（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 理 新人教A版.docx

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第6講　函數(shù)的奇偶性與周期性 1.函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 定義 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x 都有　　　　　　,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 都有　　　　　　,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 圖像特征 關(guān)于　　　　對稱 關(guān)于　　　　對稱 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù) 對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有　　　　　　　,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個　　　　,那么這個　　　　就叫作f(x)的最小正周期. 常用結(jié)論 1.奇(偶)函數(shù)定義的等價形式: (1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù); (2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù). 2.設(shè)f(x)的最小正周期為T,對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|; (2)若f(x+a)=1f(x),則T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b),則T=|a-b|. 3.對稱性與周期性之間的常用結(jié)論: (1)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=4|b-a|. 4.關(guān)于函數(shù)圖像的對稱中心或?qū)ΨQ軸的常用結(jié)論: (1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱; (2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b2對稱; (3)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=-f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于點a+b2,0對稱; (4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)+f(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點a+b2,c2對稱. 題組一　常識題 1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=1x+|x|中,偶函數(shù)的個數(shù)是　　　　. 2.[教材改編] 若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù),則它在[-b,-a]上是　　　　函數(shù);若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則它在[-b,-a]上是　　　　函數(shù). 3.[教材改編] 已知f(x)為奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x-1,則f(-2)=　　　　. 4.[教材改編] 已知函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=log4(x2+4),則f(2019)=　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:判定奇偶性時,不化簡解析式導(dǎo)致出錯;奇偶性不能有效變化;找不到周期函數(shù)的周期從而求不出結(jié)果;利用奇偶性求解析式時忽略定義域. 5.函數(shù)f(x)=lg(1-x2)|x+3|-3是　　　　函數(shù).(填“奇”“偶”“非奇非偶”) 6.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線　　　　對稱;若函數(shù)y=g(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點　　　　成中心對稱. 7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-fx+32,且f(2)=2,則f(2018)=　　　　. 8.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x-3,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=　　　　　　　　　　　. 探究點一　函數(shù)奇偶性及其延伸 微點1　函數(shù)奇偶性的判斷 例1 (1)[2018杭州模擬] 設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-1+b(a>0且a≠1),則函數(shù)f(x)的奇偶性 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.與a無關(guān),且與b無關(guān) B.與a有關(guān),且與b有關(guān) C.與a有關(guān),但與b無關(guān) D.與a無關(guān),但與b有關(guān) (2)下列函數(shù)中奇函數(shù)、偶函數(shù)的個數(shù)分別是 (　　) ①f(x)=1-x1+x;②f(x)=log3(x2+1+x); ③f(x)=x2-1,x<0,-x2+1,x>0;④f(x)=x2+cos x. A.1,1 B.2,2 C.3,1 D.2,1 [總結(jié)反思] 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件: (1)定義域關(guān)于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域. (2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立. 微點2　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 例2 (1)[2018北京東城區(qū)模擬] 若函數(shù)f(x)=3e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|在區(qū)間[-3,5]上的最大值、最小值分別為p,q,則p+q的值為 (　　) A.2 B.1 C.6 D.3 (2)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=2x+m,則f(-3)=　　　　. [總結(jié)反思] 利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題: (1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解. (2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出. (3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得方程(組),進而得出參數(shù)的值. (4)畫函數(shù)圖像:利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖像. (5)求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值. 微點3　奇偶性延伸到其他對稱性問題(從平移角度說說其他對稱性問題) 例3 (1)[2018廣東七校聯(lián)考] 已知定義域為R的函數(shù)f(x)在[2,+∞)上為增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則下列結(jié)論不成立的是 (　　) A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2) C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3) (2)設(shè)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),f(3)=0,且g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),則不等式g(2-2x)<0的解集為　　　　. [總結(jié)反思] 由奇偶性延伸所得對稱性問題的常見形式有: (1)若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x+a)的圖像關(guān)于點(-a,0)對稱(關(guān)于直線x=-a對稱); (2)若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱(關(guān)于直線x=a對稱). 