高中數(shù)學(xué) 第二講 比較法課件 新人教A版選修45

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1、第二講 證明不等式的基本方法一 比較法比較法比較法ababa=ba=bababababa0,0,所以所以P PQ.Q.答案：答案：P PQ Q1.1.作差比較法的適用范圍作差比較法的適用范圍當(dāng)被證明的不等式是分式、整式時(shí)，一般用作差比較法當(dāng)被證明的不等式是分式、整式時(shí)，一般用作差比較法. .2.2.作商比較法中的符號(hào)問題作商比較法中的符號(hào)問題在作商比較法中，在作商比較法中， 是不正確的，這與是不正確的，這與b b的符號(hào)有關(guān)，的符號(hào)有關(guān)，就是說在作商比較中，要對(duì)分母的符號(hào)作出判斷，否則，結(jié)就是說在作商比較中，要對(duì)分母的符號(hào)作出判斷，否則，結(jié)論將是錯(cuò)誤的，若不等式兩邊的式子均為負(fù)值時(shí)，可先同乘論將

2、是錯(cuò)誤的，若不等式兩邊的式子均為負(fù)值時(shí)，可先同乘以以(-1)(-1)轉(zhuǎn)化不等式兩邊的式子均為正值后再進(jìn)行證明轉(zhuǎn)化不等式兩邊的式子均為正值后再進(jìn)行證明. . a1abb類型類型 一一 作差比較法作差比較法 【典型例題【典型例題】1.1.設(shè)設(shè)x x0,y0,y0 0，則，則 與與 的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_._.2.2.已知正數(shù)已知正數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列成等比數(shù)列求證：求證： a a2 2b b2 2+c+c2 2(a(ab+c)b+c)2 2. .xx1xyxy1【解題探究【解題探究】1.1.真分?jǐn)?shù)的分子與分母同加上一個(gè)正數(shù)真分?jǐn)?shù)的分子與分母同加上一個(gè)正數(shù), ,真分?jǐn)?shù)真分?jǐn)?shù)的值會(huì)變大

3、嗎的值會(huì)變大嗎? ?2.2.正數(shù)正數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列能得出什么結(jié)論成等比數(shù)列能得出什么結(jié)論? ?探究提示：探究提示：1.1.根據(jù)真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)可知根據(jù)真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)可知, , 真分?jǐn)?shù)的分子與分母同加上一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子與分母同加上一個(gè)正數(shù)正數(shù), ,真分?jǐn)?shù)的值會(huì)變大真分?jǐn)?shù)的值會(huì)變大. .2.2.若正數(shù)若正數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則則b b2 2=ac, .=ac, .bac【解析【解析】1. 1. = = =答案：答案：xyxxy1x122xxyxyxxyxxy1x1（）（）y0.xy1x1（）（）xyxxy1x12.2.因?yàn)檎龜?shù)因?yàn)檎龜?shù)a,b,ca,b,c成等比

4、數(shù)列成等比數(shù)列, , 所以所以b b2 2=ac, =ac, (a(a2 2b b2 2+c+c2 2) )(a(ab+c)b+c)2 2=a=a2 2b b2 2+c+c2 2a a2 2b b2 2c c2 2+2ab+2ab2ac+2bc2ac+2bc=2ab=2ab4b4b2 2+2bc=2b(a+2bc=2b(a2b+c)2b+c)= =所以所以a a2 2b b2 2+c+c2 2(a(ab+c)b+c)2 2. .22b( ac)0，bac,=【拓展提升【拓展提升】作差比較法證明不等式的技巧作差比較法證明不等式的技巧 (1)(1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在

5、作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差能否化簡或值是多少于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差能否化簡或值是多少. .(2)(2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法. .(3)(3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號(hào)，因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號(hào)，常將差式變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的常將差式變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用判別式

6、法判斷符號(hào)差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用判別式法判斷符號(hào). . 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】若若c ca ab b0 0，比較大?。海容^大?。?( (填填“”“”“=”=”或或“”).).【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)? =又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏-ac-a0,c-b0,c-b0,a-b0,a-b0,c0,c0,0,所以所以 即即答案：答案：ab_cacbabcacba(cb)b(ca)c(ab),(ca)(cb)(ca)(cb)c(ab)0,(ca)(cb)ab.cacb類型類型 二二 商比較法商比較法 【典型例題【典型例題】1.1.已知已知a a2,2,則則logloga a(a(a1)_log1)_log(

