《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習 第三章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用講義(含解析).docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習 第三章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用講義(含解析).docx(17頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
3.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用
最新考綱
考情考向分析
1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征.
2.能將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題,并給予解決.
考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解決問題的能力,常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題,題型以解答題為主,中高檔難度.
1.幾類函數(shù)模型
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)=ax+b (a,b為常數(shù),a≠0)
反比例函數(shù)模型
f(x)=+b (k,b為常數(shù)且k≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
指數(shù)函數(shù)模型
f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)
對數(shù)函數(shù)模型
f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)
冪函數(shù)模型
f(x)=axn+b (a,b為常數(shù),a≠0)
2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個x0,當x>x0時,有l(wèi)ogax
1)的增長速度會超過并遠遠大于y=xa(a>0)的增長速度.( √ )
(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=abx+c(a≠0,b>0,b≠1)增長速度越來越快的形象比喻.( )
題組二 教材改編
2.[P102例3]某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示,則下列說法中錯誤的是( )
A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1
B.結(jié)余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同
D.前6個月的平均收入為40萬元
答案 D
解析 由題圖可知,收入最高值為90萬元,收入最低值為30萬元,其比是3∶1,故A正確;由題圖可知,7月份的結(jié)余最高,為80-20=60(萬元),故B正確;由題圖可知,1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同,故C正確;由題圖可知,前6個月的平均收入為(40+60+30+30+50+60)=45(萬元),故D錯誤.
3.[P104例5]生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)=x2+2x+20(萬元).一萬件售價為20萬元,為獲取更大利潤,該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件.
答案 18
解析 利潤L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,
當x=18時,L(x)有最大值.
4.[P112A組T7]一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域是________________.
答案 [0,26]
解析 令h≥0,解得0≤t≤26,故所求定義域為[0,26].
題組三 易錯自糾
5.國家規(guī)定個人稿費納稅辦法:不超過800元的不納稅;超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅;超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅.已知某人出版一本書,共納稅420元,則這個人應(yīng)得稿費(扣稅前)為( )
A.2800元 B.3000元
C.3800元 D.3818元
答案 C
解析 由題意,知納稅額y(單位:元)與稿費(扣稅前)x(單位:元)之間的函數(shù)關(guān)系式為
y=
由于此人納稅420元,
所以8004000時,令0.112x=420,解得x=3750(舍去),
故這個人應(yīng)得稿費(扣稅前)為3800元.
6.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為____________.
答案?。?
解析 設(shè)年平均增長率為x,則(1+x)2=(1+p)(1+q),
∴x=-1.
7.已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y=alog3(x+1),設(shè)這種動物第2年有100只,到第8年它們發(fā)展到________只.
答案 200
解析 由題意知100=alog3(2+1),∴a=100,
∴y=100log3(x+1).當x=8時,y=100log39=200.
題型一 用函數(shù)圖象刻畫變化過程
1.高為H,滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出,若魚缸水深為h時水的體積為v,則函數(shù)v=f(h)的大致圖象是( )
答案 B
解析 v=f(h)是增函數(shù),且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小,故選B.
2.設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0),小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘,在乙地休息10分鐘后,他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘,則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為( )
答案 D
解析 y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移,故排除A,C.又因為小王在乙地休息10分鐘,故排除B,故選D.3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是( )
A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油量最多
C.甲車以80千米/時的速度行駛1小時,消耗10升汽油
D.某城市機動車最高限速80千米/時,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
答案 D
解析 根據(jù)圖象所給數(shù)據(jù),逐個驗證選項.
根據(jù)圖象知,當行駛速度大于40千米/時時,消耗1升汽油,乙車最多行駛里程大于5千米,故選項A錯;以相同速度行駛時,甲車燃油效率最高,因此以相同速度行駛相同路程時,甲車消耗汽油最少,故選項B錯;甲車以80千米/時的速度行駛時燃油效率為10千米/升,行駛1小時,里程為80千米,消耗8升汽油,故選項C錯;最高限速80千米/時,丙車的燃油效率比乙車高,因此相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選項D對.
思維升華判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時,先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.
(2)驗證法:根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點,結(jié)合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案.
題型二 已知函數(shù)模型的實際問題
例1(1)加工爆米花時,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時間為________分鐘.
答案 3.75
解析 根據(jù)圖表,把(t,p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式,
聯(lián)立方程組得
消去c化簡得解得
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-+-2=-2+,所以當t==3.75時,p取得最大值,即最佳加工時間為3.75分鐘.
