（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第五節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案（理）（含解析）

《（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第五節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案（理）（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第五節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案（理）（含解析）（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)1五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域Rx|x0x|x0值域y|y0y|y0y|y0奇偶性奇非奇非偶單調(diào)性(，0)減，(0，)增增(，0)和(0，)減公共點(1,1)2二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)ax2bxca0a0圖象定義域R值域單調(diào)性在上遞減，在上遞增在上遞增，在上遞減奇偶性b0時為偶函數(shù)，b0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點對稱軸：x；頂點：小題體驗1已知冪函

2、數(shù)yf(x)的圖象過點(9,3)，則函數(shù)的解析式為_答案：f(x)x (x0)2(2019天一中學(xué)高三測試)已知點P1(x1,2 019)和P2(x2,2 019)在二次函數(shù)f(x)ax2bx9的圖象上，則f(x1x2)的值為_答案：93已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1,2a，則yf(x)的值域為_答案：1對于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況2冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪

3、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點小題糾偏1已知函數(shù)f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是_答案：2給出下列命題：函數(shù)y2x是冪函數(shù)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點；當(dāng)n0時，冪函數(shù)yxn是定義域上的減函數(shù)；二次函數(shù)yax2bxc，xm，n的最值一定是.其中正確的是_(填序號)答案：題組練透1(2018蘇州高三期中調(diào)研)已知冪函數(shù)yx2mm2(mN*)在(0，)是增函數(shù)，則實數(shù)m的值是_解析：由題意知2mm20，解得0m2，因為mN*，所以m1.答案：12(2019常州一中檢測)已知函數(shù)f(x)(3m)x2m5是冪函數(shù)，則f_.解析：函數(shù)f(x)(3m)x2m

4、5是冪函數(shù)，則3m1，解得m2，f(x)x1，f2.答案：23若(a1)(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：易知函數(shù)yx的定義域為0，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a.答案：謹(jǐn)記通法冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)若冪函數(shù)yx(R)是偶函數(shù)，則必為偶數(shù)當(dāng)是分?jǐn)?shù)時，一般將其先化為根式，再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則0.典例引領(lǐng)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解：法一：(利用一般式)設(shè)f(x)ax

5、2bxc(a0)由題意得解得故所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.法二：(利用頂點式)設(shè)f(x)a(xm)2n.因為f(2)f(1)，所以拋物線對稱軸為x.所以m，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，所以n8，所以yf(x)a28.因為f(2)1，所以a281，解得a4，所以f(x)4284x24x7.法三：(利用零點式)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.由題悟法求二次函數(shù)解析式的方法即時應(yīng)用1已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標(biāo)是(2，

6、1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為f(x)_.解析：法一：設(shè)所求解析式為f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式為f(x)x2x.法二：設(shè)所求解析式為f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式為f(x)x2x.法三：設(shè)所求解析式為f(x)a(xh)2k(a0)由已知得f(x)a(x2)21，將點(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.答案：x2x2已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：因為f(2x)f(2x)對xR恒成立，所以f(x)

7、的對稱軸為x2.又因為f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，所以f(x)0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又因為f(x)的圖象過點(4,3)，所以3a3，a1.所以所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.鎖定考向高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯常見的命題角度有：(1)二次函數(shù)的單調(diào)性問題；(2)二次函數(shù)的最值問題；(3)二次函數(shù)中恒成立問題 題點全練角度一：二次函數(shù)的單調(diào)性問題1(2019江安中學(xué)測試)已知函數(shù)f(x)x2(a1)x5在區(qū)間上為增函數(shù)，則f(2)的取值范圍是_解析：函數(shù)f

8、(x)的圖象(拋物線)開口向上，對稱軸為x，若函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，解得a2，所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.答案：7，)角度二：二次函數(shù)的最值問題2(1)(2019蘇州測試)已知函數(shù)f(x)x2abxa2b，若f(0)4，則f(1)的最大值為_(2)已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時，有最大值2，則a的值為_解析：(1)因為f(0)4，所以a2b4，即a42b，所以f(1)aba2b1ab5(42b)b52b24b52(b1)27，所以當(dāng)b1時，f(1)的最大值為7.(2)函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，x0,1，對稱軸方程為xa.當(dāng)a0時，f(