7、a+1)(a+1)a(a(填填“” “” “=”=”或或 “ “”).).2.2.設(shè)設(shè)a a0,b0,b0,0,求證：求證：a bab2a bab.【解題探究【解題探究】1.1.兩對(duì)數(shù)若底數(shù)不同兩對(duì)數(shù)若底數(shù)不同, ,如何化成同底如何化成同底? ?2.2.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a,ba,b滿足什么條件時(shí)滿足什么條件時(shí)a ab b1?1?探究提示：探究提示：1.1.可以通過換底公式把兩對(duì)數(shù)換成同底的可以通過換底公式把兩對(duì)數(shù)換成同底的. .2.2.若若0 0a a1,1,則則b b0 0時(shí)時(shí), a, ab b1;1;若若a a1,1,則則b b0 0時(shí)時(shí), a, ab b1.1.【

8、解析【解析】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)閍 a2,2,所以所以a a1 11 1，所以所以因?yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)閍 a2,2,所以所以aaa(a 1)loga 1loga 1 loga1loga（ ）（ ）（）222aaaloga 1loga1loga1 .22（ ）（）（ ）22aa0log (a1)log a2 ，a(a 1)loga 10,loga0 ，所以所以即即所以所以答案：答案：aa 1loga 11loga（ ），aa 1log (a 1)loga. 2222aaloga1log a1,22（ ）（）2.2.因?yàn)橐驗(yàn)樗运运援?dāng)所以當(dāng)a=ba=b時(shí)時(shí), ,顯然有顯然有當(dāng)當(dāng)a ab b0 0時(shí)時(shí),

9、 , a bab2a b0, ab0 ，ab2a1;b（ ）aab1,0;b2abbaabab222a b2a baabbab（ ） ，（）當(dāng)當(dāng)b ba a0 0時(shí)時(shí), ,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, ,有有綜上可知綜上可知, ,對(duì)任意對(duì)任意a0,b0,a0,b0,都有都有aab01,0,b2 ab02aa1bb（ ） （ ），a bab2a bab. （）【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】題題2 2中條件不變中條件不變, ,求證：求證：【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)樗运运援?dāng)所以當(dāng)a=ba=b時(shí)時(shí), ,顯然有顯然有當(dāng)當(dāng)a ab b0 0時(shí)時(shí), , a bba2a b(ab).a bba2a b0,

10、 ab0（） ，baabbaba222a b2a baabbab（ ） ，（）ba2a1;b（ ）aba1,0;b2當(dāng)當(dāng)b ba a0 0時(shí)時(shí), ,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, ,有有綜上可知綜上可知, ,對(duì)任意對(duì)任意a0,b0,a0,b0,都有都有aba01,0,b2 b a02aa1bb（ ） （ ），a bba2a bab. （）【拓展提升【拓展提升】作商比較法證明不等式的一般步驟作商比較法證明不等式的一般步驟(1)(1)作商：將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商作商：將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商. .(2)(2)變形：化簡商式到最簡形式變形：化簡商式到最簡形式. .(3)(3)判

11、斷：判斷商與判斷：判斷商與1 1的大小關(guān)系的大小關(guān)系, ,也就是判斷商大于也就是判斷商大于1 1或小于或小于1 1或等于或等于1.1.(4)(4)得出結(jié)論得出結(jié)論. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】比較大?。罕容^大小： ( (填填“” “” “=” =” 或或“”).).【解題指南【解題指南】利用作商法比較利用作商法比較. .2311log_log32【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)樗运?又又所以所以答案：答案：22212231log113loglog 3log133log2 （） ，2211loglog132 ，221log13（） ，331loglog 102，2311loglog.32【規(guī)范解答【規(guī)范

12、解答】比較法證明不等式比較法證明不等式 【典例【典例】 (12(12分分) )【規(guī)范解答【規(guī)范解答】 22分分n 1n 1nnn 1n 1nnnba11(ab )(ab).ababab【條件分析【條件分析】當(dāng)當(dāng)a a0,b0,b0 0時(shí)，時(shí)，所以所以所以所以6 6分分nnn 1n 1nabab0, ab0,（）（） （）nnn 1n 1nabab0,ab（）（）（）n 1n 1nnba11;abab當(dāng)當(dāng)a,ba,b有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a a0,b0,b0 0，且，且a+ba+b0,0,所以所以a a|b|b|，又，又n n為偶數(shù)，為偶數(shù)，所以所以所以所以所以所以 1010分

