2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.1.2　離散型隨機(jī)變量的分布列 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念與性質(zhì).2.會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列．(重點(diǎn))3.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布及其推導(dǎo)過(guò)程，并能簡(jiǎn)單的運(yùn)用．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 這個(gè)表格稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列． 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②i＝1. 思考：求離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)按幾步進(jìn)行？ [提示]　求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟： (1)找出隨機(jī)變量所有可能的取值xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出相應(yīng)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…，n)； (3)列成表格形式． 2．兩點(diǎn)分布 X 0 1 P 1－p p 若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率． 3．超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則 P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m， 其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X 0 1 … m P … 思考：如何正確理解超幾何分布？ [提示]　在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“優(yōu)，劣”等． (1)在應(yīng)用超幾何分布解題時(shí)，應(yīng)首先明確隨機(jī)變量的取值是否滿足超幾何分布的使用范圍． (2)在產(chǎn)品抽樣中，一般采用不放回抽樣． (3)超幾何分布的分布列為 X 0 1 … m P … [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)在離散型隨機(jī)變量分布列中，每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù)． (　　) (2)新生兒的性別、投籃是否命中、買(mǎi)到的商品是否為正品，可用兩點(diǎn)分布研究． (　　) (3)從3本物理書(shū)和5本數(shù)學(xué)書(shū)中選出3本，記選出的數(shù)學(xué)書(shū)為X本，則X服從超幾何分布． (　　) [解析]　　(1)　因?yàn)樵陔x散型隨機(jī)變量分布列中每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件的概率均在[0,1]范圍內(nèi)． (2)√　根據(jù)兩點(diǎn)分布的概念知，該說(shuō)法正確． (3)√　X的可能取值為0,1,2,3，可求得P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，是超幾何分布． [答案]　(1)　(2)√　(3)√ 2．下列表中能成為隨機(jī)變量X的分布列的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032128】 A. X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B. X 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C. X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D. X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 C　[由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負(fù)且和為1.] 3．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 2a 3a 則a＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. A　[由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，2a＋3a＝1，所以a＝.] 4．某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則P(X＝3)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032129】 　[P(X＝3)＝＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 　設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常數(shù)a的值； (2)求P. [解]　分布列可改寫(xiě)為： X P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝， 或P＝1－P＝1－＝. [規(guī)律方法]　利用離散型分布列的性質(zhì)解題時(shí)要注意以下兩個(gè)問(wèn)題 (1)X＝Xi的各個(gè)取值表示的事件是互斥的． (2)不僅要注意i＝1而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n. [跟蹤訓(xùn)練] 1．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 1 P 4a－1 3a2＋a 求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列． [解]　由分布列的性質(zhì)可知：3a2＋a＋4a－1＝1， 即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2， 又因?yàn)?a－1>0，即a>，故a≠－2. 所以a＝，此時(shí)4a－1＝，3a2＋a＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 1 P 求離散型隨機(jī)變量y＝f(ξ)的分布列 　已知隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分別求出隨機(jī)變量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032130】 [解]　由η1＝ξ知，對(duì)于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3時(shí)，η1的值分別為－1，－，0，，1，， 所以η1的分布列為 η1 －1 － 0 1 P 由η2＝ξ2知，對(duì)于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ取－2與2的概率與的和，η2取1這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ取－1與1的概率與的和， 所以η2的分布列為 η2 0 1 4 9 P [規(guī)律方法]　(1)若ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù)，則η＝aξ＋b也是一個(gè)隨機(jī)變量，推廣到一般情況有：若ξ是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則η＝f(ξ)也是隨機(jī)變量，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量的某些函數(shù)值也是隨機(jī)變量，并且若ξ為離散型隨機(jī)變量，則η＝f(ξ)也為離散型隨機(jī)變量. (2)已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列，求離散型隨機(jī)變量η＝f(ξ)的分布列的關(guān)鍵是弄清楚ξ取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的η的值，再把η取相同的值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率相加，列出概率分布列即可. [跟蹤訓(xùn)練] 2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． [解]　由分布列的性質(zhì)知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表為： X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 從而由上表得兩個(gè)分布列為： (1)2X＋1的分布列： 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列： |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 利用排列組合求分布列 　袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中所有的白球的個(gè)數(shù)． (2)求隨機(jī)變量ξ的分布列． (3)求甲取到白球的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032131】 [思路探究]　可以利用組合數(shù)公式與古典概型概率公式求各種取值的概率． [解]　(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知＝＝＝. 