(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 專題突破四 高考中的數(shù)列問題講義(含解析).docx
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高考專題突破四高考中的數(shù)列問題題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題例1(2018浙江杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a11, ,記Snaaa,若S2n1Sn對(duì)任意的nN*恒成立(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式;(2)求正整數(shù)t的最小值解(1)由題意得4,則是以1為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,則1(n1)44n3,則a.(2)不妨設(shè)bnS2n1Snaaa,考慮到bnbn1aaa(aaaa)aaa0,因此數(shù)列bn單調(diào)遞減,則bn的最大值為b1S3S1aa,t,則tmin10.思維升華等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo),為最終解決問題設(shè)置中間問題,例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的順序(2)注意細(xì)節(jié):在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等,這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的跟蹤訓(xùn)練1(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的公比是q(q1),且滿足:a12,b11,S23b2,a2b3.(1)求an與bn;(2)設(shè)cn2bn,若數(shù)列cn是遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意可得解得(舍去)或故an22(n1)2n,bn2n1.(2)由(1)可知cn2n3n,若cn是遞減數(shù)列,則cn1cn,即2n13n1n在nN*時(shí)成立,只需max.因?yàn)閥n在nN*時(shí)單調(diào)遞減,所以max.故,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2(2018臺(tái)州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列bn滿足5(4n5)n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,所以12(n1)2n1.所以Sn2n2n.當(dāng)n1時(shí),a1S11;當(dāng)n2時(shí),anSnSn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n3,當(dāng)n1時(shí),a11也符合上式所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n3(nN*)(2)當(dāng)n1時(shí),所以b12a12;當(dāng)n2時(shí),由5(4n5)n,所以5(4n1)n1.兩式相減,得(4n3)n.因?yàn)閍n4n3,所以bn2n(當(dāng)n1時(shí),也符合此式)又2,則數(shù)列bn是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列所以Tn2n12.思維升華(1)可以利用數(shù)列的遞推關(guān)系探求數(shù)列的通項(xiàng),利用遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列或證明數(shù)列的有關(guān)結(jié)論(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法,常用的求和方法有錯(cuò)位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法等跟蹤訓(xùn)練2(2018浙江教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an中,a13,a25,其前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn22Sn12n1(n3)令bn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若f(x)2x1,求證:Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n)(n1)(1)解由題意知SnSn1Sn1Sn22n1(n3),即anan12n1(n3),所以an(anan1)(an1an2)(a3a2)a22n12n22252n12n2222122n1(n3),檢驗(yàn)知n1,2時(shí),結(jié)論也成立,故an2n1.(2)證明由于bnf(n)2n1.故Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n).所以Tn.題型三數(shù)列與不等式的交匯例3已知數(shù)列an滿足a11,an1,nN*,記Sn,Tn分別是數(shù)列an,a的前n項(xiàng)和,證明:當(dāng)nN*時(shí),(1)an1an;(2)Tn2n1;(3)1Sn0,故an1anan0,an1an,nN*.(2)由an,得a2,從而aa22aaa2n,又a11,1aaa2n,Tn2n1,nN*.(3)由(2)知,an1,由Tna1,得an1,當(dāng)n2時(shí),an(),Sna1(1)()()1(1),n2,又a11,Sn1,綜上,1Snan;(2)0,得0an1.(1)a1,a1,兩式相減得0aa0,故an1an0,即an1an.(2)因?yàn)閍n1,所以an,由0an1,得1,從而當(dāng)i2時(shí),11.所以0;當(dāng)n6時(shí),cn0,設(shè)cn的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn10nn2,當(dāng)n5時(shí),SnTn10nn2;當(dāng)n6時(shí),Sn2T5Tnn210n50.綜上,Sn2(2018紹興市嵊州市適應(yīng)性考試)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a12,且4Snanan1,數(shù)列bn中,b1,且bn1,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)(nN*),求cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n1時(shí),可得a24,當(dāng)n2時(shí),4Snanan1,4Sn1anan1,兩式相減,得4anan(an1an1),an0,an1an14,an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以4為公差的等差數(shù)列,當(dāng)n2k1,kN*時(shí),an2n;當(dāng)n2k,kN*時(shí),an2n.an2n(nN*)(2),當(dāng)n2時(shí),將上式累加得,bn(n2),n1時(shí)也適合,bn(nN*),cn,Tn,Tn,再由錯(cuò)位相減得Tn2.3(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且是一個(gè)首項(xiàng)與公差均為1的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意的kN*,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(2k,22k)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bk,求數(shù)列bk的通項(xiàng)公式;記ck,數(shù)列ck的前k項(xiàng)和為Tk,求使等式成立的所有正整數(shù)k,m的值解(1)由題意得1(n1)1n,Snn2,則anSnSn1n2(n1)22n1(n2),當(dāng)n1時(shí),a11,適合上式,因此an2n1(nN*)(2)2kan22k,2k2n122k,則2k12n22k1,即2k1n22k1,2k11n22k1,則bk22k1(2k11)122k12k1,kN*.由題意得ck,Tk44,則Tk14,1,1,由,得,則42m(4m)2k14,即有082m(4m)2k1,因此m0.因此f(n)單調(diào)遞增,則f(n)的最小值為f(2).(3)方法一由(1)知,bn,當(dāng)n2時(shí),因?yàn)镾11,S21,S31,Sn11,所以S1S2Sn1n1(n2)(n3)n(n1)n1n1n1n1n(n1)n1nn而(Sn1)g(n)g(n),因此g(n)n.故存在關(guān)于n的整式g(n)n,使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立方法二由bn,可得Sn1,SnSn1(n2),即n(SnSn1)1(n2),故nSn(n1)Sn1Sn11,(n1)Sn1(n2)Sn2Sn21,2S2S1S11,以上式子相加得nSnS1S1S2Sn1(n1),則有S1S2Sn1nSnnn(Sn1)(n2),因此g(n)n,故存在關(guān)于n的整式g(n)n,使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立5(2019諸暨質(zhì)檢)已知數(shù)列an的各項(xiàng)都大于1,且a12,aan1a10(nN*)(1)求證:anan1n2;(2)求證:0,得an1an,an1an1,an1(an1an)(a2a1)a1,an(anan1)(a2a1)a12(n2),又a12,an.原不等式得證(2)aaan111,aa,即a,2a3,4411.原不等式得證6(2018浙江名校協(xié)作體考試)已知無窮數(shù)列an的首項(xiàng)a1,nN*.(1)證明:0an1;(2)記bn,Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,證明:對(duì)任意正整數(shù)n,Tn.證明(1)當(dāng)n1時(shí),0a11,顯然成立;假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)不等式成立,即0ak1,那么當(dāng)nk1時(shí),21,0ak11.即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立綜合可知,0an1對(duì)任意nN*成立(2)0an1,1,即an1an,數(shù)列an為遞增數(shù)列又,易知為遞減數(shù)列,為遞減數(shù)列,又,當(dāng)n2時(shí),當(dāng)n2時(shí),bn(an1an)(an1an)當(dāng)n1時(shí),TnT1b1,成立;當(dāng)n2時(shí),Tnb1b2bn(a3a2)(a4a3)(an1an)(an1a2)(1a2).綜上,對(duì)任意正整數(shù)n,Tn.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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