2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用滾動訓(xùn)練（四）蘇教版選修1 -1.docx

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第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 滾動訓(xùn)練(四) 一、填空題 1.已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是________________. 考點　四種命題 題點　否命題 答案　若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3 解析　同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題. 2.已知f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)過點P(－1,0)的切線方程是________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　求切線方程 答案　y＝0或4x＋y＋4＝0 解析　設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x)， ∵f′(x)＝2x，∴切線方程為y－0＝2x0(x＋1)， ∴x＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2， ∴所求切線方程為y＝0或y＝－4(x＋1)， 即y＝0或4x＋y＋4＝0. 3.已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為________. 考點　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　 解析　設(shè)雙曲線的焦點為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 虛軸兩個端點為B1(0，－b)，B2(0，b)， ∵c>b，∴只有∠B1F1B2＝60， ∴tan30＝，∴c＝b， 又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝＝＝. 4.焦距是8，離心率等于0.8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________. 考點　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　橢圓定義的理解 答案?。?或＋＝1 解析　由題意知解得 又b2＝a2－c2，∴b2＝9， 當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓方程為＋＝1， 當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓方程為＋＝1. 5.F1，F(xiàn)2是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則的最大值是________. 考點　橢圓的幾何性質(zhì) 題點　橢圓中的最值問題 答案　1 解析　設(shè)P(x，y)，依題意得點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，注意到－2≤x2－2≤1，因此的最大值是1. 6.已知函數(shù)y＝f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點P處的切線方程是________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　求切線方程 答案　x－y－2＝0 解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線y＝f(x)在點P處的切線的斜率k＝f′(2)＝1，又過點P(2,0)，所以切線方程為x－y－2＝0. 7.若曲線y＝x2＋alnx(a>0)上任意一點處的切線斜率為k，若k的最小值為4，則此時該切點的坐標(biāo)為________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　求切點坐標(biāo) 答案　(1,1) 解析　y＝x2＋alnx的定義域為(0，＋∞)， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知y′＝2x＋≥2＝4，則a＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立，代入曲線方程得y＝1， 故所求的切點坐標(biāo)是(1,1). 8.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　由切線方程求參數(shù) 答案　1 解析　∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1， 又f(1)＝a＋2， ∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)， 又點(2,7)在切線上，可得a＝1. 9.若存在過點O(0,0)的直線l與曲線f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，則a的值是________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　求切線方程 答案　1或 解析　易知點O(0,0)在曲線f(x)＝x3－3x2＋2x上， (1)當(dāng)O(0,0)是切點時，由f′(x)＝3x2－6x＋2得f′(0)＝2，則切線方程為y＝2x.由得x2－2x＋a＝0，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1. (2)當(dāng)O(0,0)不是切點時，設(shè)切點為P(x0，y0)，則y0＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.① 又k＝＝x－3x0＋2，② 由①，②聯(lián)立，得x0＝(x0＝0舍去)， ∴k＝－，∴所求切線l的方程為y＝－x. 由得x2＋x＋a＝0. 依題意，Δ＝－4a＝0，∴a＝. 綜上，a＝1或a＝. 10.曲線f(x)＝在x＝0處的切線方程為__________________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　求切線方程 答案　2x＋y＋1＝0 解析　根據(jù)題意可知切點坐標(biāo)為(0，－1)， f′(x)＝＝， 故切線的斜率k＝f′(0)＝＝－2， 則直線的方程為y－(－1)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋1＝0. 二、解答題 11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝. 考點　導(dǎo)數(shù)的運算 題點　求函數(shù)導(dǎo)數(shù) 解　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx. (2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－. (3)y′＝′＝ ＝－. 12.已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　求切線方程 解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2， ∴曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為 y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x－4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1， ∴經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0. 13.已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　由切線方程求參數(shù)范圍 解　(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3， 則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞). (2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k， 則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍是(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞). 三、探究與拓展 14.若函數(shù)f(x)＝lnx＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　由切線方程求參數(shù) 答案　∪ 解析　f′(x)＝＋a(x>0). ∵函數(shù)f(x)＝lnx＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線， ∴方程＋a＝2在區(qū)間(0，＋∞)上有解， 即a＝2－在區(qū)間(0，＋∞)上有解. ∴a＜2. 若直線2x－y＝0與曲線f(x)＝lnx＋ax相切，設(shè)切點為(x0,2x0). 則解得x0＝e，此時a＝2－. 綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為∪. 15.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點　由切線方程求參數(shù) 解　(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0， 即3a－6－6a＝0，∴a＝－2. (2)存在. ∵直線m恒過定點(0,9)，直線m是曲線y＝g(x)的切線，設(shè)切點為(x0,3x＋6x0＋12)， ∵g′(x0)＝6x0＋6， ∴切線方程為y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 將點(0,9)代入，得x0＝1， 當(dāng)x0＝－1時，切線方程為y＝9； 當(dāng)x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9. 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 即有x＝－1或x＝2， 當(dāng)x＝－1時，y＝f(x)的切線方程為y＝－18； 當(dāng)x＝2時，y＝f(x)的切線方程為y＝9. ∴公切線是y＝9 又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， ∴x＝0或x＝1. 當(dāng)x＝0時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11； 當(dāng)x＝1時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10， ∴公切線不是y＝12x＋9. 綜上所述，公切線是y＝9，此時k＝0.