應(yīng)用演練 1.【微點1】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 (　　) A.f(x)=x2sin x B.f(x)=2-x C.f(x)=sinxx D.f(x)=|log0.5x| 2.【微點1】已知a>0且a≠1,對任意的實數(shù)λ,函數(shù)f(x)=ax+λa-x不可能 (　　) A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 3.【微點3】[2018呂梁模擬] 函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱,若f(-2)=1,則滿足f(x-2)≤1的x的取值范圍是 (　　) A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[0,4] 4.【微點2】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=x2-6,則當x>0時,f(x)=　　　　　　. 5.【微點2】若函數(shù)f(x)=kx+log3(1+9x)為偶函數(shù),則k=　　　　. 探究點二　函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 例4 (1)已知函數(shù)f(x)對任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),當x∈(0,π)時,f(x)=2sinx2,則f19π3=(　　) A.12 B.32 C.1 D.3 (2)[2018山西45校聯(lián)考] 函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),若在區(qū)間[-1,1]上f(x)=ax+2,-1≤x≤0,(a-2x)ex,0f(x2)的形式,再結(jié)合單調(diào)性脫去法則“f”變成常規(guī)不等式,如x1x2)求解. 微點2　奇偶性與周期性的結(jié)合 例6 (1)[2018全國卷Ⅱ] 已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 (2)[2018南昌二模] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意實數(shù)x,都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且x∈[-3,0]時,f(x)=log12(6+x),則f(2018)的值為 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 [總結(jié)反思] 周期性與奇偶性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值. 微點3　奇偶性、周期性與單調(diào)性的結(jié)合 例7 (1)[2018泉州5月質(zhì)檢] 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=-f(x),且在[0,2]上單調(diào)遞減,則 (　　) A.f(8)0 B.減函數(shù),且f(x)<0 C.增函數(shù),且f(x)<0 D.減函數(shù),且f(x)>0 [總結(jié)反思] 解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. 應(yīng)用演練 1.【微點1】[2018衡水中學(xué)月考] 下列函數(shù)中,與函數(shù)y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上的單調(diào)性也相同的是 (　　) A.y=1-x2 B.y=log2|x| C.y=-1x D.y=x3-1 2.【微點2】已知f(x)為定義在R上且周期為2的奇函數(shù),當-1≤x<0時,f(x)=x(ax+1),若f52=-1,則a=(　　) A.6 B.4 C.-1425 D.-6 3.【微點1】[2019長春實驗中學(xué)檢測] 已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(1)=2,則不等式f(log2x)>2的解集為 (　　) A.(2,+∞) B.0,12∪(2,+∞) C.0,22∪(2,+∞) D.(2,+∞) 4.【微點3】[2018天津9校聯(lián)考] 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=2x-1.設(shè)a=ln1π,b=e-ln 25,c=13-0.1,則 (　　) A.f(a)0,|x+3|-3≠0,得-10)平移|a|個單位長度,得到函數(shù)y=f(x)的圖像,則y=f(x+a)圖像的對稱軸平移至直線x=a處,即函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.同理,函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(b,0)成中心對稱. 7.2　[解析] ∵f(x)=-fx+32,∴f(x+3)=fx+32+32=-fx+32=f(x),∴f(2018)=f(3672+2)=f(2)=2. 8.x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0　[解析] 設(shè)x<0,則-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x<0).由奇函數(shù)的定義可知f(0)=0, 所以f(x)=x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0. 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)考慮f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立時,a,b的取值情況;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷. (1)D　(2)D　[解析] (1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}.由f(x)=2ax-1+b=bax+2-bax-1, 得f(-x)=2a-x-1+b=(b-2)ax-bax-1.若f(x)=f(-x)成立,則b=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,則b-2=-b,解得b=1,此時函數(shù)為奇函數(shù);若b≠1,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).所以函數(shù)f(x)的奇偶性與b有關(guān),與a無關(guān). (2)對于①,定義域為(-1,1],所以函數(shù)不具有奇偶性;對于②,定義域為R,且f(-x)=log3(x2+1-x)=log31x2+1+x=-log3(x2+1+x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對于③,當x>0時,-x<0,則f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理當x<0時,-x>0,則f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對于④,定義域為R,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=f(x),函數(shù)為偶函數(shù).所以選D. 例2　[思路點撥] (1)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu),可整理成一個奇函數(shù)及一個常數(shù)的和的形式,根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值的和為0求解;(2)奇函數(shù)的定義域中若有0,則f(0)=0,求出m,再根據(jù)奇函數(shù)的定義求值. (1)C　(2)-7　[解析] (1)令x-1=t,則f(t)=3e|t|-sinte|t|=3-sinte|t|,t∈[-4,4], ∴y=f(t)-3是奇函數(shù), 則f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6, ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,5]上的最大值、最小值之和為6, 即p+q=6,故選C. (2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),則f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,當x≥0時,f(x)=2x-1, 所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7. 