(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義(含解析).docx
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3.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)最新考綱考情考向分析1.理解對(duì)數(shù)的概念,掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算,會(huì)用換底公式2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的變化特征.以比較對(duì)數(shù)函數(shù)值大小的形式考查函數(shù)的單調(diào)性;以復(fù)合函數(shù)的形式考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),題型一般為選擇、填空題,中低檔難度.1對(duì)數(shù)的概念一般地,如果axN(a0,且a1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作xlogaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)2對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a0,且a1,M0,N0,那么:loga(MN)logaMlogaN;logalogaMlogaN;logaMnnlogaM (nR)(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)N;logaaNN(a0,且a1)(3)對(duì)數(shù)的換底公式logab(a0,且a1;c0,且c1;b0)3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)ylogaxa10a1時(shí),y0;當(dāng)0x1時(shí),y1時(shí),y0;當(dāng)0x0(6)在(0,)上是增函數(shù)(7)在(0,)上是減函數(shù)4反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱概念方法微思考1根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式:說出logab,logba的關(guān)系?化簡(jiǎn).提示logablogba1;logab.2如圖給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象比較a,b,c,d與1的大小關(guān)系提示0cd1a0,則loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga (xy)()(3)函數(shù)ylog2x及y3x都是對(duì)數(shù)函數(shù)()(4)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)在(0,)上是增函數(shù)()(5)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(6)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖象過定點(diǎn)(1,0)且過點(diǎn)(a,1),函數(shù)圖象只在第一、四象限()題組二教材改編2P74T3lglg7.答案解析原式lg4lg2lg7lg8lg7lg52lg2(lg2lg5)2lg2.3P82A組T6已知a,blog2,c,則a,b,c的大小關(guān)系為答案cab解析0a1,b1.cab.4P74A組T7函數(shù)y的定義域是答案解析由(2x1)0,得02x11.0,log5ba,lgbc,5d10,則下列等式一定成立的是()AdacBacdCcadDdac答案B6.已知函數(shù)yloga(xc)(a,c為常數(shù),其中a0,a1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是()Aa1,c1Ba1,0c1C0a1D0a1,0c1答案D解析由該函數(shù)的圖象通過第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù),0a1,圖象與x軸的交點(diǎn)在區(qū)間(0,1)之間,該函數(shù)的圖象是由函數(shù)ylogax的圖象向左平移不到1個(gè)單位后得到的,0c0且a1)的圖象如圖所示,則下列函數(shù)圖象正確的是()答案B解析由題意ylogax(a0且a1)的圖象過(3,1)點(diǎn),可解得a3.選項(xiàng)A中,y3xx,顯然圖象錯(cuò)誤;選項(xiàng)B中,yx3,由冪函數(shù)圖象性質(zhì)可知正確;選項(xiàng)C中,y(x)3x3,顯然與所畫圖象不符;選項(xiàng)D中,ylog3(x)的圖象與ylog3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,顯然不符,故選B.(2)當(dāng)0x時(shí),4x1時(shí)不滿足條件,當(dāng)0a1時(shí),畫出兩個(gè)函數(shù)在上的圖象,可知fg,即2,所以a的取值范圍為.引申探究若本例(2)變?yōu)榉匠?xlogax在上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為答案解析若方程4xlogax在上有解,則函數(shù)y4x和函數(shù)ylogax在上有交點(diǎn),由圖象知解得01時(shí),直線yxa與ylog2x只有一個(gè)交點(diǎn)題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)值的大小例2設(shè)alog412,blog515,clog618,則()AabcBbcaCacbDcba答案A解析a1log43,b1log53,c1log63,log43log53log63,abc.