（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 7.4 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應用（第1課時）講義（含解析）.docx

7.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應用最新考綱考情考向分析1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式及其應用2.會利用數(shù)列的關系解決實際問題.本節(jié)以考查分組法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法求數(shù)列前n項和為主，識別出等差(比)數(shù)列，直接用公式法也是考查的熱點題型以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等或稍難與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合.1等差數(shù)列的前n項和公式Snna1d.2等比數(shù)列的前n項和公式Sn3一些常見數(shù)列的前n項和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn(n1)(4)1222n2.4數(shù)列求和的常用方法(1)公式法等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的可直接使用公式求和(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項常見的裂項公式；.(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣(5)錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn.()(2)當n2時，.()(3)求Sna2a23a3nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得()(4)數(shù)列的前n項和為n2.()(5)推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(6)如果數(shù)列an是周期為k的周期數(shù)列，那么SkmmSk(m，k為大于1的正整數(shù))()題組二教材改編2P61A組T5一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經(jīng)過的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案A解析第10次著地時，經(jīng)過的路程為1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)3P61A組T4(3)12x3x2nxn1_(x0且x1)答案解析設Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.題組三易錯自糾4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，當n2時，an2Sn1n，則S2019等于()A1007B1008C1009D1010答案D解析由an2Sn1n得an12Snn1，兩式相減得an1an2an1an1an1S2019a1(a2a3)(a2018a2019)1009111010.5數(shù)列an的通項公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項之和S100等于()A200B200C400D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.6數(shù)列an的通項公式為anncos，其前n項和為Sn，則S2017_.答案1008解析因為數(shù)列anncos呈周期性變化，觀察此數(shù)列規(guī)律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.a50，a66，a70，a88，故a5a6a7a82，周期T4.S2017S2016a201722017cos1008.7(2011浙江)若數(shù)列中的最大項是第k項，則k_.答案4解析由題意知解得k1.kN*，k4.第1課時數(shù)列求和的常用方法題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1已知數(shù)列an的前n項和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設求數(shù)列bn的前2n項和解(1)當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn1n.a1也滿足ann，故數(shù)列an的通項公式為ann(nN*)(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項和T2nAB22n1n2.引申探究本例(2)中，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解由(1)知bn2n(1)nn.當n為偶數(shù)時，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；當n為奇數(shù)時，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn思維升華分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論跟蹤訓練1(2018溫州市適應性考試)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a12,2Sn(n1)2ann2an1，數(shù)列bn滿足b1a1，nbn1anbn.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)若數(shù)列cn滿足cnanbn(nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由2Sn(n1)2ann2an1，可得2Sn1(n2)2an1(n1)2an2，得2an12(n22n2)an1(n1)2an2(n1)2an，所以2(n1)2an1(n1)2an2(n1)2an，化簡得2an1an2an，所以an是等差數(shù)列由2S1(11)2a1a2可得a24，所以公差da2a1422，故an22(n1)2n.由b1a1，nbn1anbn以及an2n可知，b12，2，所以數(shù)列bn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故bn22n12n.(2)因為cnanbn2n2n，所以Tn(22)(422)(623)(2n2n)(2462n)(222232n)n2n2n12.