高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時(shí) 直接證明與間接證明課件 理.ppt

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第七章不等式及推理與證明 1 了解直接證明的兩種基本方法 分析法和綜合法 了解分析法和綜合法的思考過程 特點(diǎn) 2 了解間接證明的一種基本方法 反證法 了解反證法的思考過程 特點(diǎn) 請注意不等式的證明是高考的一個(gè)重要內(nèi)容 也是一類難點(diǎn) 一方面是證明的方法靈活多樣 要依據(jù)題設(shè) 題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系 選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法 并掌握相應(yīng)的步驟 技巧和語言特點(diǎn) 另一方面是知識的交匯與解題能力的綜合 傳統(tǒng)的純不等式的證明問題很少在高考中出現(xiàn) 但是與三角函數(shù) 數(shù)列 導(dǎo)數(shù)等知識的綜合命題卻顯得非?；钴S 對考生綜合運(yùn)用知識和邏輯推理能力有較高的要求 1 綜合法一般地 利用 經(jīng)過一系列的 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 這種證明方法叫做綜合法 用P表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 Q表示所要證明的結(jié)論 則綜合法可用框圖表示為 已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 推理論證 2 分析法一般地 從要出發(fā) 逐步尋求使它成立的 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 已知條件 定理 定義 公理等 為止 這種證明的方法叫做分析法 用Q表示要證明的結(jié)論 則分析法可用框圖表示為 證明的結(jié)論 充分條件 3 反證法一般地 假設(shè) 經(jīng)過正確的推理 最后得出 因此說明 從而證明了原命題成立 這樣的證明方法叫做反證法 原命題不成立 矛盾 假設(shè)錯(cuò)誤 1 用分析法證明 欲使 A B 只需 C D 這里 是 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件答案B解析分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立 即 所以 是 的必要條件 2 課本改編題 用反證法證明命題 a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一個(gè)能被5整除 時(shí) 假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為 答案a b都不能被5整除 3 設(shè)p 2x4 1 q 2x3 x2 x R 則p與q的大小關(guān)系是 答案p q解析 p q 2x4 2x3 x2 1 2x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x3 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 0 p q 4 設(shè)a b是兩個(gè)實(shí)數(shù) 給出下列條件 a b 2 a2 b2 2 其中能推出 a b中至少有一個(gè)大于1 的條件是 填上序號 答案 解析取a 2 b 1 則a2 b2 2 從而 推不出 能夠推出 即若a b 2 則a b中至少有一個(gè)大于1 用反證法證明如下 假設(shè)a 1 且b 1 則a b 2與a b 2矛盾 因此假設(shè)不成立 所以a b中至少有一個(gè)大于1 題型一綜合法 思路 1 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)的值 2 利用分類討論的思想轉(zhuǎn)化求解 探究1綜合法是一種由因索果的證明方法 其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法 因此要保證前提條件正確 推理合乎規(guī)律 這樣才能保證結(jié)論的正確性 綜合法是直接證明中最常用的表述方法 思考題1 答案 1 a 1 b 1 2 略 題型二分析法 思路 當(dāng)所給的條件簡單 所證的結(jié)論復(fù)雜的 一般采用分析法 答案 略 探究2分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法 就證明程序來講 它是一種從未知到已知 從結(jié)論到題設(shè) 的邏輯推理方法 具體地說 即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的 由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件 而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題或是要證命題的已知條件時(shí)則所證命題得證 思考題2 答案 略 例3 2013 陜西理 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 1 推導(dǎo) an 的前n項(xiàng)和公式 2 設(shè)q 1 證明數(shù)列 an 1 不是等比數(shù)列 解析 1 設(shè) an 的前n項(xiàng)和為Sn 當(dāng)q 1時(shí) Sn a1 a1 a1 na1 當(dāng)q 1時(shí) Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1qn 題型三反證法 答案 略 探究3 1 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出現(xiàn)時(shí) 宜用反證法求證 反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 矛盾可以是 與已知條件矛盾 與假設(shè)矛盾 與定義 公理 定理矛盾 與事實(shí)矛盾等方面 反證法常常是解決某些 疑難 問題的有力工具 是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器 2 利用反證法證明問題時(shí) 要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理 否則 將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤 1 用反證法證明命題 已知a b為實(shí)數(shù) 則方程x2 ax b 0至少有一個(gè)實(shí)根 時(shí) 要做的假設(shè)是 A 方程x2 ax b 0沒有實(shí)根B 方程x2 ax b 0至多有一個(gè)實(shí)根C 方程x2 ax b 0至多有兩個(gè)實(shí)根D 方程x2 ax b 0恰好有兩個(gè)實(shí)根 答案 A 思考題3 2 實(shí)數(shù)a b c d滿足a b c d 1 ac bd 1 求證 a b c d中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù) 證明 假設(shè)a b c d都是非負(fù)數(shù) 則由a b c d 1 得1 a b c d ac bd ad bc ac bd 即ac bd 1 這與ac bd 1矛盾 故假設(shè)不成立 即a b c d中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù) 答案 略 1 綜合法與分析法的關(guān)系 分析法與綜合法相輔相成 對較復(fù)雜的問題 常常先從結(jié)論進(jìn)行分析 尋求結(jié)論與條件的關(guān)系 找到解題思路 再運(yùn)用綜合法證明 或兩種方法交叉使用 2 反證法證明的關(guān)鍵 準(zhǔn)確反設(shè) 從否定的結(jié)論正確推理 得出矛盾 1 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋找使結(jié)論成立的 A 充分條件B 必要條件C 充要條件D 等價(jià)條件答案A 2 若a 0 b 0 且a b 4 則下列不等式中恒成立的是 答案D 3 用反證法證明某命題時(shí) 對結(jié)論 自然數(shù)a b c中恰有一個(gè)偶數(shù) 正確的反設(shè)為 A a b c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B a b c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C a b c都是奇數(shù)D a b c都是偶數(shù)答案B 答案略證明 a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2ac 又 a b c為互不相等的非負(fù)數(shù) 上面三個(gè)式子中都不能取 a2 b2 c2 ab bc ac 用換元法與放縮法證明不等式一 換元法證不等式例1已知a b R a2 b2 4 求證 3a2 8ab 3b2 20 思路 本題主要考查證明不等式的常用方法 根據(jù)條件a2 b2 4的特征 可運(yùn)用換元法進(jìn)行證明 解析 a b R a2 b2 4 可設(shè)a rcos b rsin R 其中0 r 2 3a2 8ab 3b2 r2 3cos2 4sin2 5r2 cos 2 5r2 20 原不等式成立 講評 容易出現(xiàn)令a 2cos b 2sin 0 2 這樣錯(cuò)誤的換元法 造成失誤 探究1有些不等式直接證明較為困難 但通過換元的思想方法可使問題便于研究 常見的換元是三角換元 用三角代換把問題轉(zhuǎn)化為三角問題 利用三角函數(shù)的性質(zhì)就可解決 根據(jù)實(shí)際情況 實(shí)施的代換方法有 1 設(shè)x y 1 x y 0 則x2 y2 xy的最小值為 思考題1 答案 B 答案 B