9、x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.當(dāng)0a1時，f(x)maxf(a)a2a1，所以a2a12，即a2a10，解得a(舍去)當(dāng)a1時，f(x)maxf(1)a，所以a2.綜上可知，a1或a2.答案：(1)7(2)1或2角度三：二次函數(shù)中恒成立問題3已知函數(shù)f(x)x22x1，f(x)xk在區(qū)間3，1上恒成立，則k的取值范圍為_解析：由題意得x2x1k在區(qū)間3，1上恒成立設(shè)g(x)x2x1，x3，1，g(x)在3，1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范圍為(，1)答案：(，1)通法在握1二次函數(shù)最值問題的3種類型及解題思路(1)類型：對稱軸、區(qū)間都是給定的；對稱軸動

10、、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動(2)思路：抓“三點一軸”，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸2由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的2大思路及1個關(guān)鍵(1)思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2)關(guān)鍵：兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.演練沖關(guān)已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)解：(1)當(dāng)a1時，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，所以當(dāng)x1時，

11、f(x)取得最小值1；當(dāng)x5時，f(x)取得最大值37.(2)函數(shù)f(x)(xa)22a2的圖象的對稱軸為直線xa，因為yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)，所以a5或a5，即a5或a5.故a的取值范圍是(，55，)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018清河中學(xué)檢測)已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點，則k_.解析：由冪函數(shù)的定義知k1.又f，所以，解得，從而k.答案：2(2019連云港調(diào)研)若函數(shù)f(x)x22(a1)x2在(，4)上為增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：f(x)x22(a1)x2的對稱軸為xa1，f(x)x22(a1)x2在(，4)上為增函數(shù)，對稱軸xa14，a5.答案：5，)

12、3(2018淮陰模擬)已知函數(shù)f(x)x2m是定義在區(qū)間3m，m2m上的奇函數(shù)，則f(m)，f(0)的大小關(guān)系為_解析：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以3mm2m0，解得m3或1.當(dāng)m3時，函數(shù)f(x)x1，定義域不是6,6，不合題意；當(dāng)m1時，函數(shù)f(x)x3在定義域2,2上單調(diào)遞增，又m0，所以f(m)f(0)答案：f(m)f(0)4已知函數(shù)f(x)x2xm，若|f(x)|在區(qū)間0,1上單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：因為f(x)x2xm，且|f(x)|在區(qū)間0,1上單調(diào)，所以f(x)在0,1上滿足f(0)f(1)0，即m(11m)0，解得m0或m2.答案：(，20，)5若二次函數(shù)f(x)

13、x24xt圖象的頂點在x軸上，則t_.解析：由于f(x)x24xt(x2)2t4圖象的頂點在x軸上，所以f(2)t40，所以t4.答案：46(2019杭州測試)若函數(shù)f(x)x22x1在區(qū)間a，a2上的最小值為4，則實數(shù)a的取值集合為_解析：因為函數(shù)f(x)x22x1(x1)2的圖象的對稱軸為直線x1，f(x)在區(qū)間a，a2上的最小值為4，所以當(dāng)a1時，f(x)minf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3；當(dāng)a21，即a1時，f(x)minf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3；當(dāng)a1a2，即1a1時，f(x)minf(1)04.故a的取值集合為3,3答案：3,3二保高考，全練題型做到高

14、考達標(biāo)1(2019海安中學(xué)檢測)已知冪函數(shù)f(x)x，其中.則使f(x)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，)上是單調(diào)增函數(shù)的的取值集合為_解析：若冪函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則1,1,3，又f(x)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以的取值集合為1,3答案：1,32(2019武漢調(diào)研)已知冪函數(shù)f(x)xm24m (mZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)，則m的值為_解析：冪函數(shù)f(x)xm24m (mZ)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)，m24m0，解得0m4.又mZ，m1或m2或m3.當(dāng)m1時，f(x)x3，圖象不關(guān)于y軸對稱；當(dāng)m2時，f(x)x4，圖象關(guān)于y軸對稱；當(dāng)m3時，f(x)x3，圖象不

15、關(guān)于y軸對稱綜上，m的值為2.答案：23若關(guān)于x的不等式x24x2a0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x24x2a0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.答案：(，2)4(2018泰州中學(xué)調(diào)研)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x22x1，不等式f(x23)f(2x)的解集為_解析：根據(jù)題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則有f(0)0，當(dāng)x0時，f(x)x22x1(x1)2為減函數(shù)，則當(dāng)x0時，f(x)也為減函數(shù)，綜上可得f(x)在R上為減函數(shù)，若f(x23)f(2

