2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題23 以圓為背景的證明與計(jì)算（含解析）

專(zhuān)題23 以圓為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】（2019·廣東中考模擬）已知四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AC是O的直徑，DEAB，垂足為E（1）延長(zhǎng)DE交O于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，如圖1求證：PC=PB；（2）過(guò)點(diǎn)B作BGAD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè)，如圖2若AB= ，DH=1，OHD=80°，求BDE的大小【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）BDE=20°【解析】（1）如圖1，AC是O的直徑，ABC=90°，DEAB，DEA=90°，DEA=ABC，BCDF，F(xiàn)=PBC，四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形，F(xiàn)+DCB=180°，PCB+DCB=180°，F(xiàn)=PCB，PBC=PCB，PC=PB；（2）如圖2，連接OD，AC是O的直徑，ADC=90°，BGAD，AGB=90°，ADC=AGB，BGDC，BCDE，四邊形DHBC是平行四邊形，BC=DH=1，在RtABC中，AB=，tanACB=，ACB=60°，BC=AC=OD，DH=OD，在等腰DOH中，DOH=OHD=80°，ODH=20°，設(shè)DE交AC于N，BCDE，ONH=ACB=60°，NOH=180°（ONH+OHD）=40°，DOC=DOHNOH=40°，OA=OD，OAD=DOC=20°，CBD=OAD=20°，BCDE，BDE=CBD=20°【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決第（2）問(wèn)，作出輔助線(xiàn)，求得ODH=20°是解決本題的關(guān)鍵.【例2】 （2019·湖南中考真題）如圖，點(diǎn)在半徑為8的上，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)連接，且（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）求圖中陰影部分的面積【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明：連接，交于，即，是的切線(xiàn)；（2）解：，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較好，難度適中考點(diǎn)集訓(xùn)1（2019·遼寧中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在的內(nèi)部，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，以，為鄰邊作（1）判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，的半徑為2，求的長(zhǎng)【答案】（1）是的切線(xiàn)；理由見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)【解析】（1）是的切線(xiàn)；理由：連接，四邊形是平行四邊形，是的切線(xiàn)；（2）連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的長(zhǎng)【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵2（2019·云南初三）如圖，在RtABC中，C=90°，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，作EDEB交AB于點(diǎn)D，O是BED的外接圓（1）求證：AC是O的切線(xiàn)；（2）已知O的半徑為2.5，BE=4，求BC，AD的長(zhǎng)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BC=，AD=【解析】（1）如圖，連接OE，OB=OE，OBE=OEB，BE平分ABC，OBE=CBE，OEB=CBE，OEBC，又C=90°，AEO=90°，即OEAC，AC為O的切線(xiàn)；（2）EDBE，BED=C=90°，又DBE=EBC，BDEBEC，即，BC=；AEO=C=90°，A=A，AOEABC，即，解得：AD=點(diǎn)睛：本題主要考查切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線(xiàn)的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)3（2019·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，對(duì)角線(xiàn)AC為O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF（1）求CDE的度數(shù)；（2）求證：DF是O的切線(xiàn)；（3）若AC=DE，求tanABD的值【答案】（1）90°；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2【解析】解：（1）解：對(duì)角線(xiàn)AC為O的直徑，ADC=90°，EDC=90°；（2）證明：連接DO，EDC=90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，DF=FC，F(xiàn)DC=FCD，OD=OC，OCD=ODC，OCF=90°，ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90°，DF是O的切線(xiàn)；（3）解：如圖所示：可得ABD=ACD，E+DCE=90°，DCA+DCE=90°，DCA=E，又ADC=CDE=90°，CDEADC，DC2=ADDEAC=2DE，設(shè)DE=x，則AC=2x，則AC2AD2=ADDE，期（2x）2AD2=ADx，整理得：AD2+ADx20x2=0，解得：AD=4x或4.5x（負(fù)數(shù)舍去），則DC=，故tanABD=tanACD=4（2019·江蘇初三月考）如圖，已知AB是O的直徑，點(diǎn)C、D在O上，點(diǎn)E在O外，EAC=D=60°（1）求ABC的度數(shù)；（2）求證：AE是O的切線(xiàn)；（3）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)【答案】（1）60°(2)證明略;(3)【解析】（1）ABC與D都是弧AC所對(duì)的圓周角，ABC=D=60°； （2）AB是O的直徑，ACB=90°BAC=30°，BAE=BAC+EAC=30°+60°=90°，即BAAE，AE是O的切線(xiàn)；（3）如圖，連接OC，OB=OC，ABC=60°，OBC是等邊三角形，OB=BC=4，BOC=60°，AOC=120°，劣弧AC的長(zhǎng)為=【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵.5（2019·江蘇中考真題）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，連接（1）求證：；（2）與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）與相切，理由見(jiàn)解析.