2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專題11 相似形（含解析）

專題11 相似形必考點1 比例線段1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：bm：n（或） 2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。 說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。 3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如 4、比例外項：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項。 5、比例內(nèi)項：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內(nèi)項。 6、第四比例項：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。 7、比例中項：如果比例中兩個比例內(nèi)項相等，即比例為（或a:b=b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。 8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。 9、比例的基本性質(zhì)：如果a：bc：d那么adbc逆命題也成立，即如果adbc，那么a：bc：d 10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說明：兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。 11、合比性質(zhì)：如果，那么 12等比性質(zhì)：如果，（），那么 說明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡單不易出錯。 13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項，叫做把這條線段黃金分割。 說明：把一條線段黃金分割的點，叫做這條線段的黃金分割點，在線段AB上截取這條線段的倍得到點C，則點C就是AB的黃金分割點?！镜淅?】（2019·四川中考真題）若，且，則的值是（）A4B2C20D14【答案】A【解析】解：由a：b3：4知，所以所以由得到：，解得所以所以故選：A【點睛】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積若，則【舉一反三】1（2019·安徽初三月考）若，則的值為（）A1BCD【答案】D【解析】，=，故選D2（2019·河南初三期末）已知（a0，b0），下列變形錯誤的是（）AB2a=3bCD3a=2b【答案】B【解析】解：由得，3a=2b，A、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；B、由等式性質(zhì)可得2a=3b，錯誤；C、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；D、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；故選B【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項之積等于兩外項之積3（2019·河南初三期中）已知，則的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】，設(shè)出b=5k，得出a=13k，把a，b的值代入，得，故選D必考點2 平行線分線段成比例 1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。3平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例。 4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊?！镜淅?】（2019·青海中考真題）如圖，直線與這三條平行線分別交于點和點已知AB=1，BC=3，DE=1.2，則DF的長為（）ABCD【答案】B【解析】解：，即，故選：【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型【舉一反三】1（2019·四川中考真題）如圖，在中，則的長為（）A6B7C8D9【答案】C【解析】，即，故選：C【點睛】此題考查平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵在于求出AE2（2019·廣西中考真題）如圖，在中，分別是邊上的點，若，則等于（）A5B6C7D8【答案】B【解析】解：， ，即，解得：，故選B【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵3.（2019·四川中考真題）如圖，在中，D在AC邊上，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則（ ）A1：2B1：3C1：4D2：3【答案】B【解析】解：如圖，過O作，交AC于G，O是BD的中點，G是DC的中點又，設(shè)，又，故選：B【點睛】考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識，難度較大，注意熟練運用中位線定理和三角形面積公式必考點3 相似三角形 1、相似三角形：兩個對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。 說明：證兩個三角形相似時和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。 2、相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 說明：這個定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。 4、三角形相似的判定定理： （1）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么就兩個三角形相似?？珊唵握f成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。 （2）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 （3）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。 說明：以上四個判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時，也可以用它們來判定兩個三角形的相似。 第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似。 第二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。 第三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。 5、相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 （2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長的比等于相似比。 說明：以上兩個性質(zhì)簡單記為：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比。 （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 說明：兩個三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例這個性質(zhì)。【典例3】（2019·山東中考真題）如圖，在中，為邊上的一點，且若的面積為，則的面積為（）ABCD【答案】C【解析】【詳解】，即，解得，的面積為，的面積為：，故選：C【點睛】本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì).【舉一反三】1（2019·四川中考真題）如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）ABCD【答案】B【解析】解：因為中有一個角是135°，選項中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：B【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型2（2019·四川中考真題）如圖ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使，連結(jié)EF交DC于點G，則（ ）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解析】解：設(shè)，四邊形ABCD是平行四邊形，點F是BC的中點，故選：D【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點的定義，表示出CF是解本題的關(guān)鍵3（2019·海南中考真題）如圖，在中，點P是邊AC上一動點，過點P作交BC于點Q，D為線段PQ的中點，當(dāng)BD平分時，AP的長度為（）ABCD【答案】B【解析】解：，又，即，解得，故選B【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵1（2019·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，分別是邊上的點，若，則的長是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】解：，即，解得， ，故選：C【點睛】本題考查分線段成比例定理，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵2（2019·太原市志達(dá)中學(xué)校初三月考）若，則的值為（ ）A2BCD9【答案】C【解析】設(shè)，則a=2k，b=3k，c=4k，原式，故選：C.【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡便3（2019·廣西中考真題）如圖，在中，點，分別在，邊上，若，則線段的長為（）ABCD5【答案】C【解析】解：設(shè)，設(shè)，故選C.【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型.4（2019·廣西中考真題）如圖，EF與AC交于點G，則是相似三角形共有（ ）A3對B5對C6對D8對【答案】C圖中三角形有：，共有6個組合分別為：，故選：C【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理.5（2019·黑龍江中考真題）如圖，在平行四邊形中，點在對角線上，交于點，交于點，則下列式子一定正確的是（ ）.ABCD【答案】D【解析】解：在中，易證四邊形為平行四邊形易證，A項錯誤，B項錯誤，C項錯誤，D項正確故選：D【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運用兩者性質(zhì)確定線段比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6（2019·湖北中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A（6，8），B（10，2），若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（）A（5，1）B（4，3）C（3，4）D（1，5）【答案】C【解析】以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，端點C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半，又A（6，8），端點C的坐標(biāo)為（3，4）故選C點睛：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對應(yīng)點橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵7（2019·遼寧中考真題）如圖，點P（8，6）在ABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將ABC縮小到原來的，得到ABC，點P在AC上的對應(yīng)點P的的坐標(biāo)為（）A（4，3）B（3，4）C（5，3）D（4，4）【答案】A【解析】點P（8，6）在ABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將ABC縮小到原來的，得到ABC，點P在AC上的對應(yīng)點P的的坐標(biāo)為：（4，3）故選：A【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵8（2019·西藏中考真題）如圖，在中，分別為邊上的中點，則與的面積之比是（）ABCD【答案】A【解析】由題意可知：是的中位線，故選：A【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型9（2019·河南初三期中）如圖，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（）A2B3C4D5【答案】B【解析】解：AFBF，AFB=90°，AB=10，D為AB中點，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，即，解得：DE=8，EF=DE-DF=3，故選B【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用其判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10（2019·江蘇中考模擬）如圖，ABC中，D為BC上一點，BADC，AB6，BD4，則CD的長為_【答案】5【解析】解：BAD=C，B=B，BADBCA，AB=6，BD=4，BC=9，CD=BC-BD=9-4=5【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記判定方法準(zhǔn)確找到相似三角形對應(yīng)邊是本題的解題關(guān)鍵.11（2019·廣西中考真題）如圖，以點為位似中心，將放大后得到，則_【答案】【解析】解：以點為位似中心，將放大后得到，故答案為：【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出對應(yīng)邊的比值是解題關(guān)鍵12（2016·江蘇中考真題）如圖，ABC中，D、E分別在AB、AC上，DEBC，AD：AB=1：3，則ADE與ABC的面積之比為_【答案】1：9【解析】由DEBC，可得ADEABC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得SADE：SABC=（AD：AB）2=1：9.考點：相似三角形的性質(zhì).13（2019·遼寧中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是，以點為位似中心，相們比為，把縮小，得到，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為_【答案】或【解析】解：以點為位似中心，相似比為，把縮小，點的坐標(biāo)是則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為或，即或，故答案為：或【點睛】本題考查的是位似圖形，熟練掌握位似變換是解題的關(guān)鍵.14（2019·內(nèi)蒙古中考真題）已知三個邊長分別為2，3，5的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為_【答案】【解析】解：如圖，對角線所分得的三個三角形相似，根據(jù)相似的性質(zhì)可知，解得，即陰影梯形的上底就是（）再根據(jù)相似的性質(zhì)可知，解得：，所以梯形的下底就是，所以陰影梯形的面積是故答案為：【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例15（2019·四川初三）已知，且，則的值為_【答案】12【解析】，設(shè)a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12故答案為12點睛：此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵16（2019·四川中考模擬）如圖，已知ABCD，若，則=_【答案】【解析】ABCD，AOBCOD，故答案為【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17（2019·青海中考真題）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，是支點，當(dāng)用力壓杠桿的端時，杠桿繞點轉(zhuǎn)動，另一端向上翹起，石頭就被撬動現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的端必須向上翹起，已知杠桿的動力臂與阻力臂之比為，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端向下壓_.【答案】【解析】解：如圖；都與水平線垂直，即；易知：；，杠桿的動力臂與阻力臂之比為，即；當(dāng)時，；故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點向下壓故答案為：【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