高數(shù)上冊第一章第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質.ppt

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1 第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 一 有界性與最大值和最小值定理 二 零點定理與介值定理 三 小結思考題 2 一 有界性與最大值和最小值定理 定義 例如 注意 最值可以取在閉區(qū)間的端點處 3 定理1 有界性與最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界且必取得它的最大值和最小值 4 注意 1 若區(qū)間是開區(qū)間 定理不一定成立 如圖a 3 由此可知定理的條件是充分條件 不必要 圖a 圖b 2 若區(qū)間內有間斷點 定理不一定成立 如圖b 5 二 零點定理與介值定理 定義 定理2 零點定理 1 零點定理 作用 常用于判斷方程有根 根的存在性 即方程f x 0在 a b 內至少存在一個實根 6 幾何解釋 2 介值定理 定理3 介值定理 7 幾何解釋 證 由零點定理 則 8 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 例1 證 由零點定理 分析 至少有一根 存在性 證 設m f x1 M f x2 而m M 在閉區(qū)間 x1 x2 或 x2 x1 上應用介值定理 即可得證 9 補例2 證 由零點定理 分析 本題關鍵是尋求符合零點定理的函數(shù)來證明 10 注 1 上面的稱為輔助函數(shù) 把結論中的改寫成 移項 使等式右邊為0 令左邊式子為 2 使用零點定理作輔助函數(shù)F x 的一般作法 則即為所求的輔助函數(shù) 3 一定注意本節(jié)中的所有定理的條件都是充分條件 11 三 小結 三個定理 有界性與最值定理 介值定理 根的存在性定理 注意 1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立 解題思路 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 2 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù)F x 再利用零點定理 12 思考題 下述命題是否正確 13 思考題解答 不正確 例如 函數(shù)