【解析】 (1)連接，為的中點(diǎn)，；(2)與相切，理由如下： ，ODE+E=180°，E=90°，ODE=90°，又OD是半徑，與相切【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵6（2019·湖北初三）如圖，AB為O的直徑，PD切O于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，DEPO交PO延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接PB，EDB=EPB，（1）求證：PB是的切線(xiàn)（2）若PB=6，DB=8，求O的半徑【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）3【解析】（1）證明：在DEO和PBO中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90°，OB為圓的半徑，PB為圓O的切線(xiàn)；（2）解：在RtPBD中，PB=6，DB=8，根據(jù)勾股定理得：PD=，PD與PB都為圓的切線(xiàn)，PC=PB=6，DC=PD-PC=10-6=4，在RtCDO中，設(shè)OC=r，則有DO=8-r，根據(jù)勾股定理得：（8-r）2=r2+42，解得：r=3，則圓的半徑為3考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定與性質(zhì)7（2019·廣西中考模擬）如圖，以AB邊為直徑的O經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C是O上一點(diǎn)，連結(jié)PC交AB于點(diǎn)E，且ACP=60°，PA=PD（1）試判斷PD與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，已知AB=4，求CECP的值【答案】（1）PD是O的切線(xiàn)證明見(jiàn)解析.（2）8.【解析】連結(jié)OP，ACP=60°，AOP=120°，OA=OP，OAP=OPA=30°，PA=PD，PAO=D=30°，OPD=90°，PD是O的切線(xiàn)（2）連結(jié)BC，AB是O的直徑，ACB=90°，又C為弧AB的中點(diǎn)，CAB=ABC=APC=45°，AB=4，AC=Absin45°=C=C，CAB=APC，CAECPA，CPCE=CA2=（）2=8考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；探究型8（2019·湖南中考真題）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的O上，AD平分，過(guò)點(diǎn)B作O的切線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E(1)求證：直線(xiàn)CD是O的切線(xiàn)(2)求證：【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】解：證明：(1)連接OD，AD平分，直線(xiàn)CD是O的切線(xiàn)；(2)連接BD，BE是O的切線(xiàn)，AB為O的直徑，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義圓周角定理，切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵9（2019·山東中考真題）如圖，在中，以為直徑的分別與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)（1）求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)；（2）求證：；（3）若的半徑為4，求陰影部分的面積【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）解：（1）如圖所示，連接，而，直線(xiàn)是的切線(xiàn)；（2）連接，則，則，則，而，即；（3）連接，【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合性知識(shí)，難度系數(shù)不大，應(yīng)該熟練掌握，關(guān)鍵在于做輔助線(xiàn)，這是這類(lèi)題的難點(diǎn).10（2019·江蘇中考真題）如圖，AB是O的直徑，AC與O交于點(diǎn)F，弦AD平分，垂足為E（1）試判斷直線(xiàn)DE與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若O的半徑為2，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)【答案】（1）直線(xiàn)DE與O相切；（2）.【解析】（1）直線(xiàn)DE與O相切，連結(jié)ODAD平分，即，即，DE是O的切線(xiàn)；（2）過(guò)O作于G，四邊形AODF是菱形，【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，屬于中考常考題型11（2019·天津中考真題）已知，分別與相切于點(diǎn)，為上一點(diǎn)（）如圖，求的大小；（）如圖，為的直徑，與相交于點(diǎn)，若，求的大小【答案】（）；（）.【解析】解：（）如圖，連接是的切線(xiàn)，即，在四邊形中，在中， （）如圖，連接為的直徑，由（）知，在中，又是的一個(gè)外角，有，【點(diǎn)睛】本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵12（2019·甘肅中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)且與邊相交于點(diǎn)(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若，求的半徑【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 【解析】 (1)證明：連接，是的切線(xiàn)；(2)解：連接，是等邊三角形，的半徑【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵13（2019·湖北中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)，以為直徑的分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由若求的長(zhǎng)【答案】（1）切，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）相切，理由：如圖，連接，為的中點(diǎn)，與相切；連接，為的直徑，即，【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵14（2019·山西初三期末）如圖，點(diǎn)O在APB的平分線(xiàn)上，O與PA相切于點(diǎn)C（1）求證：直線(xiàn)PB與O相切；（2）PO的延長(zhǎng)線(xiàn)與O交于點(diǎn)E若O的半徑為3，PC=4求弦CE的長(zhǎng)【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）證明：連接OC，作ODPB于D點(diǎn)O與PA相切于點(diǎn)C， OCPA（2）解：設(shè)PO交O于F，連接CFOC=3，PC=4，PO=5，PE=8O與PA相切于點(diǎn)C， PCF=E又CPF=EPC， PCFPEC， CF：CE=PC：PE=4：8=1：2EF是直徑， ECF=90°設(shè)CF=x，則EC=2x則x2+（2x）2=62， 解得x= 則EC=2x=