13、分綜上所述，綜上所述， . .1212分分nnn 1n 1nab )(ab) 0, ab0,（） nnn 1n 1nab )(ab0,ab（）（）n 1n 1nnba11.ababn 1n 1nnba11abab【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.正確應(yīng)用作差比較法證明不等式正確應(yīng)用作差比較法證明不等式利用作差法證明不等式關(guān)鍵在于變形，變形的目的在于判斷利用作差法證明不等式關(guān)鍵在于變形，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，變形的方法可以利用配方法、因式分解等一切有差的符號(hào)，變形的方法可以利用配方法、因式分解等一切有效的恒等變形的方法，如本例，若變形不正確或是不徹底，效的恒等變形的方法，

14、如本例，若變形不正確或是不徹底，則后面的證明是相當(dāng)困難的則后面的證明是相當(dāng)困難的. .2.2.注意分類討論思想的應(yīng)用注意分類討論思想的應(yīng)用對(duì)于含有字母且字母取值不確定的要考慮分類討論，分類時(shí)對(duì)于含有字母且字母取值不確定的要考慮分類討論，分類時(shí)要恰當(dāng)選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，如本例對(duì)要恰當(dāng)選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，如本例對(duì)a,ba,b的取值進(jìn)行分類討論的取值進(jìn)行分類討論. . 【類題試解【類題試解】若若a ab bc c，求證：，求證：bcbc2 2+ca+ca2 2+ab+ab2 2b b2 2c+cc+c2 2a+aa+a2 2b.b.【證明【證明】bcbc2 2+ca+ca2 2+ab+ab2 2-(b-(b2

15、2c+cc+c2 2a+aa+a2 2b)b)=(bc=(bc2 2-c-c2 2a)+(caa)+(ca2 2-b-b2 2c)+(abc)+(ab2 2-a-a2 2b)b)=c=c2 2(b-a)+c(a-b)(a+b)+ab(b-a)(b-a)+c(a-b)(a+b)+ab(b-a)=(b-a)(c=(b-a)(c2 2-ac-bc+ab)=(b-a)(c-a)(c-b-ac-bc+ab)=(b-a)(c-a)(c-b),),因?yàn)橐驗(yàn)閍 ab bc c，所以，所以b-ab-a0,c-a0,c-a0,c-b0,c-b0,0,所以所以(b-a)(c-a)(c-b(b-a)(c-a)(c-b

16、) )0,0,所以所以bcbc2 2+ca+ca2 2+ab+ab2 2b b2 2c+cc+c2 2a+aa+a2 2b.b.1.1.已知已知 若若x=mx=m4 4m m3 3n, y=mnn, y=mn3 3n n4 4, ,則則x,yx,y的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為 ( )( )A.xA.xy B.xy B.x=y=yC.xC.xy D.y D.與與m,nm,n的取值有關(guān)的取值有關(guān)mn,【解析【解析】選選A.xA.xy=(my=(m4 4m m3 3n)n)(mn(mn3 3n n4 4) )=m=m3 3(m(mn)n)n n3 3(m(mn)=(mn)=(mn)(mn)(m3 3n

17、n3 3) )=(m=(mn)n)2 2(m(m2 2+mn+n+mn+n2 2) )因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以x xy y0,0,即即x xy.y.222n3mn mn 24（ ） （），mn,2.2.設(shè)設(shè)0ba1,0ba0,0,故故 即即答案：答案：22x2x1x122222x2x1x2x12x22x1x1 2222x2x1(x1),x1x122(x1)0,x122x2x12.x122x2x12x15.5.已知已知a a2,b2,b2 2，則，則ab_a+bab_a+b( (填填“” “” “=”=”或或 “”).).【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍bab0 0，所以，所以ababa+ba+b. .答案：答案：ab11111abab22，6.6.已知已知a2,a2,求證：求證：【證明【證明】 ( (因?yàn)橐驗(yàn)閍2)a2)，即即 故故24a1.4a222224aa4a4(a2)104a4a4a 24a1 0,4a24a1.4a