題型二錯位相減法求和例2(2018浙江省金華名校統(tǒng)考)已知數(shù)列an是公比大于1的等比數(shù)列，且a2a490，a327.在數(shù)列bn中，b11，bn1(nN*)(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)設cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)設等比數(shù)列an的公比為q(q>1)，則由a2a490，a327，得解得或(舍去)，故an33n13n.因為bn1(nN*)，所以1，又b11，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列于是，1(n1)1n，故bn.(2)由(1)知，cnn3n，所以Tnc1c2c3cn13232n3n，則3Tn132233(n1)3nn3n1.兩式相減得，2Tn332333nn3n1n3n13n1，故Tn3n1.思維升華錯位相減法求和時的注意點(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解跟蹤訓練2(2018杭州質(zhì)檢)已知各項均大于零的數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足2Snaan.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設，數(shù)列bn的前n項和為Hn，求使得Hnn2n1>50成立的最小整數(shù)n.解(1)由2Snaan，得2Sn1aan1(n2)，當n2時，得2anaanaan1，即anan1aa(anan1)(anan1)，又由題設知anan1>0，所以anan11，故數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，又a11，所以an1(n1)1n.(2)因為n2n，所以Hn(121222n2n)，則2Hn(22223n2n1)將以上兩式作差化簡可得Hnn2n12n12，于是，Hnn2n1>50，即2n1>52，解得n5.故最小正整數(shù)n是5.題型三裂項相消法求和命題點1形如an型例3(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的公差為2，等比數(shù)列bn的公比為2，且anbnn2n.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)令cn，記數(shù)列cn的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小解(1)anbnn2n，解得a12，b11，an22(n1)2n，bn2n1.(2)an2n，bn2n1，cn，Tnc1c2c3c4cn1cn<，Tn<.命題點2an型例4已知函數(shù)f(x)x的圖象過點(4,2)，令an，nN*.記數(shù)列an的前n項和為Sn，則S2019_.答案1解析由f(4)2，可得42，解得，則f(x).an，S2019a1a2a3a2019(1)()()()()1.命題點3裂項相消法的靈活運用例5(2018紹興諸暨市期末)已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn(1)n1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)因為S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)由題意可知，bn(1)n1(1)n1(1)n1.當n為偶數(shù)時，Tn1.當n為奇數(shù)時，Tn1.所以Tn思維升華(1)用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如：()，裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(2)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項跟蹤訓練3(2018紹興市六校質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)3x22x，數(shù)列an的前n項和為Sn，點(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)f(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn<對所有的nN*都成立的最小正整數(shù)m.解(1)由題意知Sn3n22n，當n2時，anSnSn16n5，a1321，適合上式，an6n5.(2)bn，Tn，<，要使<對nN*恒成立，需滿足，m10，故符合條件的最小正整數(shù)m為10.1數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn的值等于()An21B2n2n1Cn21Dn2n1答案A解析該數(shù)列的通項公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)n21.2(2018杭州質(zhì)檢)設數(shù)列an滿足a11，an1an2n(nN*)若Sn為數(shù)列的前n項和，則S2018等于()A220161B3210093C220093D220103答案B解析由an1an2n，得an2an12n1，兩式作商，得2，又a11，所以a22，則數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以S2018(a1a3a2017)(a2a4a2018)3210093，故選B.3已知數(shù)列2008,2009,1，2008，2009，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2019項之和S2019等于()A4018B2010C1D0答案A解析由已知得anan1an1(n2)，an1anan1.故數(shù)列的前8項依次為2008,2009,1，2008，2009，1,2008,2009.由此可知此數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S60.201963363，S2019S32008200914018.4在數(shù)列an中，若an1(1)nan2n1(nN*)，則數(shù)列an的前12項和等于()A76B78C80D82答案B解析由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1an12n1，得an2an(1)n(2n1)(2n1)，取n1,5,9及n2,6,10，結(jié)果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.故選B.5已知函數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A0B100C100D10200答案B解析由題意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1011100.