直線與平面垂直的判定(高中數(shù)學(xué)人教版).ppt

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2.3.1直線與平面垂直的判定,生活中有很多直線與平面垂直的實(shí)例，你能舉出幾個(gè)嗎？,,,實(shí)例引入,旗桿與底面垂直,橋柱與水面的位置關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象.,思考1.陽(yáng)光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位置關(guān)系.,,,,,1.旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直.,,,,,,,,,,請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來(lái)做如圖所示的試驗(yàn)：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌上（BD、DC與桌面接觸）.,思考3(1)折痕AD與桌面垂直嗎？(2)如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？,當(dāng)折痕AD⊥BC時(shí),折痕AD與桌面所在平面垂直.,,BD,CD都在桌面內(nèi)，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直線AD所在的直線與桌面垂直,,,,,,,如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說(shuō)直線l與平面互相垂直，,記作．,平面的垂線,垂足,定義,直線與平面垂直,對(duì)定義的認(rèn)識(shí),①“任何”表示所有.②直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，在垂直時(shí)，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足.③等價(jià)于對(duì)任意的直線，都有,利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時(shí)也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).,,,,,,問(wèn)題,直線與平面垂直,除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直呢？,,判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．,直線與平面垂直判定定理,簡(jiǎn)記為：線線垂直線面垂直,“平面內(nèi)”，“相交”，“垂直”三個(gè)條件必不可少,,V,,,,,,,A,B,C,,,練習(xí)：,提示：找AC中點(diǎn)D,連接VD,BD,如圖，在三棱錐V-ABC,VA=VC,AB=BC求證:VB⊥AC.,中,外,垂,線面垂直判定定理的應(yīng)用,例1：已知：如圖，空間四邊形ABCD中，DB＝DC，取BC中點(diǎn)E，連接AE、DE，求證：BC⊥平面AED.,證明：∵AB＝AC，DB＝DC，E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，DE⊥BC.又∵AE與DE交于E，∴BC⊥平面AED.,由判定定理可知要證明直線垂直平面，只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩條相交直線垂直即可．,,例2:如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC,PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD,,,3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC,,證明：∵PA⊥⊙O所在平面，,BC?⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，,又AE?平面PAC，∴BC⊥AE，,∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.,例3：如圖6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB為⊙O直徑，C是圓周上任一點(diǎn)，過(guò)A作AE⊥PC于E，求證：AE⊥平面PBC.,1.已知：正方體中，AC是面對(duì)角線，BD′是與AC異面的體對(duì)角線.求證：AC⊥BD′,∵正方體ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD,證明：連接BD,∵AC、BD為對(duì)角線∴AC⊥BD,∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′?面D′DB∴AC⊥BD′,,,一條直線PA和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫斜足(A)，斜線上一點(diǎn)和斜足間的線段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段．,平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段有且只有一條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段有無(wú)數(shù)條,斜線與斜線段,從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影．垂足和斜足間的線段叫這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影,斜線在平面內(nèi)的射影,平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的夾角，叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角).簡(jiǎn)稱線面角,斜線和平面所成的角,斜線和平面所成的角,1、直線和平面垂直直線和平面所成的角是直角直線和平面平行或在平面內(nèi)直線和平面所成的角是0,2、直線與平面所成的角θ的取值范圍是：斜線與平面所成的角θ的取值范圍是：,,,,,O,,,,P,A,α,,,,,斜線PA,斜足A,,,,線面所成角（銳角∠PAO）,射影AO,關(guān)鍵：過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線,線面所成的角,,,1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,,,,,,典型例題,例2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角,,O,,例2：如圖4，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平,面A1B1CD所成的角．,圖4,求直線和平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系．(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常有以下步驟：①作——作出或找到斜線與射影所成的角；②證——論證所作或找到的角為所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④結(jié)論——說(shuō)明斜線和平面所成的角值．,圖5,2－1.如圖5，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為(),A,答案：D,解析：如圖22，連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成角．,圖22,1．直線與平面垂直的概念,（1）利用定義；,（2）利用判定定理．,3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想,知識(shí)小結(jié),2．直線與平面垂直的判定,垂直與平面內(nèi)任意一條直線,（3）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面,4．直線與平面所成的角.,,,四.知識(shí)小結(jié)：,,間接法,,直接法,,,,（1）,（2）數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想,,不去奮斗，不去創(chuàng)造，再美的青春也結(jié)不出碩果。,