（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復(fù)習 第三章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.6 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義（含解析）.docx

3.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)最新考綱考情考向分析1.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算，會用換底公式2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用3.了解對數(shù)函數(shù)的變化特征.以比較對數(shù)函數(shù)值大小的形式考查函數(shù)的單調(diào)性；以復(fù)合函數(shù)的形式考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，題型一般為選擇、填空題，中低檔難度.1對數(shù)的概念一般地，如果axN(a>0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a>0，且a1，M>0，N>0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)對數(shù)的性質(zhì)N；logaaNN(a>0，且a1)(3)對數(shù)的換底公式logab(a>0，且a1；c>0，且c1；b>0)3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)ylogaxa>10<a<1圖象定義域(1)(0，)值域(2)R性質(zhì)(3)過定點(1,0)，即x1時，y0(4)當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0(5)當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0(6)在(0，)上是增函數(shù)(7)在(0，)上是減函數(shù)4反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對稱概念方法微思考1根據(jù)對數(shù)換底公式：說出logab，logba的關(guān)系？化簡.提示logablogba1；logab.2如圖給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象比較a，b，c，d與1的大小關(guān)系提示0<c<d<1<a<b.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若MN>0，則loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga (xy)()(3)函數(shù)ylog2x及y3x都是對數(shù)函數(shù)()(4)對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)在(0，)上是增函數(shù)()(5)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(6)對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)的圖象過定點(1,0)且過點(a,1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限()題組二教材改編2P74T3lglg7.答案解析原式lg4lg2lg7lg8lg7lg52lg2(lg2lg5)2lg2.3P82A組T6已知a，blog2，c，則a，b，c的大小關(guān)系為答案c>a>b解析0<a<1，b<0，clog23>1.c>a>b.4P74A組T7函數(shù)y的定義域是答案解析由(2x1)0，得0<2x11.<x1.函數(shù)y的定義域是.題組三易錯自糾5已知b>0，log5ba，lgbc,5d10，則下列等式一定成立的是()AdacBacdCcadDdac答案B6.已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()Aa>1，c>1Ba>1,0<c<1C0<a<1，c>1D0<a<1,0<c<1答案D解析由該函數(shù)的圖象通過第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù)，0<a<1，圖象與x軸的交點在區(qū)間(0,1)之間，該函數(shù)的圖象是由函數(shù)ylogax的圖象向左平移不到1個單位后得到的，0<c<1.7若函數(shù)f(x)logax(0a1)在a,2a上的最大值是最小值的3倍，則a的值為答案解析因為0a1，所以f(x)在a,2a上是減函數(shù)所以f(x)maxf(a)logaa1，f(x)minf(2a)loga2a1loga2，由條件得13(1loga2)，解得a28，所以a.題型一對數(shù)的運算1(2018湖州中學期中)設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且3a4b6c，那么()A.B.C.D.答案B解析設(shè)3a4b6ck，所以alog3k，blog4k，clog6k，變形為logk3，logk4，logk6，所以logk36，logk36，故.2(2013浙江)已知x，y為正實數(shù)，則()A2lgxlgy2lgx2lgyB2lg(xy)2lgx2lgyC2lgxlgy2lgx2lgyD2lg(xy)2lgx2lgy答案D解析2lgx2lgy2lgxlgy2lg(xy)故選D.3計算：.答案1解析原式1.4設(shè)函數(shù)f(x)3x9x，則f(log32).答案6解析函數(shù)f(x)3x9x，思維升華對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算題型二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)若函數(shù)ylogax(a>0且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是()答案B解析由題意ylogax(a>0且a1)的圖象過(3,1)點，可解得a3.選項A中，y3xx，顯然圖象錯誤；選項B中，yx3，由冪函數(shù)圖象性質(zhì)可知正確；選項C中，y(x)3x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，ylog3(x)的圖象與ylog3x的圖象關(guān)于y軸對稱，顯然不符，故選B.(2)當0<x時，4x<logax，則a的取值范圍是()A.B.C(1，) D(，2)答案B解析構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，當a>1時不滿足條件，當0<a<1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖象，可知f<g，即2<loga，則a>，所以a的取值范圍為.