(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.4 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用(第1課時(shí))講義(含解析).docx
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7.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用最新考綱考情考向分析1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用2.會(huì)利用數(shù)列的關(guān)系解決實(shí)際問題.本節(jié)以考查分組法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和為主,識(shí)別出等差(比)數(shù)列,直接用公式法也是考查的熱點(diǎn)題型以解答題的形式出現(xiàn),難度中等或稍難與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合.1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn3一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn(n1)(4)1222n2.4數(shù)列求和的常用方法(1)公式法等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的可直接使用公式求和(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng),使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列,再求解(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)常見的裂項(xiàng)公式;.(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解例如,Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和Sn.()(2)當(dāng)n2時(shí),.()(3)求Sna2a23a3nan之和時(shí),只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得()(4)數(shù)列的前n項(xiàng)和為n2.()(5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(6)如果數(shù)列an是周期為k的周期數(shù)列,那么SkmmSk(m,k為大于1的正整數(shù))()題組二教材改編2P61A組T5一個(gè)球從100m高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下,當(dāng)它第10次著地時(shí),經(jīng)過的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案A解析第10次著地時(shí),經(jīng)過的路程為1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)3P61A組T4(3)12x3x2nxn1_(x0且x1)答案解析設(shè)Sn12x3x2nxn1,則xSnx2x23x3nxn,得(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn,Sn.題組三易錯(cuò)自糾4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,當(dāng)n2時(shí),an2Sn1n,則S2019等于()A1007B1008C1009D1010答案D解析由an2Sn1n得an12Snn1,兩式相減得an1an2an1an1an1S2019a1(a2a3)(a2018a2019)1009111010.5數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3),則它的前100項(xiàng)之和S100等于()A200B200C400D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.6數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anncos,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2017_.答案1008解析因?yàn)閿?shù)列anncos呈周期性變化,觀察此數(shù)列規(guī)律如下:a10,a22,a30,a44.故S4a1a2a3a42.a50,a66,a70,a88,故a5a6a7a82,周期T4.S2017S2016a201722017cos1008.7(2011浙江)若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng),則k_.答案4解析由題意知解得k1.kN*,k4.第1課時(shí)數(shù)列求和的常用方法題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和解(1)當(dāng)n1時(shí),a1S11;當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n.a1也滿足ann,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(nN*)(2)由(1)知ann,故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n,則T2n(212222n)(12342n)記A212222n,B12342n,則A22n12,B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.引申探究本例(2)中,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解由(1)知bn2n(1)nn.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn(21222n)1234(n1)n2n12;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn思維升華分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列,其中數(shù)列bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和提醒:某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差,從而求得原數(shù)列的和,注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論跟蹤訓(xùn)練1(2018溫州市適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a12,2Sn(n1)2ann2an1,數(shù)列bn滿足b1a1,nbn1anbn.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列cn滿足cnanbn(nN*),求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由2Sn(n1)2ann2an1,可得2Sn1(n2)2an1(n1)2an2,得2an12(n22n2)an1(n1)2an2(n1)2an,所以2(n1)2an1(n1)2an2(n1)2an,化簡(jiǎn)得2an1an2an,所以an是等差數(shù)列由2S1(11)2a1a2可得a24,所以公差da2a1422,故an22(n1)2n.由b1a1,nbn1anbn以及an2n可知,b12,2,所以數(shù)列bn是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故bn22n12n.(2)因?yàn)閏nanbn2n2n,所以Tn(22)(422)(623)(2n2n)(2462n)(222232n)n2n2n12.題型二錯(cuò)位相減法求和例2(2018浙江省金華名校統(tǒng)考)已知數(shù)列an是公比大于1的等比數(shù)列,且a2a490,a327.