命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式例3(1)方程log2(x1)2log2(x1)的解為答案x解析原方程變形為log2(x1)log2(x1)log2(x21)2,即x214,解得x,又x1,所以x.(2)已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是答案解析原不等式或解不等式組得x0在區(qū)間(,2上恒成立且函數(shù)yx2ax3a在(,2上單調(diào)遞減,則2且(2)2(2)a3a0,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是4,4),故選D.(2)函數(shù)f(x)log2log(2x)的最小值為答案解析依題意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2,當(dāng)log2x,即x時(shí)等號(hào)成立,所以函數(shù)f(x)的最小值為.思維升華利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的另外,解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)alog32,blog52,clog23,則()AacbBbcaCcbaDcab答案D解析alog32log331,blog52log221,所以c最大由1log23,即ab,所以cab.(2)若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(,1上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為答案1,2)解析令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2,對(duì)稱軸為xa,要使函數(shù)在(,1上單調(diào)遞減,則有即解得1a0,且a1),若f(x)1在區(qū)間1,2上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案解析當(dāng)a1時(shí),f(x)loga(8ax)在1,2上是減函數(shù),由f(x)1在區(qū)間1,2上恒成立,則f(x)minf(2)loga(82a)1,且82a0,解得1a.當(dāng)0a1在區(qū)間1,2上恒成立,則f(x)minf(1)loga(8a)1,且82a0.a4,且a4,故不存在綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小比較大小問題是每年高考的必考內(nèi)容之一(1)比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小,可以利用函數(shù)的單調(diào)性,引入中間量;有時(shí)也可用數(shù)形結(jié)合的方法(2)解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若指數(shù)相同而底數(shù)不同,則構(gòu)造冪函數(shù),若底數(shù)相同而指數(shù)不同,則構(gòu)造指數(shù)函數(shù),若引入中間量,一般選0或1.例 (1)設(shè)a0.50.5,b0.30.5,clog0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系是()AcbaBabcCbacDacb(2)設(shè)a60.4,blog0.40.5,clog80.4,則a,b,c的大小關(guān)系是()AabcBcbaCcabDbca(3)(2018浙大附中模擬)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足loga2logb2logc2,則下列關(guān)系中不可能成立的是()AabcBbacCcbaDacb(4)(2018全國(guó))設(shè)alog0.20.3,blog20.3,則()Aabab0Babab0Cab0abDab0ab答案(1)C(2)B(3)A(4)B解析(1)根據(jù)冪函數(shù)yx0.5的單調(diào)性,可得0.30.50.50.510.51,即balog0.30.31,即c1.所以ba1,blog0.40.5(0,1),clog80.4bc.故選B.(3)由loga2logb2logc2的大小關(guān)系,可知a,b,c有四種可能:1cba;0a1cb;0ba1c;0cbalog0.210,blog20.3log210,ablog0.30.4log0.310,01,abab0.1log29log34等于()A.B.C2D4答案D解析方法一原式4.方法二原式2log23224.2(2018杭州教學(xué)質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)|lnx|(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),滿足f(a)f(b)(ab),則()AabeeBabeCabDab1答案D解析|lna|lnb|且ab,lnalnb,ab1.3(2019麗水模擬)下列不等式正確的是()Alog30.20.2330.2Blog30.230.20.23C0.23log30.230.2D30.2log30.20.23答案A解析因?yàn)閘og30.20,00.231,30.21,所以log30.20.2330.2,故選A.4(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)若ab1,0c1,則()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc答案C解析因?yàn)閍b1,0c1,所以cbca,則blogaclogacblogbcblogbcaalogbc,故選C.5若m2n20(m,n0),則lgm(lgnlg2)的最大值是()A1B.C.D2答案A解析lgm(lgnlg2)lgmlg2n2,又因?yàn)閙2n202,所以mn50,從而lgm(lgnlg2)1,當(dāng)且僅當(dāng)m10,n5時(shí),等號(hào)成立,故選A.6(2018浙江部分重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x4,若對(duì)任意的x,f(x)6恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為()A1B1C2D2答案A解析令tx,因?yàn)閤,所以t(0,2,則問題可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的t(0,2,t2at46恒成立,即at對(duì)任意的t(0,2恒成立因?yàn)閥t在t(0,2上單調(diào)遞減,所以ymin121,所以a1,即實(shí)數(shù)a的最大值為1.