引申探究若本例(2)變?yōu)榉匠?xlogax在上有解，則實數(shù)a的取值范圍為答案解析若方程4xlogax在上有解，則函數(shù)y4x和函數(shù)ylogax在上有交點，由圖象知解得0<a.思維升華(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2018浙江臺州三區(qū)三校適應(yīng)性考試)若loga2logb20，則下列結(jié)論正確的是()A0ab1B0ba1Cab1Dba1答案B解析方法一由loga2logb20，得0，log2blog2a0log21.又函數(shù)ylog2x是增函數(shù)，所以0ba1，故選B.方法二由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，0a1,0b1，排除C，D.取a，b，則loga221，logb22，滿足loga2logb20.故ba，故選B.(2)已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是答案(1，)解析如圖，在同一坐標系中分別作出yf(x)與yxa的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距由圖可知，當a>1時，直線yxa與ylog2x只有一個交點題型三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點1比較對數(shù)值的大小例2設(shè)alog412，blog515，clog618，則()Aa>b>cBb>c>aCa>c>bDc>b>a答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43>log53>log63，a>b>c.命題點2解對數(shù)方程、不等式例3(1)方程log2(x1)2log2(x1)的解為答案x解析原方程變形為log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，即x214，解得x，又x>1，所以x.(2)已知不等式logx(2x21)<logx(3x)<0成立，則實數(shù)x的取值范圍是答案解析原不等式或解不等式組得<x<，不等式組無解所以實數(shù)x的取值范圍為.命題點3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(1)若函數(shù)f(x)log2(x2ax3a)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，4) B(4,4C(，4)2，) D4,4)答案D解析由題意得x2ax3a>0在區(qū)間(，2上恒成立且函數(shù)yx2ax3a在(，2上單調(diào)遞減，則2且(2)2(2)a3a>0，解得實數(shù)a的取值范圍是4,4)，故選D.(2)函數(shù)f(x)log2log(2x)的最小值為答案解析依題意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，當log2x，即x時等號成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為.思維升華利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)alog32，blog52，clog23，則()Aa>c>bBb>c>aCc>b>aDc>a>b答案D解析alog32<log331，blog52<log551.又clog23>log221，所以c最大由1<log23<log25，得>，即a>b，所以c>a>b.(2)若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為答案1,2)解析令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2，對稱軸為xa，要使函數(shù)在(，1上單調(diào)遞減，則有即解得1a<2，即a1,2)(3)已知函數(shù)f(x)loga(8ax)(a>0，且a1)，若f(x)>1在區(qū)間1,2上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是答案解析當a>1時，f(x)loga(8ax)在1,2上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間1,2上恒成立，則f(x)minf(2)loga(82a)>1，且82a>0，解得1<a<.當0<a<1時，f(x)在1,2上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間1,2上恒成立，則f(x)minf(1)loga(8a)>1，且82a>0.a>4，且a<4，故不存在綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較大小問題是每年高考的必考內(nèi)容之一(1)比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時也可用數(shù)形結(jié)合的方法(2)解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進行比較，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同，則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.例 (1)設(shè)a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是()Ac<b<aBa<b<cCb<a<cDa<c<b(2)設(shè)a60.4，blog0.40.5，clog80.4，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<c<a(3)(2018浙大附中模擬)若實數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2<logc2，則下列關(guān)系中不可能成立的是()Aa<b<cBb<a<cCc<b<aDa<c<b(4)(2018全國)設(shè)alog0.20.3，blog20.3，則()Aab<ab<0Bab<ab<0Cab<0<abDab<0<ab答案(1)C(2)B(3)A(4)B解析(1)根據(jù)冪函數(shù)yx0.5的單調(diào)性，可得0.30.5<0.50.5<10.51，即b<a<1；根據(jù)對數(shù)函數(shù)ylog0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<a<c.(2)a60.4>1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4<0，a>b>c.故選B.(3)由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系，可知a，b，c有四種可能：1<c<b<a；0<a<1<c<b；0<b<a<1<c；0<c<b<a<1.