在數(shù)列bn中,b11,bn1(nN*)(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q1),則由a2a490,a327,得解得或(舍去),故an33n13n.因?yàn)閎n1(nN*),所以1,又b11,所以是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列于是,1(n1)1n,故bn.(2)由(1)知,cnn3n,所以Tnc1c2c3cn13232n3n,則3Tn132233(n1)3nn3n1.兩式相減得,2Tn332333nn3n1n3n13n1,故Tn3n1.思維升華錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)(1)要善于識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解跟蹤訓(xùn)練2(2018杭州質(zhì)檢)已知各項(xiàng)均大于零的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2Snaan.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Hn,求使得Hnn2n150成立的最小整數(shù)n.解(1)由2Snaan,得2Sn1aan1(n2),當(dāng)n2時(shí),得2anaanaan1,即anan1aa(anan1)(anan1),又由題設(shè)知anan10,所以anan11,故數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列,又a11,所以an1(n1)1n.(2)因?yàn)閚2n,所以Hn(121222n2n),則2Hn(22223n2n1)將以上兩式作差化簡(jiǎn)可得Hnn2n12n12,于是,Hnn2n150,即2n152,解得n5.故最小正整數(shù)n是5.題型三裂項(xiàng)相消法求和命題點(diǎn)1形如an型例3(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的公差為2,等比數(shù)列bn的公比為2,且anbnn2n.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)令cn,記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,試比較Tn與的大小解(1)anbnn2n,解得a12,b11,an22(n1)2n,bn2n1.(2)an2n,bn2n1,cn,Tnc1c2c3c4cn1cn,Tn.命題點(diǎn)2an型例4已知函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)(4,2),令an,nN*.記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S2019_.答案1解析由f(4)2,可得42,解得,則f(x).an,S2019a1a2a3a2019(1)()()()()1.命題點(diǎn)3裂項(xiàng)相消法的靈活運(yùn)用例5(2018紹興諸暨市期末)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn(1)n1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)镾1a1,S22a122a12,S44a124a112,由題意得(2a12)2a1(4a112),解得a11,所以an2n1.(2)由題意可知,bn(1)n1(1)n1(1)n1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn1.所以Tn思維升華(1)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換,如:(),裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)(2)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練3(2018紹興市六校質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)3x22x,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(nN*)均在函數(shù)f(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn,Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,求使得Tn對(duì)所有的nN*都成立的最小正整數(shù)m.解(1)由題意知Sn3n22n,當(dāng)n2時(shí),anSnSn16n5,a1321,適合上式,an6n5.(2)bn,Tn,要使0,6Sna3an,nN*,若任意nN*,kTn恒成立,則k的最小值是_答案解析當(dāng)n1時(shí),6a1a3a1,解得a13或a10.由an0,得a13.由6Sna3an,得6Sn1a3an1.兩式相減得6an1aa3an13an.所以(an1an)(an1an3)0.因?yàn)閍n0,所以an1an0,an1an3.即數(shù)列an是以3為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,所以an33(n1)3n.所以.所以TnTn恒成立,只需k,所以k的最小值為.10(2018湖州市適應(yīng)性考試)已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2,且a32是a2,a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若bnanlog2,Snb1b2b3bn,求使Sn2n1470成立的正整數(shù)n的最小值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,依題意,有2(a32)a2a4,即2(a1q22)a1qa1q3,由2a1a33a2,得2a1a1q23a1q,解得q1或q2.當(dāng)q1時(shí),不合題意,故舍去;當(dāng)q2時(shí),代入式得a12,所以an2n.(2)bnanlog22nn,所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2,因?yàn)镾n2n1470,解得n9或n10,由nN*,故使Sn2n1470.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列aa的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于任意的nN*,Sn0,4,數(shù)列是等差數(shù)列,首項(xiàng)1,公差d4,4n3,a,an.(2)aa,由Sn,nN*,Sn1,當(dāng)n2時(shí),從而有(an1an)(anan1)(an1)2(an11)2(anan1)(anan12)0,則an1ananan1a2a1,則a2017a1(a2a1)(a2017a2016)225,得a201712241,即有01,則m(2,3),故選B.16已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,任意nN*,2Snaan.令bn,設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Tn,則在T1,T2,T3,T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為_答案9解析2Snaan,2Sn1aan1,得2an1aan1aan,aaan1an0,(an1an)(an1an1)0.又an為正項(xiàng)數(shù)列,an1an10,即an1an1.在2Snaan中,令n1,可得a11.數(shù)列an是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列ann,bn,Tn11,要使Tn為有理數(shù),只需為有理數(shù),令n1t2,1n100,n3,8,15,24,35,48,63,80,99共9個(gè)數(shù)T1,T2,T3,T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為9.- 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