16、x)，則有x232x，解得1x3，即不等式f(x23)f(2x)的解集為(1,3)答案：(1,3)5若函數(shù)f(x)x223 (常數(shù)Z)為偶函數(shù)，且在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的值為_解析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，要使函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則223為偶數(shù)，且2230，解不等式可得13.因為Z，所以0,1,2.當(dāng)0時，2233，不滿足條件；當(dāng)1時，2234，滿足條件；當(dāng)2時，2233，不滿足條件，所以1.答案：16若函數(shù)yx23x4的定義域為0，m，值域為，則m的取值范圍是_解析：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x，且f，f(3)f(0)4，由圖得m.答案：7對于任意實數(shù)x，函數(shù)f

17、(x)(5a)x26xa5恒為正值，則a的取值范圍是_解析：由題意可得解得4a4.答案：(4,4)8(2019南通一調(diào))若函數(shù)f(x)ax220x14(a0)對任意實數(shù)t，在閉區(qū)間t1，t1上總存在兩實數(shù)x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，則實數(shù)a的最小值為_解析：由題意可得，當(dāng)xt1，t1時，f(x)maxf(x)minmin8，當(dāng)t1，t1關(guān)于對稱軸對稱時，f(x)maxf(x)min取得最小值，即f(t1)f(t)2ata208，f(t1)f(t)2ata208，兩式相加，得a8，所以實數(shù)a的最小值為8.答案：89已知冪函數(shù)f(x)x(mN*)(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指

18、明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性(2)若該函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2a)f(a1)的實數(shù)a的取值范圍解：(1)因為m2mm(m1)(mN*)，而m與m1中必有一個為偶數(shù)，所以m2m為偶數(shù)，所以函數(shù)f(x)x(mN*)的定義域為0，)，并且該函數(shù)在0，)上為增函數(shù)(2)因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，)，所以2，即22，所以m2m2，解得m1或m2.又因為mN*，所以m1，f(x)x.又因為f(2a)f(a1)，所以解得1a，故函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，)時，m1.滿足條件f(2a)f(a1)的實數(shù)a的取值范圍為.10(2019啟東檢測)已知aR，函數(shù)f

19、(x)x22ax5.(1)若a1，且函數(shù)f(x)的定義域和值域均為1，a，求實數(shù)a的值；(2)若不等式x|f(x)x2|1對x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)因為f(x)x22ax5的圖象的對稱軸為xa(a1)，所以f(x)在1，a上為減函數(shù)，所以f(x)的值域為f(a)，f(1)又已知值域為1，a，所以解得a2.(2)由x|f(x)x2|1，得a.(*)令t，t2,3，則(*)可化為t2tat2t.記g(t)t2t2，則g(t)maxg，所以a；記h(t)t2t2，則h(t)minh(2)7，所以a7，綜上所述，a7.所以實數(shù)a的取值范圍是.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1(2019金陵

20、中學(xué)期中)設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a，b上的兩個函數(shù)，若函數(shù)yf(x)g(x)在a，b上有兩個不同的零點，則稱f(x)與g(x)在a，b上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間a，b稱為f(x)與g(x)的“關(guān)聯(lián)區(qū)間”若f(x)x3x2x與g(x)2xb的“關(guān)聯(lián)區(qū)間”是3,0，則b的取值范圍是_解析：由題意設(shè)m(x)f(x)g(x)x3x23xb，則m(x)x22x3，由m(x)0，得m1或m3.f(x)與g(x)在3,0上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，x1是函數(shù)m(x)在3,0上的極大值，同時也是最大值要使m(x)f(x)g(x)在3,0上有兩個不同的零點，則即解得0b，故b的取值范圍是.答案：2(2019泰州

21、中學(xué)檢測)已知函數(shù)f(x)x2(x1)|xa|.(1)若a1，求滿足f(x)1的x的取值集合；(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若a1且不等式f(x)2x3對一切實數(shù)xR恒成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，有f(x)當(dāng)x1時，令2x211，解得x1或x1；當(dāng)x1時，f(x)1恒成立，x的取值集合為x|x1或x1(2)f(x)若f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(x)是連續(xù)的，則有解得a，即實數(shù)a的取值范圍是.(3)設(shè)g(x)f(x)(2x3)，則g(x)若不等式g(x)0對一切實數(shù)xR恒成立，則當(dāng)xa時，a1，g(x)單調(diào)遞減，其值域為(a22a3，)a22a3(a1)222，g(x)0恒成立當(dāng)xa時，a1，a，g(x)minga30，得3a5.a1，3a1，綜上，a的取值范圍是3,1)13