(2)某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品,若該商品零售價定為p元,銷售量為Q件,則銷售量Q(單位:件)與零售價p(單位:元)有如下關(guān)系:Q=8300-170p-p2,則最大毛利潤為(毛利潤=銷售收入-進貨支出)( )
A.30元 B.60元
C.28000元 D.23000元
答案 D
解析 設(shè)毛利潤為L(p)元,則由題意知
L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)
=(8300-170p-p2)(p-20)
=-p3-150p2+11700p-166000,
所以L′(p)=-3p2-300p+11700.
令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).
當p∈(0,30)時,L′(p)>0,當p∈(30,+∞)時,L′(p)<0,故L(p)在p=30時取得極大值,即最大值,且最大值為L(30)=23000.
思維升華求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點
(1)認清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù).
(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).
(3)利用該模型求解實際問題.
跟蹤訓(xùn)練1(1)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)給出,其中m>0,[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為______元.
答案 4.24
解析 ∵m=6.5,∴[m]=6,
則f(6.5)=1.06(0.56+1)=4.24.
(2)西北某羊皮手套公司準備投入適當?shù)膹V告費對其生產(chǎn)的產(chǎn)品進行促銷.在一年內(nèi),根據(jù)預(yù)算得羊皮手套的年利潤L萬元與廣告費x萬元之間的函數(shù)解析式為L=-(x>0),則當年廣告費投入________萬元時,該公司的年利潤最大.
答案 4
解析 ∵+≥2=4(x>0),
當且僅當x=4時,min=4,
∴當x=4時,Lmax=-4=(萬元).
題型三 構(gòu)建函數(shù)模型的實際問題
命題點1 構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型
例2(1)某航空公司規(guī)定,乘飛機所攜帶行李的質(zhì)量x(kg)與其運費y(元)之間的關(guān)系由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定,那么乘客可免費攜帶行李的質(zhì)量最大為______kg.
答案 19
解析 由圖象可求得一次函數(shù)的解析式為y=30x-570,令30x-570=0,解得x=19.
(2)在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù),現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A.y=2x-2 B.y=(x2-1)
C.y=log2x D.y=x
答案 B
解析 由題中表可知函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),且y的變化隨x的增大而增大的越來越快,分析選項可知B符合,故選B.
命題點2 構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型
例3一片森林原來面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.
(1)求每年砍伐面積的百分比;
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
解 (1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(00)型函數(shù)
例4(1)某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運,據(jù)市場分析,每輛客車營運的總利潤y(萬元)與營運年數(shù)x的關(guān)系如圖所示(拋物線的一段),則為使其營運年平均利潤最大,每輛客車營運年數(shù)為________.
答案 5
解析 根據(jù)圖象求得y=-(x-6)2+11,
∴年平均利潤=12-,
∵x+≥10,當且僅當x=5時等號成立.
∴要使平均利潤最大,客車營運年數(shù)為5.
(2)某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊夾角為60(如圖),考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設(shè)計其橫斷面要求面積為9平方米,且高度不低于米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小),則防洪堤的腰長x=________米.
答案 2
解析 由題意可得BC=-(2≤x<6),
∴y=+≥2=6.
當且僅當=(2≤x<6),即x=2時等號成立.
命題點4 構(gòu)造分段函數(shù)模型
例5已知某公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為R(x)萬美元,且R(x)=
(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當年產(chǎn)量為多少萬只時,該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大?并求出最大年利潤.
解 (1)當040時,
W=xR(x)-(16x+40)=--16x+7360.
所以W=
(2)①當040時,W=--16x+7360,
由于+16x≥2=1600,
當且僅當=16x,即x=50∈(40,+∞)時,取等號,
所以W取最大值5760.
綜合①②,當年產(chǎn)量x=32萬只時,W取最大值6104萬美元.
思維升華構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題,要正確理解題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,建立適當?shù)暮瘮?shù)模型,求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制.
跟蹤訓(xùn)練2(1)某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%,若初時含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少,至少應(yīng)過濾________次才能達到市場要求.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)
答案 8
解析 設(shè)至少過濾n次才能達到市場要求,
則2%n≤0.1%,即n≤,
所以nlg≤-1-lg2,所以n≥7.39,所以n=8.
(2)大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店,經(jīng)過預(yù)算,該門面需要裝修費為20000元,每天需要房租、水電等費用100元,受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響,專賣店銷售總收益R(元)與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)=則當總利潤最大時,該門面經(jīng)營的天數(shù)是________.
答案 300
解析 由題意,總利潤
y=
當0≤x≤400時,y=-(x-300)2+25000,
所以當x=300時,ymax=25000;
當x>400時,y=60000-100x<20000.
綜上,當門面經(jīng)營的天數(shù)為300時,總利潤最大為25000元.
