2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機變量的分布列學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

2.1.2離散型隨機變量的分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念與性質(zhì).2.會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列(重點)3.理解兩點分布和超幾何分布及其推導(dǎo)過程，并能簡單的運用(難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1離散型隨機變量的分布列(1)定義一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn這個表格稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列為了簡單起見，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)性質(zhì)pi0，i1,2，n；i1.思考：求離散型隨機變量的分布列應(yīng)按幾步進(jìn)行？提示求離散型隨機變量的分布列的步驟：(1)找出隨機變量所有可能的取值xi(i1,2,3，n)；(2)求出相應(yīng)的概率P(Xxi)pi(i1,2,3，n)；(3)列成表格形式2兩點分布X01P1pp若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點分布，并稱pP(X1)為成功概率3超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mmin，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP思考：如何正確理解超幾何分布？提示在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“優(yōu)，劣”等(1)在應(yīng)用超幾何分布解題時，應(yīng)首先明確隨機變量的取值是否滿足超幾何分布的使用范圍(2)在產(chǎn)品抽樣中，一般采用不放回抽樣(3)超幾何分布的分布列為X01mP基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在離散型隨機變量分布列中，每一個可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實數(shù)()(2)新生兒的性別、投籃是否命中、買到的商品是否為正品，可用兩點分布研究()(3)從3本物理書和5本數(shù)學(xué)書中選出3本，記選出的數(shù)學(xué)書為X本，則X服從超幾何分布()解析(1)因為在離散型隨機變量分布列中每一個可能值對應(yīng)隨機事件的概率均在0,1范圍內(nèi)(2)根據(jù)兩點分布的概念知，該說法正確(3)X的可能取值為0,1,2,3，可求得P(Xk)(k0,1,2,3)，是超幾何分布答案(1)(2)(3)2下列表中能成為隨機變量X的分布列的是() 【導(dǎo)學(xué)號：95032128】A.X101P0.30.40.4B.X123P0.40.70.1C.X101P0.30.40.3D.X123P0.30.40.4C由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負(fù)且和為1.3若離散型隨機變量X的分布列為X01P2a3a則a()A.B.C. D.A由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，2a3a1，所以a.4某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數(shù)，則P(X3)_. 【導(dǎo)學(xué)號：95032129】P(X3).合 作 探 究攻 重 難分布列的性質(zhì)及應(yīng)用設(shè)隨機變量X的分布列Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P.解分布列可改寫為：XPa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a. (2)PPPP，或P1P1.規(guī)律方法利用離散型分布列的性質(zhì)解題時要注意以下兩個問題(1)XXi的各個取值表示的事件是互斥的(2)不僅要注意i1而且要注意pi0，i1,2，n.跟蹤訓(xùn)練1若離散型隨機變量X的分布列為：X01P4a13a2a求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列解由分布列的性質(zhì)可知：3a2a4a11，即3a25a20，解得a或a2，又因為4a1>0，即a>，故a2.所以a，此時4a1，3a2a.所以隨機變量X的分布列為：X01P求離散型隨機變量yf()的分布列已知隨機變量的分布列為210123P分別求出隨機變量1，22的分布列. 【導(dǎo)學(xué)號：95032130】解由1知，對于取不同的值2，1,0,1,2,3時，1的值分別為1，0，1，所以1的分布列為1101P由22知，對于的不同取值2,2及1,1，2分別取相同的值4與1，即2取4這個值的概率應(yīng)是取2與2的概率與的和，2取1這個值的概率應(yīng)是取1與1的概率與的和，所以2的分布列為20149P規(guī)律方法(1)若是一個隨機變量，a，b是常數(shù)，則ab也是一個隨機變量，推廣到一般情況有：若是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f()也是隨機變量，也就是說，隨機變量的某些函數(shù)值也是隨機變量，并且若為離散型隨機變量，則f()也為離散型隨機變量.(2)已知離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量f()的分布列的關(guān)鍵是弄清楚取每一個值時對應(yīng)的的值，再把取相同的值時所對應(yīng)的事件的概率相加，列出概率分布列即可.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列解由分布列的性質(zhì)知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表為：X012342X113579|X1|10123從而由上表得兩個分布列為：(1)2X1的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3利用排列組合求分布列袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數(shù)(1)求袋中所有的白球的個數(shù)(2)求隨機變量的分布列(3)求甲取到白球的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032131】思路探究可以利用組合數(shù)公式與古典概型概率公式求各種取值的概率解(1)設(shè)袋中原有n個白球，由題意知.