高考數(shù)學 常見題型 導數(shù)的綜合運用課件.ppt

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導數(shù)的綜合運用,題型一 導數(shù)與函數(shù)圖象,點評：給定解析式求函數(shù)的圖象是近幾年高考重點，并且難度在增大，多數(shù)需要利用導數(shù)研究單調性知其變化趨勢，利用導數(shù)求極值(最值)研究零點．,(2015杭州質檢)設函數(shù)f(x)＝x2sinx，則函數(shù)f(x)的圖象可能為( ),對點訓練,,【解析】 因為f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．又因為f′(x)＝2xsinx＋x2cosx，所以f′(0)＝0，排除A；且當x∈[0，π]時，函數(shù)值為正實數(shù)，排除B；當x∈(π，2π)時，函數(shù)值為負實數(shù)，排除D，故選C.,例2 (2015滄州七校聯(lián)考)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的單調區(qū)間與極值； (2)求證：當aln2－1且x0時，exx2－2ax＋1. 【思路】 (1)令f′(x)＝0，求極值點，然后討論在各個區(qū)間上的單調性． (2)構造函數(shù)g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需證明g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，可利用導數(shù)求解．,題型二 導數(shù)與不等式,【解析】 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2. 于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,故f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)． f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．,(2)設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知當aln2－1時，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是對任意x∈R，都有g′(x)0， 所以g(x)在R內單調遞增． 于是當aln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)． 又g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)0. 即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.,點評：利用導數(shù)工具，證明不等式的關鍵在于要構造好函數(shù)的形式，轉化為研究函數(shù)的最值或值域問題，有時需用到放縮技巧． 求證不等式f(x)≥g(x)，一種常見思路是用圖像法來說明函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)圖像的上方，但通常不易說明．于是通常構造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過導數(shù)研究函數(shù)F(x)的性質，進而證明欲證不等式．,對點訓練,題型三 導數(shù)與方程,點評：討論方程根的個數(shù)或函數(shù)的零點，關鍵根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結合的思想去分析解決．,對點訓練,例4 (2015江蘇連云港二調)一個圓柱形圓木的底面半徑為1 m，長為10 m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形ABCD(如圖所示，其中O為圓心，C，D在半圓上)，設∠BOC＝θ，木梁的體積為V(單位：m3)，表面積為S(單位：m2)．,題型四 導數(shù)與最優(yōu)化問題,,(1)求V關于θ的函數(shù)表達式； (2)求θ的值，使體積V最大； (3)問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．,點評：生活中求利潤最大、用料最省、效率最高等問題稱之為優(yōu)化問題．導數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具，用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路是：優(yōu)化問題→用函數(shù)表示的數(shù)學問題→用導數(shù)解決數(shù)學問題→優(yōu)化問題的答案．,對點訓練,