用數(shù)學(xué)模型求解實際問題
數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程,主要包括從數(shù)量,圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念,并且用數(shù)學(xué)符號和術(shù)語予以表征.
例(1)調(diào)查表明,酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因,交通法規(guī)規(guī)定,駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量將上升到3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小時50%的速度減少,則至少經(jīng)過________小時他才可以駕駛機動車.(精確到小時)
答案 4
解析 設(shè)n小時后他才可以駕駛機動車,由題意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少經(jīng)過4小時他才可以駕駛機動車.
(2)已知某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房.當每套房月租金定為3000元時,這70套公寓房能全部租出去;當月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會多一套房子不能出租.設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費用),求公司獲得最大利潤時,每套房月租金應(yīng)定為多少元?
解 設(shè)利潤為y元,租金定為3000+50x(0≤x≤70,x∈N)元.則y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤502,當且僅當58+x=70-x,即x=6時,等號成立,故每月租金定為3000+300=3300(元)時,公司獲得最大利潤.
素養(yǎng)提升 例題中通過用字母表示變量,將酒后駕車時間抽象為不等式問題,將租房最大利潤抽象為函數(shù)的最值問題.
1.某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,后3年年產(chǎn)量保持不變,則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是( )
答案 A
解析 前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,說明呈高速增長,只有A,C圖象符合要求,而后3年年產(chǎn)量保持不變,故選A.
2.(2018溫州質(zhì)檢)某種型號的電腦自投放市場以來,經(jīng)過三次降價,單價由原來的5000元降到2560元,則平均每次降價的百分率是( )
A.10% B.15%
C.16% D.20%
答案 D
解析 設(shè)平均每次降價的百分率為x,則由題意得5000(1-x)3=2560,解得x=0.2,即平均每次降價的百分率為20%,故選D.
3.將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時,能賣出400個,已知這種商品每漲價1元,其銷售量就要減少20個,為了賺得最大利潤,每個售價應(yīng)定為( )
A.85元 B.90元
C.95元 D.100元
答案 C
解析 設(shè)每個售價定為x元,則利潤y=(x-80)[400-(x-90)20]=-20[(x-95)2-225],∴當x=95時,y最大.
4.國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下:年收入在280萬元及以下的稅率為p%,超過280萬元的部分按(p+2)%征稅,有一公司的實際繳稅比例為(p+0.25)%,則該公司的年收入是( )
A.560萬元 B.420萬元
C.350萬元 D.320萬元
答案 D
解析 設(shè)該公司的年收入為x萬元(x>280),則有
=(p+0.25)%,
解得x=320.故該公司的年收入為320萬元.
5.某大型民企為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( )
A.2017年 B.2018年
C.2019年 D.2020年
答案 D
解析 設(shè)從2016年起,過了n(n∈N*)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元,則130(1+12%)n≥200,則n≥≈=3.8,由題意取n=4,則n+2016=2020.故選D.
6.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水,作出了以下規(guī)定:每位職工每月用水不超過10m3的,按每立方米m元收費;用水超過10m3的,超過部分加倍收費.某職工某月繳水費16m元,則該職工這個月實際用水為( )
A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3
答案 A
解析 設(shè)該職工用水xm3時,繳納的水費為y元,由題意得y=
則10m+(x-10)2m=16m,解得x=13.
7.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:小時,y表示病毒個數(shù)),則k=________,經(jīng)過5小時,1個病毒能繁殖為________個.
答案 2ln2 1024
解析 當t=0.5時,y=2,∴2=,
∴k=2ln2,∴y=e2tln2,當t=5時,y=e10ln2=210=1024.
8.某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2018年春節(jié)前后,從12月21日至1月7日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖象,如圖所示,則此人在12月26日大約賣出了西紅柿__________千克.
答案
解析 前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)為y=kx+b(k≠0),將點(1,10)和點(10,30)代入函數(shù)解析式得解得k=,b=,所以y=x+,
則當x=6時,y=.
9.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為________m.
答案 20
解析 設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為ym,
則由相似三角形性質(zhì)可得=,
解得y=40-x,
所以面積S=x(40-x)=-x2+40x
=-(x-20)2+400(00,
則(150-x)+
≥2=210=20,
當且僅當150-x=,
即x=140時等號成立,此時,Pmax=-20+120=100.
所以每套叢書售價定為140元時,單套叢書的利潤最大,最大值為100元.
13.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及實數(shù)x(0
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浙江專用2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習
第三章
函數(shù)概念與基本初等函數(shù)3.9
函數(shù)模型及其應(yīng)用講義含解析
浙江
專用
2020
高考
數(shù)學(xué)
新增
一輪
復(fù)習
第三
函數(shù)
概念
基本
初等
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