2019年高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入 第11課時 復數的乘法和除法檢測 新人教B版選修1-2.doc

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2019年高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入 第11課時 復數的乘法和除法檢測 新人教B版選修1-2 1．若復數z1＝1＋i，z2＝3－i，則z1z2＝(　　) A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i 解析：z1z2＝(1＋i)(3－i)＝13－ii＋(3－1)i＝4＋2i，故選A. 答案：A 2．已知i2＝－1，則i(1－i)＝(　　) A.－i B.＋i C．－－i D．－＋i 解析：i(1－i)＝i－i2＝＋i. 答案：B 3．復數(i為虛數單位)的虛部是(　　) A.i B．－ C．－i D. 解析：＝＝＝－＋i，其虛部為，故選D. 答案：D 4．已知a＝，那么a4＝__________. 解析：∵a＝＝＝－1＋i， ∴a4＝[(－1＋i)2]2＝(－2i)2＝－4. 答案：－4 5．設復數z滿足|z|＝1，且(3＋4i)z是純虛數，求. 解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)．由|z|＝1，得＝1. 由題意，得(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是純虛數，則 由解得或 ∴z＝＋i或z＝－－i. ∴＝－i或＝－＋i. (限時：30分鐘) 1.＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：＝＝＝1－i， 所以＝|1－i|＝，選C. 答案：C 2．復數(1＋i)2(2＋3i)的值為(　　) A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i 解析：(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 答案：D 3．在復平面內，復數的對應點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：＝＝＝－1＋2i，對應的點的坐標為(－1,2)，所以在第二象限． 答案：B 4．設a是實數，且∈R，則實數a＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：因為∈R，所以不妨設＝x，x∈R，則1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有所以a＝1. 答案：B 5．若復數z＝2i＋，其中i是虛數單位，則復數z的模為(　　) A. B. C. D．2 解析：由題意，得z＝2i＋＝2i＋＝1＋i，復數z的模|z|＝＝. 答案：B 6．i是虛數單位，i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 013＝__________. 解析：因為i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＝0(n∈Z)， 所以i＋i2＋…＋i2 013＝i. 答案：i 7．已知復數＝1－bi，其中a，b∈R，i是虛數單位，則|a＋bi|＝__________. 解析：由＝1－bi，得2－ai＝i(1－bi)＝i－bi2＝b＋i，所以b＝2，－a＝1，即a＝－1，b＝2， 所以|a＋bi|＝|－1＋2i|＝. 答案： 8．投擲兩顆骰子，其向上的點數分別為m和n，則復數(m＋ni)2為純虛數的概率為__________． 解析：設擲兩顆骰子共有36種結果．因為(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni，所以要使復數(m＋ni)2為純虛數，則有m2－n2＝0，即m＝n，共有6種結果，所以復數(m＋ni)2為純虛數的概率為＝. 答案： 9．計算：＋. 解析：因為＝＝＝i－1， ＝＝＝－i， 所以＋＝i－1＋(－i)＝－1. 10．已知復數z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z為純虛數． (1)求復數z. (2)若w＝，求復數w的模|w|. 解析：(1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i. 因為(1＋3i)z為純虛數， 所以3－3b＝0，且9＋b≠0， 所以b＝1，所以z＝3＋i. (2)w＝＝＝＝－i， 所以|w|＝＝. 11．設i為虛數單位，復數z和ω滿足zω＋2iz－2iw＋1＝0. (1)若z和ω滿足－z＝2i，求z和ω的值． (2)求證：如果|z|＝，那么|ω－4i|的值是一個常數．并求這個常數． 解析：(1)因為－z＝2i，所以z＝－2i. 代入zω＋2iz－2iω＋1＝0， 得(－2i)(ω＋2i)－2iω＋1＝0， 所以ω－4iω＋2i＋5＝0. 設ω＝x＋yi(x，y∈R)，則上式可變?yōu)? (x＋yi)(x－yi)－4i(x＋yi)＋2i(x－yi)＋5＝0. 所以x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0. 所以所以或 所以ω＝－i，z＝－i或ω＝－5i，z＝3i. (2)由zω＋2iz－2iω＋1＝0，得z(ω＋2i)＝2iω－1， 所以|z||ω＋2i|＝|2iω－1|.① 設ω＝x＋yi(x，y∈R)，則|ω＋2i|＝|x＋(y＋2)i| ＝＝. |2iω－1|＝|－(2y＋1)＋2xi|＝ ＝. 又|z|＝， 所以①可化為3(x2＋y2＋4y＋4)＝4x2＋4y2＋4y＋1. 所以x2＋y2－8y＝11. 所以|ω－4i|＝|x＋(y－4)i|＝ ＝＝3. 所以|ω－4i|的值是常數，且等于3.