可得n3或n2(舍去)，即袋中原有3個白球(2)由題意，的可能取值為1,2,3,4,5.P(1)；P(2)；P(3)；P(4)；P(5).所以的分布列為：12345P(3)因為甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記“甲取到白球”為事件A，則P(A)P(1)P(3)P(5).規(guī)律方法求離散型隨機變量分布列時應(yīng)注意的問題(1)確定離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是要搞清取每一個值對應(yīng)的隨機事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識求出取每一個值的概率(2)在求離散型隨機變量的分布列時，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運算量，還可以驗證分布列是否正確跟蹤訓(xùn)練3口袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，用X表示取出的最大號碼，求X的分布列解隨機變量X的可能取值為3,4,5,6.從袋中隨機取3個球，包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X3”包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X4”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X5”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X6”包含的基本事件總數(shù)為CC.從而有P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6)，所以隨機變量X的分布列為X3456P兩點分布與超幾何分布探究問題1利用隨機變量研究一類問題，如抽取的獎券是否中獎，買回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些有什么共同點？提示這些問題的共同點是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果定義一個隨機變量，使其中一個結(jié)果對應(yīng)于1，另一個結(jié)果對應(yīng)于0，即得到服從兩點分布的隨機變量2只取兩個不同值的隨機變量是否一定服從兩點分布？提示不一定如隨機變量X的分布列由下表給出X25P0.30.7X不服從兩點分布，因為X的取值不是0或1.3在8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現(xiàn)從中取3個球，求取出的球中白球個數(shù)X是否服從超幾何分布？超幾何分布適合解決什么樣的概率問題？提示隨機變量X服從超幾何分布，超幾何分布適合解決從一個總體(共有N個個體)內(nèi)含有兩種不同事物A(M個)、B(NM個)，任取n個，其中恰有X個A的概率分布問題在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，求顧客乙中獎的概率；設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列. 【導(dǎo)學(xué)號：95032132】思路探究(1)從10張獎券中抽取1張，其結(jié)果有中獎和不中獎兩種，故X(0,1)(2)從10張獎券中任意抽取2張，其中含有中獎的獎券的張數(shù)X(X1,2)服從超幾何分布解(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況P(X1)，則P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列為X01P(2)顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎故所求概率P.Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此隨機變量Y的分布列為Y010205060P規(guī)律方法1兩點分布的幾個特點(1)兩點分布中只有兩個對應(yīng)結(jié)果，且兩個結(jié)果是對立的(2)由對立事件的概率求法可知，已知P(X0)(或P(X1)，便可求出P(X1)(或P(X0)2解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，從而求出X的分布列跟蹤訓(xùn)練4老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布列；(2)他能及格的概率解(1)設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，則P(Xr)(r0,1,2,3)所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布列為X0123P(2)他能及格的概率P(X2)P(X2)P(X3).當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1設(shè)隨機變量的分布列為P(i)a，i1,2,3，則a的值為()A1BC DC由分布列的性質(zhì)可知：a1，解得a.2設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X描述一次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)等于() 【導(dǎo)學(xué)號：95032133】A0 B.C. D.B設(shè)P(X1)p，則P(X0)1p.依題意知，p2(1p)，解得p.故P(X0)1p.3設(shè)隨機變量X等可能地取值1,2,3,4，10.又設(shè)隨機變量Y2X1，則P(Y6)的值為()A0.3 B0.5C0.1 D0.2AY6即2X16，X，即X1,2,3，P(Y6)PP(X1)P(X2)P(X3).4將一枚硬幣擲三次，設(shè)X為正面向上的次數(shù)，則P(0X3)_.本題是一個等可能事件的概率試驗發(fā)生包含的事件是將一枚硬幣擲三次共有238種結(jié)果而X的可能取值為0,1,2,3.X0表示三次都是反面向上，有一種結(jié)果，X3表示三次都是正面向上，有一種結(jié)果所以P(0X3)1.5從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù)(1)求的分布列；(2)求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032134】解(1)可能取的值為0,1,2，服從超幾何分布，P(k)，k0,1,2.所以，的分布列為012P(2)由(1)知，“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為P(1)P(0)P(1).