中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一編 教材知識(shí)梳理篇 第6章 圖形的相似與解直角三角形 第19講 解直角三角形（精講）練習(xí).doc

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第十九講　解直角三角形 宜賓中考考情與預(yù)測 宜賓考題感知與試做 1.（xx宜賓中考）如圖，為了測量某條河的寬度，現(xiàn)在河邊的一岸邊任意取一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩點(diǎn)B、C，測得α＝30，β＝45，量得BC長為100 m.求河的寬度.（結(jié)果保留根號(hào)） 解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D. ∵β＝45，∠ADC＝90，∴AD＝DC. 設(shè)AD＝DC＝x m，則tan 30＝＝， ∴x＝50（＋1）. 答：河的寬度為50（＋1） m. 2.（xx宜賓中考）某游樂場一轉(zhuǎn)角滑梯如圖所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，點(diǎn)E在線段BD上，在C點(diǎn)測得點(diǎn)A的仰角為30，點(diǎn)E的俯角也為30，測得B、E間距離為10 m，立柱AB高30 m.求立柱CD的高.（結(jié)果保留根號(hào)） 解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則四邊形HBDC為矩形， ∴BD＝CH. 由題意，得∠ACH＝30， ∠CED＝30. 設(shè)CD＝x m，則AH＝（30－x）m. 在Rt△AHC中，HC＝＝（30－x）， 則BD＝CH＝（30－x）， ∴ED＝（30－x）－10. 在Rt△CDE中，＝tan ∠CED， ∴＝，解得x＝15－. 答：立柱CD的高為 m. 宜賓中考考點(diǎn)梳理 　銳角三角函數(shù) 1.銳角三角函數(shù)的定義 在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝c，BC＝a，AC＝b 正弦 sin A＝＝　　 余弦 cos A＝＝　　 正切 tan A＝＝　　 2.特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù)\銳角α　 30 45 60 sin α 　　 cos α 　　 tan α 　　 1 　解直角三角形 3.解直角三角形常用的關(guān)系 在Rt△ABC中，∠C＝90 三邊關(guān)系 　a2＋b2＝c2　 兩銳角關(guān)系 　∠A＋∠B＝90 邊角關(guān)系 sin A＝cos B＝ cos A＝sin B＝ tan A＝ 4.解直角三角形的應(yīng)用 仰角、俯角 在進(jìn)行測量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做　仰角　，視線與水平線的夾角叫做　俯角?。?（如圖①） 坡度（坡比）、坡角 坡面的鉛垂高度（h）和　水平長度?。╨）的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i，即i＝；坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i＝tan α＝　　（如圖②） 方位角 物體運(yùn)動(dòng)的方向與正北或正南方向之間的夾角稱為　方位角?。? 點(diǎn)A位于點(diǎn)O的北偏東30方向， 點(diǎn)B位于點(diǎn)O的南偏東60方向， 點(diǎn)C位于點(diǎn)O的北偏西45方向（或西北方向）（如圖③） 【方法點(diǎn)撥】解直角三角形的方法： （1）解直角三角形，當(dāng)所求元素不在直角三角形中時(shí)，應(yīng)作輔助線構(gòu)造直角三角形，或?qū)ふ乙阎苯侨切沃械倪吔翘娲蟮脑兀? （2）解實(shí)際問題的關(guān)鍵是構(gòu)造幾何模型，大多數(shù)問題都需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角計(jì)算問題. 1.　如圖，在直角坐標(biāo)系中，P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)是（3，m），且OP與x軸正半軸的夾角α的正切值是，則sin α的值為（　A　） A.　 　　B.　 　　C.　 　　D. （第1題圖）)　　?。ǖ?題圖） 2.如圖，將∠AOB放置在55的正方形網(wǎng)格中，則tan ∠AOB的值是（　B?。? A.　 B. C. D. 3.已知a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且a∶b∶c＝1∶∶，則cos B的值為（　B?。? A. B. C. D. 中考典題精講精練 　銳角三角函數(shù)概念及求值 【典例1】如圖，在△ABC中，∠C＝150，AC＝4，tan B＝. （1）求BC的長； （2）利用此圖形求tan 15的值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.2） 【解析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，構(gòu)造Rt△ACD求出CD的長，在Rt△ABD中，求出BD的長，即可得出結(jié)果；（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使CM＝AC，連結(jié)AM即可解得. 【解答】（1）如圖①，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D. 在Rt△ADC中，AC＝4，∠ACD＝30， ∴AD＝AC＝2，CD＝ACcos 30＝4＝2. 在Rt△ABD中，tan B＝＝＝，∴BD＝16. ∴BC＝BD－CD＝16－2； 　 （2）如圖②，在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM＝AC，連結(jié)AM. ∵∠ACB＝150，∴∠AMD＝∠MAC＝15. ∴tan 15＝tan ∠AMD＝ ＝＝ ＝2－ ≈0.3. 　運(yùn)用特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算 【典例2】下列式子錯(cuò)誤的是（　D?。? A.cos 40＝sin 50 B.tan 15tan 75＝1 C.sin225＋cos225＝1 D.sin 60＝2sin 30 【解析】A.sin 40＝sin （90－50）＝cos 50，式子正確； B.tan 15tan 75＝tan 15＝1，式子正確；C.sin225＋cos225＝1正確； D.sin 60＝，sin 30＝，則sin 60＝2sin 30錯(cuò)誤. 　解直角三角形的應(yīng)用 【典例3】小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學(xué)校旗桿的高度.如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等.小明將PB拉到PB′的位置，測得∠PB′C＝α（B′C為水平線），測角儀B′D的高度為1 m，則旗桿PA的高度為（　A?。? A. m B. m C. m D. m 【解析】在Rt△PCB′中，根據(jù)sin α＝列出方程可解決問題. 1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不正確的是（　C?。? 　　　　　　　　　　　　　　　 A.sin B＝ B.sin B＝ C.sin B＝ D.sin B＝ 2.在Rt△ABC中，∠C＝90，cos B＝，AB＝10 cm，則BC的長度為（　A?。? A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3.如圖，在△ABC中，∠B＝90，BC＝2AB，則cos A＝　　Ｗ. 4.在△ABC 中，若角A、B滿足|cos A－|＋（1 －tan B）2＝0，則∠C的大小是（　D　） A.45 B.60 C.75 D.105 5.如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1∶2，AC＝3 m，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連.若AB＝10 m，則旗桿BC的高度為（　A?。? A.5 m B.6 m C.8 m D.（3＋） m 6.（xx遵義中考）如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時(shí)，吊繩BC與地面保持垂直，吊臂AB與水平線的夾角為64，吊臂底部A距地面1.5 m.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin 64≈0.90，cos 64≈0.44，tan 64≈2.05）　（1）當(dāng)?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5 m時(shí)，吊臂AB的長為　　　m； （2）如果該吊車吊臂的最大長度AD為20 m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？（吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計(jì)） 解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝64，AC＝5， ∴AB＝≈50.44≈11.4. ∴吊臂AB的長為11.4 m.故應(yīng)填：11.4； （2）過點(diǎn)D作DH⊥地面于點(diǎn)H，交水平線于點(diǎn)E. 在Rt△ADE中，AD＝20，∠DAE＝64，EH＝1.5， ∴DE＝sin 64AD≈200.90＝18.0， 即DH＝DE＋EH≈18.0＋1.5＝19.5. 答：從地面上吊起貨物的最大高度是19.5 m.