2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.3 空間直角坐標(biāo)系講義（含解析）新人教A版必修2.doc

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4.3 空間直角坐標(biāo)系 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P134～P137，回答下列問題． (1)平面直角坐標(biāo)系由兩條互相垂直的數(shù)軸組成，設(shè)想空間直角坐標(biāo)系由幾條數(shù)軸組成？其相對位置關(guān)系如何？ 提示：三條交于一點(diǎn)且兩兩互相垂直的數(shù)軸． (2)建立了空間直角坐標(biāo)系以后，空間中任意一點(diǎn)M對應(yīng)的三個(gè)有序?qū)崝?shù)如何找到呢？ 提示：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是空間的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸，y軸和z軸于點(diǎn)P、Q和R.設(shè)點(diǎn)P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別是x，y和z，那么點(diǎn)M就對應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)． (3)設(shè)點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分別為M、N. ①M(fèi)、N的坐標(biāo)是什么？點(diǎn)M、N之間的距離如何？ ②若直線P1P2是xOy平面的一條斜線，點(diǎn)P1，P2間的距離如何？ 提示：①M(fèi)(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)； |MN|＝. ②如圖，在Rt△P1HP2中， |P1H|＝|MN| ＝，根據(jù)勾股定理，得 |P1P2|＝ ＝. 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念 ①空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點(diǎn)引三條兩兩垂直，且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz. ②相關(guān)概念：點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸．通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面． (2)右手直角坐標(biāo)系 在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系． (3)空間一點(diǎn)的坐標(biāo) 空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x，y，z)．其中x叫點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫點(diǎn)M的豎坐標(biāo)． (4)空間兩點(diǎn)間的距離公式 ①點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離，|OP|＝. ②任意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離， |P1P2|＝ . [問題思考] (1)給定的空間直角坐標(biāo)系下，空間任意一點(diǎn)是否與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間存在唯一的對應(yīng)關(guān)系？ 提示：是．給定空間直角坐標(biāo)系下，空間給定一點(diǎn)其坐標(biāo)是唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)；反之，給定一個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，空間也有唯一的點(diǎn)與之對應(yīng)． (2)空間兩點(diǎn)間的距離公式對在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)適用嗎？ 提示：適用．空間兩點(diǎn)間的距離公式適用于空間任意兩點(diǎn)，對同在某一坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)也適用． [課前反思] 通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識點(diǎn)． (1)怎樣建立空間直角坐標(biāo)系？如何確定空間一點(diǎn)的坐標(biāo)？ ??； (2)空間兩點(diǎn)間的距離公式是什么？怎樣用？ 　. 　 (1)如圖數(shù)軸上A點(diǎn)、B點(diǎn)． (2)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，P、Q點(diǎn)的位置． (3)下圖是一個(gè)房間的示意圖，我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢茫? [思考1]　上述(1)中如何確定A、B兩點(diǎn)的位置？ 提示：利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)2和－2. [思考2]　上述(2)中如何確定P、Q兩點(diǎn)的位置？ 提示：利用P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)(a，b)和(m，n)． [思考3]　對于上述(3)中，空間中如何表示板凳和氣球的位置？ 提示：可借助于平面坐標(biāo)系的思想建立空間直角坐標(biāo)系，如圖示． 講一講 1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出底邊長為2，高為3的正三棱柱的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．(鏈接教材P135—例1) [嘗試解答]　以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為y軸，以射線OA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． 由題意知，AO＝2＝，從而可知各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)． 空間中點(diǎn)P坐標(biāo)的確定方法 (1)由P點(diǎn)分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點(diǎn)Px、Py、Pz，這三個(gè)點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為x、y、z，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)就是(x，y，z)． (2)若題所給圖形中存在垂直于坐標(biāo)軸的平面，或點(diǎn)P在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，則要充分利用這一性質(zhì)解題． 練一練 1．如圖所示，VABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，試分別寫出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：∵底面是邊長為2的正方形， ∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)， ∴C(1,1,0)，同樣的方法可以確定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z軸上， ∴V(0,0,3)． 講一講 2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2,1,4)． (1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)． [嘗試解答]　(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P1(－2，－1，－4)． (2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P2(－2,1，－4)． (3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝22－(－2)＝6， y＝2(－1)－1＝－3，z＝2(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12)． (1)求空間對稱點(diǎn)的規(guī)律方法 空間的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．對稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論． (2)空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(x，y，z)的幾種特殊對稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下： ①關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P1(－x，－y，－z)； ②關(guān)于x軸(橫軸)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P2(x，－y，－z)； ③關(guān)于y軸(縱軸)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P3(－x，y，－z)； ④關(guān)于z軸(豎軸)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4(－x，－y，z)； ⑤關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P5(x，y，－z)； ⑥關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P6(－x，y，z)； ⑦關(guān)于xOz坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P7(x，－y，z)． 練一練 2.保持本解中的點(diǎn)P不變， (1)求點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)N(－5,4,3)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)由于點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱后，它在y軸的分量不變，在x軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)， 故對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(2,1，－4)． (2)由于點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對稱后，它在y軸、z軸的分量不變，在x軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)， 故對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P2(2,1,4)． (3)設(shè)所求對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)， 則點(diǎn)N為線段PP3的中點(diǎn)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得－5＝，4＝，3＝， 即x＝2(－5)－(－2)＝－8，y＝24－1＝7， z＝23－4＝2， 故P3(－8,7,2). (1)已知數(shù)軸上A點(diǎn)的坐標(biāo)2，B點(diǎn)的坐標(biāo)－2. (2)已知平面直角坐標(biāo)系中P(a，b)，Q(m，n)． [思考1]　如何求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離？ 