2＋7)成立的一個必要不充分條件是( )
A．a(chǎn)＝1或2 B．a(chǎn)＝1或2
C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝
考點 正態(tài)分布密度函數(shù)的概念
題點 正態(tài)曲線性質(zhì)的應用
答案 B
解析 ∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝23，∴a＝1或2.故選B.
5．(2017福建莆田二十四中高二期中)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
考點 互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題
題點 互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題
答案 A
解析 根據(jù)獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為C0.620.4＋C0.63＝0.648.
6．命題r：隨機變量ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.4，則P(ξ≤4)＝0.6.命題q：隨機變量η～B(n，p)，且E(η)＝200，D(η)＝100，則p＝0.5.則( )
A．r正確，q錯誤
B．r錯誤，q正確
C．r錯誤，q也錯誤
D．r正確，q也正確
考點 正態(tài)分布的應用
題點 正態(tài)分布的綜合應用
答案 D
解析 因為隨機變量ξ～N(3，σ2)，所以正態(tài)曲線關于x＝3對稱，又P(ξ≤2)＝0.4，則P(ξ>4)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以P(ξ≤4)＝0.6，所以r是正確的；隨機變量η～B(n，p)，且E(η)＝np＝200，D(η)＝np(1－p)＝100，所以200(1－p)＝100，解得p＝0.5，所以q是正確的．故選D.
7．節(jié)日期間，某種鮮花進貨價是每束2.5元，銷售價是每束5元；節(jié)日賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理．根據(jù)前五年銷售情況預測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布列
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若進這種鮮花500束，則利潤的均值為( )
A．706元 B．690元
C．754元 D．720元
考點 離散型隨機變量均值的概率與計算
題點 離散型隨機變量均值的計算
答案 A
解析 因為E(X)＝2000.2＋3000.35＋4000.3＋5000.15＝340，
所以利潤的均值為340(5－2.5)－(500－340)(2.5－1.6)＝706元，故選A.
8．某班50名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．從樣本成績不低于80分的學生中隨機選取2人，這2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)為ξ，則ξ的均值為( )
A. B.
C. D.
考點 常見的幾種均值
題點 與排列、組合有關的隨機變量的均值
答案 B
解析 由頻率分布直方圖知，30.00610＋0.0110＋0.05410＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成績不低于80分的學生人數(shù)為(0.018＋0.006)1050＝12，成績在90分以上(含90分)的學生人數(shù)為0.0061050＝3，
∴ξ的可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0＋1＋2＝.
二、填空題
9．盒中有10支螺絲釘，其中3支是壞的，現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩支，那么在第一支抽取為好的條件下，第二支是壞的概率為 ．
考點 條件概率的定義及計算公式
題點 直接利用公式求條件概率
答案
解析 記事件A為“第一支抽取為好的”，事件B為“第二支是壞的”，則
P(A)＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
10．甲、乙兩人進行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結束，乙勝出．已知每一局甲、乙二人獲勝的概率分別為，，則甲勝出的概率為 ．
考點 互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題
題點 互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題
答案
解析 方法一 甲勝的情況為：①舉行一局比賽，甲勝出，比賽結束，②舉行兩局比賽，第一局乙勝，第二局甲勝，其概率分別為，，且這兩個事件是互斥的，所以甲勝出的概率為＋＝.
方法二 因為比賽結果只有甲勝出和乙勝出兩個結果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝出，其概率為＝，所以甲勝出的概率為1－＝.
11．一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲得30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預期獲利 元．
考點 離散型隨機變量的均值的概念與計算
題點 離散型隨機變量均值的計算
答案 37
解析 設生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢數(shù)為X，則隨機變量X的取值可以是－20,30,50.依題意，X的分布列為
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)＝－200.1＋300.3＋500.6＝37(元)．
12．一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8，每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補種，否則需要補種．則每穴至少種 粒，才能保證每穴不需補種的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0)
考點 互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題
題點 互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題
答案 3
解析 記事件A為“種一粒種子，發(fā)芽”，
則P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.
因為每穴種n粒相當于做了n次獨立重復試驗，記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”，
則P()＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n，
所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
根據(jù)題意，得P(B)>98%，即0.2n<0.02.
兩邊同時取以10為底的對數(shù)，得
nlg 0.2＝≈2.43.
因為n∈N*，
所以n的最小正整數(shù)值為3.
三、解答題
13．一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；
(2)用X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與均值．
(注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))
考點 常見的幾種均值
題點 與排列、組合有關的隨機變量的均值
解 (1)由古典概型的概率計算公式知所求概率P＝＝.
(2)X的所有可能取值為1,2,3，
則P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列為
X
1
2
3
P
從而E(X)＝1＋2＋3＝.
四、探究與拓展
14．某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇．
方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束．若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金1 000元；若未中獎，則所獲得的獎金為0元．
方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲得獎金400元．
(1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列；
(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎．哪個方案更劃算？
考點 均值、方差的綜合應用
題點 均值與方差在實際中的應用
解 (1)由題意得，X的所有可能取值為0,500,1 000，則P(X＝0)＝＋＝，
P(X＝500)＝＝，
P(X＝1 000)＝＝，
所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列為
X
0
500
1 000
P
(2)由(1)可知，選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X的均值E(X)＝500＋1 000＝520，
若選擇方案乙進行抽獎，中獎次數(shù)ξ～B，
則E(ξ)＝3＝，抽獎所獲獎金Y的均值E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算．
15．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．
(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．
①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、均值及方差；
②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由．
考點 均值、方差的綜合應用
題點 均值與方差在實際中的應用
解 (1)當日需求量n≥16時，利潤y＝80.
當日需求量n<16時，利潤y＝10n－80.
所以當天的利潤y關于當天需求量n的函數(shù)解析式為
y＝(n∈N)
(2)①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
故X的分布列為
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
E(X)＝600.1＋700.2＋800.7＝76，
D(X)＝(60－76)20.1＋(70－76)20.2＋(80－76)20.7＝44.
②方法一：花店一天應購進16枝玫瑰花．
理由如下：
若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
E(Y)＝550.1＋650.2＋750.16＋850.54＝76.4，
D(Y)＝(55－76.4)20.1＋(65－76.4)20.2＋(75－76.4)20.16＋(85－76.4)20.54＝112.04.
由以上的計算結果可以看出，D(X)
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第二章
隨機變量及其分布章末復習學案
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