可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3個(gè)白球． (2)由題意，ξ的可能取值為1,2,3,4,5. P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝. 所以ξ的分布列為： ξ 1 2 3 4 5 P (3)因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記“甲取到白球”為事件A，則 P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝. [規(guī)律方法]　求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識(shí)求出ξ取每一個(gè)值的概率． (2)在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運(yùn)算量，還可以驗(yàn)證分布列是否正確． [跟蹤訓(xùn)練] 3．口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，用X表示取出的最大號(hào)碼，求X的分布列． [解]　隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5,6. 從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X＝3”包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X＝4”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X＝5”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X＝6”包含的基本事件總數(shù)為CC. 從而有P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 3 4 5 6 P 兩點(diǎn)分布與超幾何分布 [探究問(wèn)題] 1．利用隨機(jī)變量研究一類問(wèn)題，如抽取的獎(jiǎng)券是否中獎(jiǎng)，買(mǎi)回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些有什么共同點(diǎn)？ [提示]　這些問(wèn)題的共同點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果．定義一個(gè)隨機(jī)變量，使其中一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于1，另一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于0，即得到服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量． 2．只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量是否一定服從兩點(diǎn)分布？ [提示]　不一定．如隨機(jī)變量X的分布列由下表給出 X 2 5 P 0.3 0.7 X不服從兩點(diǎn)分布，因?yàn)閄的取值不是0或1. 3．在8個(gè)大小相同的球中，有2個(gè)黑球，6個(gè)白球，現(xiàn)從中取3個(gè)球，求取出的球中白球個(gè)數(shù)X是否服從超幾何分布？超幾何分布適合解決什么樣的概率問(wèn)題？ [提示]　隨機(jī)變量X服從超幾何分布，超幾何分布適合解決從一個(gè)總體(共有N個(gè)個(gè)體)內(nèi)含有兩種不同事物A(M個(gè))、B(N—M個(gè))，任取n個(gè)，其中恰有X個(gè)A的概率分布問(wèn)題． 　在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品． (1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列； (2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張， ①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率； ②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032132】 [思路探究]　(1)從10張獎(jiǎng)券中抽取1張，其結(jié)果有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種，故X～(0,1)．(2)從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，其中含有中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券的張數(shù)X(X＝1,2)服從超幾何分布． [解]　(1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況． P(X＝1)＝＝＝，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列為 X 0 1 P (2)①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng)． 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且 P(Y＝0)＝＝＝， P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝20)＝＝＝， P(Y＝50)＝＝＝， P(Y＝60)＝＝＝. 因此隨機(jī)變量Y的分布列為 Y 0 10 20 50 60 P [規(guī)律方法]　 1．兩點(diǎn)分布的幾個(gè)特點(diǎn) (1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果，且兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的． (2)由對(duì)立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))． 2．解決超幾何分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問(wèn)題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶． (2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列． [跟蹤訓(xùn)練] 4．老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求： (1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布列； (2)他能及格的概率． [解]　(1)設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X， 則P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3)． 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＝. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a，i＝1,2,3，則a的值為(　　) A．1　　　　　　　　　 B． C． D． C　[由分布列的性質(zhì)可知：a＝1，解得a＝.] 2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032133】 A．0 B. C. D. B　[設(shè)P(X＝1)＝p，則P(X＝0)＝1－p. 依題意知，p＝2(1－p)，解得p＝. 故P(X＝0)＝1－p＝.] 3．設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,4，…10.又設(shè)隨機(jī)變量Y＝2X－1，則P(Y＜6)的值為(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 A　[Y＜6即2X－1＜6，∴X＜，即X＝1,2,3，∴P(Y＜6)＝P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.] 4．將一枚硬幣擲三次，設(shè)X為正面向上的次數(shù)，則P(0＜X＜3)＝________. 　[本題是一個(gè)等可能事件的概率．試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是將一枚硬幣擲三次共有23＝8種結(jié)果．而X的可能取值為0,1,2,3.X＝0表示三次都是反面向上，有一種結(jié)果，X＝3表示三次都是正面向上，有一種結(jié)果．所以P(0＜X＜3)＝1－＝.] 5．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)． (1)求ξ的分布列； (2)求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032134】 [解]　(1)ξ可能取的值為0,1,2，服從超幾何分布， P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2. 所以，ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P (2)由(1)知，“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率為 P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.