例3　[思路點撥] (1)由函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù)可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,再結(jié)合單調(diào)性比較大小;(2)根據(jù)函數(shù)圖像的平移關(guān)系得到函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得到結(jié)論. (1)D　(2)(0,2)　[解析] (1)函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),將函數(shù)y=f(x+2)的圖像向右平移2個單位長度得到函數(shù)y=f(x)的圖像,所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,則函數(shù)f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)>f(1),f(0)>f(2),f(1)>f(2)都成立,f(1)>f(3)不成立.故選D. (2)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù), 將f(x)的圖像向左平移1個單位長度得到f(x+1)的圖像,則f(x+1)在[0,+∞)上為增函數(shù), 即g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù), 且g(2)=f(2+1)=f(3)=0. 不等式g(2-2x)<0等價為g(2-2x)0時,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-6,∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴-f(x)=f(-x)=x2-6,故f(x)=-x2+6,x>0. 5.-1　[解析] 由偶函數(shù)的定義得到kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即2kx=log31+9-x1+9x=-2x,即(2k+2)x=0恒成立,所以k=-1. 例4　[思路點撥] (1)由題知函數(shù)f(x)的周期為2π,利用周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知定義區(qū)間求解;(2)由條件可得出函數(shù)的周期為2,利用f(-1)=f(1)求出a,再求f(2017)+f(2018)的值. (1)C　(2)C　[解析] (1)由f(x+2π)=f(x)可知函數(shù)f(x)的周期為2π,所以f19π3=f6π+π3=fπ3,又當x∈(0,π)時,f(x)=2sinx2,所以fπ3=2sinπ6=1,故選C. (2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期為2的函數(shù),故f(-1)=f(1),代入解析式,得-a+2=(a-2)e,解得a=2,從而f(x)=2x+2,-1≤x≤0,(2-2x)ex,0f(0)>f(1), 所以f(11)0, ∴當x∈(-1,0)時,f(x)<0, ∴f(x)在(2017,2018)上滿足f(x)<0, 故f(x)在(2017,2018)上是增函數(shù),且f(x)<0,故選C. 應(yīng)用演練 1.A　[解析] 函數(shù)y=-3|x|為偶函數(shù),且在(-∞,0)上為增函數(shù). 對于選項A,函數(shù)y=1-x2為偶函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),符合題意; 對于選項B,函數(shù)y=log2|x|是偶函數(shù),在(-∞,0)上為減函數(shù),不符合題意; 對于選項C,函數(shù)y=-1x為奇函數(shù),不符合題意; 對于選項D,函數(shù)y=x3-1為非奇非偶函數(shù),不符合題意. 故選A. 2.A　[解析] 因為f(x)是周期為2的奇函數(shù),所以f52=f12=-f-12=--12-12a+1=-1,解得a=6,故選A. 3.B　[解析] f(x)是R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是減函數(shù),所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以f(log2x)>2,即f(|log2x|)>f(1),即|log2x|>1,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或00,則f(a)=fln1π=-fln π<0, f(b)=fe-ln 25=f52=-f12<0, f(c)=f13-0.1=f(30.1)=-f(30.1-2)=f(2-30.1)>0, 又2>ln π>lne=12,且f(x)=2x-1在[0,2]上單調(diào)遞增, ∴f(ln π)>f12,∴f(a)b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c [解析] A　函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,將y=f(x+1)的圖像向右平移1個單位長度,得到y(tǒng)=f(x)的圖像,則f(x)的圖像關(guān)于直線x=0,即y軸對稱,則函數(shù)f(x)是偶函數(shù). 當x≤0時,f(x)=-x3+ln(1-x),為減函數(shù), ∴當x≥0時,f(x)為增函數(shù).易知log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52, ∵log32=1log23,log42=1log24,log52=1log25, 且01log24>1log25>0, 即log32>log42>log52>0, 則1+log32>1+log42>1+log52>1, 即log36>log48>log510>1, ∴f(log36)>f(log48)>f(log510), 即a>b>c. 例3　[配合例4使用] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=2-3,且對任意的x都有f(x+2)=1-f(x),則f(2018)= (　　) A.-2-3 B.-2+3 C.2-3 D.2+3 [解析] A　由f(x+2)=1-f(x),得f(x+4)=1-f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(2018)=f(2),又f(2+2)=1-f(2),所以f(2)=-1f(4)=-12-3=-2-3,即f(2018)=-2-3. 例4　[配合例7使用] [2018河南林州一中調(diào)研] 已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),滿足f(x+2)=f(x-2)+f(2),且當x∈[0,2]時,f(x)=2x-4.令函數(shù)g(x)=f(x)-m,若g(x)在區(qū)間[-10,2]上有6個零點,分別記為x1,x2,x3,x4,x5,x6,則x1+x2+x3+x4+x5+x6=　　　　. [答案] -24 [解析] 不妨設(shè)x1>x2>x3>x4>x5>x6.因為函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-2)=f(2).因為f(x+2)=f(x-2)+f(2),所以令x=0,可得f(2)=0,因此f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(4-x)=f(-x)=f(x),所以直線x=2是函數(shù)f(x)圖像的對稱軸,周期T=4,又函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱,因此直線x=4也是其圖像的對稱軸.因為當x∈[0,2]時,f(x)單調(diào)遞增,所以g(x)=f(x)-m在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,所以當x∈[0,2]時,只有一個零點x1,同理在區(qū)間[-2,0)上只有一個零點x2,則x1+x2=0.同理x3+x4=-8,x5+x6=-16,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=-24,故答案為-24.