對照選項可知A中關(guān)系不可能成立(4)alog0.20.3>log0.210，blog20.3<log210，ab<0.log0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3>log0.30.4>log0.310，0<<1，ab<ab<0.1log29log34等于()A.B.C2D4答案D解析方法一原式4.方法二原式2log23224.2(2018杭州教學質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)|lnx|(e為自然對數(shù)的底數(shù))，滿足f(a)f(b)(ab)，則()AabeeBabeCabDab1答案D解析|lna|lnb|且ab，lnalnb，ab1.3(2019麗水模擬)下列不等式正確的是()Alog30.20.2330.2Blog30.230.20.23C0.23log30.230.2D30.2log30.20.23答案A解析因為log30.20,00.231,30.21，所以log30.20.2330.2，故選A.4(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)若ab1,0c1，則()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc答案C解析因為ab1,0c1，所以cbca，則blogaclogacblogbcblogbcaalogbc，故選C.5若m2n20(m，n0)，則lgm(lgnlg2)的最大值是()A1B.C.D2答案A解析lgm(lgnlg2)lgmlg2n2，又因為m2n202，所以mn50，從而lgm(lgnlg2)1，當且僅當m10，n5時，等號成立，故選A.6(2018浙江部分重點中學調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x4，若對任意的x，f(x)6恒成立，則實數(shù)a的最大值為()A1B1C2D2答案A解析令tx，因為x，所以t(0,2，則問題可轉(zhuǎn)化為對任意的t(0,2，t2at46恒成立，即at對任意的t(0,2恒成立因為yt在t(0,2上單調(diào)遞減，所以ymin121，所以a1，即實數(shù)a的最大值為1.故選A.7(2018浙江紹興一中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)則f，方程f(f(x)1的解集為答案1，ee解析由于fln，則ff.由f(f(x)1可得f(x)0或f(x)e，又當x0時，f(x)ex(0,1；當x0時，由f(x)0可得lnx0，解得x1；由f(x)e可得lnxe，解得xee，故對應(yīng)方程的解集為1，ee8(2018杭州第二中學仿真考試)已知m，n4x，則log4m；滿足lognm1的實數(shù)x的取值范圍是答案解析由于m，則log4mlog2m；由于1，由lognm1可得mn1，則22x1，則2x0，解得x0.9(2018寧波期末)若實數(shù)ab1，且logablogba，則logab；.答案1解析令logabt，由于ab1，則t(0,1)，logablogba即為t，解得t(t2舍去)，則logab，b，ab2，1.10(2019浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，則xy的最大值是答案解析由題意得lg2xlg8ylg(2x23y)lg2x3ylg2(x0，y0)，所以x3y1，則xyx3y2，當且僅當x3y時，等號成立，所以xy的最大值為.11已知函數(shù)f(x)(ax23xa1)(1)當a0時，求函數(shù)f(x)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間；(2)對于x1,2，不等式f(x)3x2恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍解(1)當a0時，y(3x1)，函數(shù)定義域為，值域為R，遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間(2)原命題可化為x1,2，ax2a1恒成立，即a在x1,2上恒成立，即amax，x1,2，y在x1,2上單調(diào)遞減，當x1時，ymax.因此a.12(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知奇函數(shù)f(x)loga(a0且a1)(1)求b的值，并求出f(x)的定義域；(2)若存在區(qū)間m，n，使得當xm，n時，f(x)的取值范圍為loga6m，loga6n，求a的取值范圍解(1)由已知f(x)f(x)0，得b1，當b1時，f(x)logaloga(1)，舍去，當b1時，f(x)loga，定義域為.故f(x)的定義域為.(2)當0a1時，f(x)logaloga在上單調(diào)遞減故有而y在上單調(diào)遞增，所以，又6m6n與矛盾，故a1，所以故方程6x在上有兩個不等實根，即6ax2(a6)x10在上有兩個不等實根設(shè)g(x)6ax2(a6)x1(a1)，則化簡得解得a1812，故1a1812.13(2018浙江三市聯(lián)考)下列命題正確的是()A若lnalnba3b，則ab<0B若lnalnba3b，則0<a<bC若lnalnb3ba，則0<b<aD若lnalnb3ba，則b<a<0答案C解析顯然有a>0，b>0，可排除A，D；設(shè)t，則abt，若lnalnba3b，則有l(wèi)ntbt3b，b，由b0，得0<t<1或t>3，不能確定a<b，排除B；同理若lnalnb3ba，則lnt3bbt，b>0,1<t<3，即>1，a>b，C正確，故選C.14定義區(qū)間x1，x2(x1x2)的長度等于x2x1.函數(shù)y|logax|(a1)的定義域為m，n(mn)，值域為0,1若區(qū)間m，n的長度的最小值為，則實數(shù)a的值為答案4解析作出函數(shù)y|logax|的圖象(圖略)，要使定義域區(qū)間m，n的長度最小，則m，n或m，n1，a若1，則a4，此時a13，符合題意若a1，則a，此時1，不符合題意，所以a4.15(2018浙江杭州二中月考)若函數(shù)ylg的圖象關(guān)于點M對稱，則點M的坐標是()A.B.C.D.答案D解析設(shè)M(m,0)，點P(x，y)是函數(shù)ylg的圖象上任意一點，則點P(x，y)關(guān)于點M(m,0)的對稱點Q(2mx，y)也是函數(shù)ylg的圖象上一點從而有ylg，且ylg，所以lglg，即lglglg恒成立，從而有，所以m，故選D.16(2018浙江鎮(zhèn)海中學模擬)函數(shù)f(x)若a，b，c，d互不相同，且f(a)f(b)f(c)f(d)，求abcd的取值范圍解不妨設(shè)abcd，則a，b滿足|log2a|log2b|，即log2alog2b，所以ab1；c，d是二次方程x212x34k，k(0,2)在區(qū)間(4，)上的兩個不相等的根，則cd34k，所以cd(32,34)故abcd的取值范圍是(32,34)