故選A.7(2018浙江紹興一中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)則f,方程f(f(x)1的解集為答案1,ee解析由于fln,則ff.由f(f(x)1可得f(x)0或f(x)e,又當(dāng)x0時(shí),f(x)ex(0,1;當(dāng)x0時(shí),由f(x)0可得lnx0,解得x1;由f(x)e可得lnxe,解得xee,故對(duì)應(yīng)方程的解集為1,ee8(2018杭州第二中學(xué)仿真考試)已知m,n4x,則log4m;滿足lognm1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是答案解析由于m,則log4mlog2m;由于1,由lognm1可得mn1,則22x1,則2x0,解得x0.9(2018寧波期末)若實(shí)數(shù)ab1,且logablogba,則logab;.答案1解析令logabt,由于ab1,則t(0,1),logablogba即為t,解得t(t2舍去),則logab,b,ab2,1.10(2019浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知x0,y0,lg2xlg8ylg2,則xy的最大值是答案解析由題意得lg2xlg8ylg(2x23y)lg2x3ylg2(x0,y0),所以x3y1,則xyx3y2,當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí),等號(hào)成立,所以xy的最大值為.11已知函數(shù)f(x)(ax23xa1)(1)當(dāng)a0時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)于x1,2,不等式f(x)3x2恒成立,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a0時(shí),y(3x1),函數(shù)定義域?yàn)?,值域?yàn)镽,遞減區(qū)間為,無遞增區(qū)間(2)原命題可化為x1,2,ax2a1恒成立,即a在x1,2上恒成立,即amax,x1,2,y在x1,2上單調(diào)遞減,當(dāng)x1時(shí),ymax.因此a.12(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知奇函數(shù)f(x)loga(a0且a1)(1)求b的值,并求出f(x)的定義域;(2)若存在區(qū)間m,n,使得當(dāng)xm,n時(shí),f(x)的取值范圍為loga6m,loga6n,求a的取值范圍解(1)由已知f(x)f(x)0,得b1,當(dāng)b1時(shí),f(x)logaloga(1),舍去,當(dāng)b1時(shí),f(x)loga,定義域?yàn)?故f(x)的定義域?yàn)?(2)當(dāng)0a1時(shí),f(x)logaloga在上單調(diào)遞減故有而y在上單調(diào)遞增,所以,又6m6n與矛盾,故a1,所以故方程6x在上有兩個(gè)不等實(shí)根,即6ax2(a6)x10在上有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)g(x)6ax2(a6)x1(a1),則化簡(jiǎn)得解得a1812,故1a1812.13(2018浙江三市聯(lián)考)下列命題正確的是()A若lnalnba3b,則ab0B若lnalnba3b,則0abC若lnalnb3ba,則0baD若lnalnb3ba,則ba0,b0,可排除A,D;設(shè)t,則abt,若lnalnba3b,則有l(wèi)ntbt3b,b,由b0,得0t3,不能確定a0,1t1,ab,C正確,故選C.14定義區(qū)間x1,x2(x1x2)的長(zhǎng)度等于x2x1.函數(shù)y|logax|(a1)的定義域?yàn)閙,n(mn),值域?yàn)?,1若區(qū)間m,n的長(zhǎng)度的最小值為,則實(shí)數(shù)a的值為答案4解析作出函數(shù)y|logax|的圖象(圖略),要使定義域區(qū)間m,n的長(zhǎng)度最小,則m,n或m,n1,a若1,則a4,此時(shí)a13,符合題意若a1,則a,此時(shí)1,不符合題意,所以a4.15(2018浙江杭州二中月考)若函數(shù)ylg的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()A.B.C.D.答案D解析設(shè)M(m,0),點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)ylg的圖象上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P(x,y)關(guān)于點(diǎn)M(m,0)的對(duì)稱點(diǎn)Q(2mx,y)也是函數(shù)ylg的圖象上一點(diǎn)從而有ylg,且ylg,所以lglg,即lglglg恒成立,從而有,所以m,故選D.16(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)若a,b,c,d互不相同,且f(a)f(b)f(c)f(d),求abcd的取值范圍解不妨設(shè)abcd,則a,b滿足|log2a|log2b|,即log2alog2b,所以ab1;c,d是二次方程x212x34k,k(0,2)在區(qū)間(4,)上的兩個(gè)不相等的根,則cd34k,所以cd(32,34)故abcd的取值范圍是(32,34)- 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