故選B.6等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a33，S410，則_.答案解析設等差數(shù)列an的公差為d，則由得Snn11，2.22(nN*)7有窮數(shù)列1,12,124，1242n1所有項的和為_答案2n12n解析由題意知所求數(shù)列的通項為2n1，故由分組求和法及等比數(shù)列的求和公式可得和為n2n12n.8(2018浙江五校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a11，anan12(n1)(nN*)，則a2018a2016_，_.答案2解析anan12(n1)(nN*)，當n2時，an1an2n，an1an12，a2018a20162，數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是公差為2的等差數(shù)列，又a11，a23，2.9(2018臺州調(diào)研)已知數(shù)列an與bn的前n項和分別為Sn，Tn，且an>0,6Sna3an，nN*，若任意nN*，k>Tn恒成立，則k的最小值是_答案解析當n1時，6a1a3a1，解得a13或a10.由an>0，得a13.由6Sna3an，得6Sn1a3an1.兩式相減得6an1aa3an13an.所以(an1an)(an1an3)0.因為an>0，所以an1an>0，an1an3.即數(shù)列an是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以an33(n1)3n.所以.所以Tn<.要使任意nN*，k>Tn恒成立，只需k，所以k的最小值為.10(2018湖州市適應性考試)已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlog2，Snb1b2b3bn，求使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值解(1)設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，依題意，有2(a32)a2a4，即2(a1q22)a1qa1q3，由2a1a33a2，得2a1a1q23a1q，解得q1或q2.當q1時，不合題意，故舍去；當q2時，代入式得a12，所以an2n.(2)bnanlog22nn，所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2，因為Sn2n147<0，所以n2n90>0，解得n>9或n<10，由nN*，故使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.11(2018紹興適應性考試)已知函數(shù)f(x)，點Pn(nN*)在曲線yf(x)上，且a11，an>0.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設數(shù)列aa的前n項和為Sn，若對于任意的nN*，Sn<t2t恒成立，求最小正整數(shù)t的值解(1)由題意得f(an)且an>0，4，數(shù)列是等差數(shù)列，首項1，公差d4，4n3，a，an.(2)aa，由Sn，nN*，Sn<，t2t，解得t或t，t的最小正整數(shù)為2.12(2018浙江衢州二中模擬)設數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnlog2an，cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)當n1時，S12a12，所以a12.當n2時，anSnSn1(2an2)(2an12)2an2an1，所以an2an1，即2，所以數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列an的通項公式為an22n12n.(2)由(1)知bnlog2anlog22nn，cn.所以Tn，則Tn，兩式相減得Tn，設An，則An，兩式相減得An22，所以An3.所以Tn33，所以Tn6.13已知公差不為零的等差數(shù)列an中，a11，且a2，a5，a14成等比數(shù)列，an的前n項和為Sn，bn(1)nSn，則an_，數(shù)列bn的前n項和Tn_.答案2n1(1)n解析設等差數(shù)列an的公差為d(d0)，則由a2，a5，a14成等比數(shù)列得aa2a14，即(14d)2(1d)(113d)，解得d2，則ana1(n1)d2n1，Snna1dn2，當n為偶數(shù)時，TnS1S2S3S4Sn1Sn1223242(n1)2n237(2n1)；當n為大于1的奇數(shù)時，TnS1S2S3S4Sn1Sn1223242(n2)2(n1)2n237(2n3)n2，當n1時，也符合上式，綜上所述，Tn(1)n.14“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學史上一個著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列an中，a11，a21，an2an1an(nN*)，則a7_；若a2021m，則數(shù)列an的前2019項和是_(用m表示)答案13m1解析因為a11，a21，an2an1an(nN*)，所以a3a1a2112，a4a2a3123，a5a3a4235，a6a4a5358，a7a5a65813.由已知有a3a1a2，a4a2a3，a2021a2019a2020，各式相加可得a2021a2a1a2a3a2019，即a1a2a3a2019a2021a2m1，故數(shù)列an的前2019項和為m1.15(2018浙江溫州中學月考)數(shù)列an滿足a1，an1aan1(nN*)，則m的整數(shù)部分是()A1B2C3D4答案B解析由條件得，即有，則m3.又an1an(an1)20，則an1ana1>1，當n2時，從而有(an1an)(anan1)(an1)2(an11)2(anan1)(anan12)0，則an1ananan1a2a1，則a2017a1(a2a1)(a2017a2016)225，得a20171224>1，即有0<<1，則m(2,3)，故選B.16已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，任意nN*,2Snaan.令bn，設bn的前n項和為Tn，則在T1，T2，T3，T100中有理數(shù)的個數(shù)為_答案9解析2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aan1aan，aaan1an0，(an1an)(an1an1)0.又an為正項數(shù)列，an1an10，即an1an1.在2Snaan中，令n1，可得a11.數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列ann，bn，Tn11，要使Tn為有理數(shù)，只需為有理數(shù)，令n1t2，1n100，n3,8,15,24,35,48,63,80,99共9個數(shù)T1，T2，T3，T100中有理數(shù)的個數(shù)為9.