提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|. [思考2]　如何求平面直角坐標(biāo)系中P、Q兩點(diǎn)間距離？ 提示：d＝|PQ|＝ . [思考3]　若在空間中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|? 提示：與平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離求法類似． 講一講 3．已知點(diǎn)A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，試判斷△ABC的形狀． [嘗試解答]　 |AB|＝ ＝＝7， |BC|＝ ＝＝7， |AC|＝ ＝＝7， 則|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 所以△ABC為等腰直角三角形． 求空間兩點(diǎn)間的距離時(shí)，一般使用空間兩點(diǎn)間的距離公式，應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)．確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法視具體題目而定，一般說來，要轉(zhuǎn)化到平面中求解，有時(shí)也利用幾何圖形的特征，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的知識確定． 練一練 3．已知兩點(diǎn)P(1,0,1)與Q(4,3，－1)． (1)求P、Q之間的距離； (2)求z軸上的一點(diǎn)M，使|MP|＝|MQ|. 解：(1)|PQ|＝＝. (2)設(shè)M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|， 得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2， ∴z＝－6. ∴M(0,0，－6)． ——————————[課堂歸納感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解右手直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念，掌握空間直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)的含義，會建立空間直角坐標(biāo)系，并能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，理解空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程和方法，掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式及其簡單應(yīng)用．難點(diǎn)是空間直角坐標(biāo)系的建立及求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、空間兩點(diǎn)間距離公式及其簡單運(yùn)用． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法，見講1. (2)求空間中對稱點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律，見講2. (3)空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，見講3. 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，如講1. 課下能力提升(二十六) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　空間直角坐標(biāo)系的建立及坐標(biāo)表示 1．點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的(　　) A．y軸上　　　　　B．xOy平面上 C．xOz平面上 D．第一象限內(nèi) 解析：選C　點(diǎn)(2,0,3)的縱坐標(biāo)為0，所以該點(diǎn)在xOz平面上． 2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4,3，－1)關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(4，－3，－1) B．(4,3，－1) C．(3，－4,1) D．(－4，－3,1) 解析：選A　過點(diǎn)P向xOz平面作垂線，垂足為N，則N就是點(diǎn)P與它關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)P′連線的中點(diǎn)，又N(4,0，－1)，所以對稱點(diǎn)為P′(4，－3，－1)． 3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0，z0)， 則x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1， ∴中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1) 4．點(diǎn)P(1,2，－1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(x，y，z)，則x＋y＋z＝________. 解析：點(diǎn)P(1,2，－1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0. 答案：0 5．如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD， AA1的方向分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 分別設(shè)|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，則|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝. 所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,2,1)． 6．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC＝2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在平面yOz內(nèi)，且∠BDC＝90，∠DCB＝30，求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E. 在Rt△BDC中，∠BDC＝90，∠DCB＝30，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60＝1－＝， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 題組2　空間兩點(diǎn)間的距離 7．(2016長春高一檢測)已知點(diǎn)A(x,1,2)和點(diǎn)B(2,3,4)，且|AB|＝2，則實(shí)數(shù)x的值是(　　) A．－3或4　　　　　　　 B．6或2 C．3或－4 D．6或－2 解析：選D　由題意得＝2，解得x＝－2或x＝6. 8．在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，－1,2)，其中心M的坐標(biāo)為(0,1,2)，則該正方體的棱長為________． 解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)， 所以C1(－3,3,2)．正方體體對角線長為|AC1|＝＝2， 所以正方體的棱長為＝. 答案： [能力提升綜合練] 1．在長方體ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，則對角線AC1的長為(　　) A．9 B. C．5 D．2 解析：選B　由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝. 2．點(diǎn)A(1,2，－1)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于面xOy對稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，則|BC|的值為(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 解析：選B　點(diǎn)A關(guān)于面xOy對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,2,1)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，－2,1)，故|BC|＝ ＝4. 3．△ABC在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則BC邊上的中線的長是(　　) A. B．2 C. D．3 解析：選C　BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1,0)，又A(0,0,1)， ∴|AM|＝＝. 4．在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)P到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)P(x，y，z)，由題意可知 ∴x2＋y2＋z2＝，∴＝. 5．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(－1，b,2)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是(a，－1，c－2)，則點(diǎn)P(a，b，c)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離|PO|＝________. 解析：點(diǎn)(－1，b,2)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是(1，b，－2)，所以點(diǎn)(a，－1，c－2)與點(diǎn)(1，b，－2)重合，所以a＝1，b＝－1，c＝0，所以|PO|＝＝. 答案： 6．在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E為C1G的中點(diǎn)，則EF的長為________． 解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，則E. 所以|EF|＝ ＝. 答案： 7．如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C中點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間的距離． 解：如圖所示，分別以AB、AD、AA1所在的直線為x軸、 y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)， ∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， ∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，A1(0,0,2)． ∵N為CD1的中點(diǎn)， ∴N. M是A1C1的三分之一分點(diǎn)且靠近A1點(diǎn)， ∴M(1,1,2)． 由兩點(diǎn)間距離公式， 得|MN|＝ ＝. 8．如圖所示， 直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求DE，EF的長度． 解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，D(1,1,0)，E(0，1,2)，F(xiàn)(1,0,0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝.