《（江蘇專版）2020版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用學案（理）（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專版）2020版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用學案（理）（含解析）（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用1幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)2解函數(shù)應用問題的4步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇函數(shù)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的函數(shù)模型；(3)解模：求
2、解函數(shù)模型，得出數(shù)學結論；(4)還原：將數(shù)學結論還原為實際意義的問題以上過程用框圖表示如下：小題體驗1(2019徐州診斷)某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費；用水超過10立方米的，超過的部分按每立方米5元收費某職工某月的水費為55元，則該職工這個月實際用水為_立方米解析：設該職工某月的實際用水為x立方米時，水費為y元，由題意得y即y易知該職工這個月的實際用水量超過10立方米，所以5x2055，解得x15.答案：152用18 m的材料圍成一塊矩形場地，中間有兩道隔墻若使矩形面積最大，則能圍成的最大面積是_m2.解析：設隔墻長為x m，則
3、面積Sx2x29x22.所以當x時，能圍成的面積最大，為 m2.答案：1函數(shù)模型應用不當，是常見的解題錯誤所以要正確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù) 模型2要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域3注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學結果對實際問題的合理性小題糾偏1據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0.2元若普通車存車量為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數(shù)關系式是_答案：y0.1x1 200(0x4 000)2某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn)已知該生
4、產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量為f(n)n(n1)(2n1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害為保護環(huán)境，環(huán)保部門應給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是_年解析：各年產(chǎn)量為anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2(nN*)，令3n2150，得1n5.又nN*，所以1n7，故生產(chǎn)期限最長為7年答案：7典例引領某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示拋物線的一段已知跳水板AB長為2 m，跳水板距水面CD的高BC為3 m為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓練時跳水曲線應在離起跳點A處水平距h m(h1)時達到距水面最大高度4 m，規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直
5、角坐標系(1)當h1時，求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到比較好的訓練效果，求此時h的取值范圍解：由題意，最高點為(2h,4)，h1.設拋物線方程為yax(2h)24.(1)當h1時，最高點為(3,4)，方程為ya(x3)24.(*)將點A(2,3)代入(*)式得a1.即所求拋物線的方程為yx26x5.(2)將點A(2,3)代入yax(2h)24，得ah21.由題意，方程ax(2h)240在區(qū)間5,6內(nèi)有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，則解得1h.故達到比較好的訓練效果時的h的取值范圍是.由題悟法二次函數(shù)模型問題的3個注意點(1)構建函數(shù)模型
6、時不要忘記考慮函數(shù)的定義域；(2)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；(3)解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題即時應用(2019啟東中學高三檢測)某企業(yè)實行裁員增效，已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)利潤1萬元，據(jù)評估，在生產(chǎn)條件不變的情況下，每裁員1人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)收0.01萬元，但每年需付給每個下崗工人0.4萬元生活費，并且企業(yè)正常運行所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的，設該企業(yè)裁員x人后純收益為y萬元(1)寫出y關于x的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍；(2)當140a280時，問該企業(yè)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟效益？(在保
7、證能獲得較大經(jīng)濟效益的情況下，應盡量少裁員)解：(1) 由題意，y(ax)(10.01x)0.4xx2xa，因為ax，所以x.故x的取值范圍為0x且xN*.(2)由(1)知y22a，當140a280時，070，當a為偶數(shù)時，x70，y取最大值；當a為奇數(shù)時，x70或x70，y取最大值，因盡可能少裁員，所以x70，所以當a為偶數(shù)時，應裁員 人；當a為奇數(shù)時，應裁員人典例引領為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系C(x)
8、(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值解：(1)由已知條件得C(0)8，則k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(萬元)，當且僅當6x10，即x5時等號成立所以當隔熱層厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元由題悟法應用函數(shù)yx模型的關鍵點(1)明確對勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)ax與反比例函數(shù)f(x)疊加而成的(2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)ax的模型，
9、有時可以將所列函數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件即時應用某隧道長2 150 m，通過隧道的車速不能超過20 m/s.一列有55輛車身長都為10 m的同一車型的車隊(這種型號的車能行駛的最高速為40 m/s)，勻速通過該隧道，設車隊的速度為x m/s，根據(jù)安全和車流的需要，當0x10時，相鄰兩車之間保持20 m的距離；當10x20時，相鄰兩車之間保持m的距離自第1輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用的時間為y(s)(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)求車隊通過隧道的時間y的最小值及此時車隊的速度(1.73
10、)解：(1)當0x10時，y，當10x20時，y9x18，所以y(2)當x(0,10時，在x10時，ymin378(s)當x(10,20時，y9x18182 18180329.4(s)，當且僅當9x，即x17.3(m/s)時取等號因為17.3(10,20，所以當x17.3(m/s)時，ymin329.4(s)，因為378329.4，所以當車隊的速度為17.3 m/s時，車隊通過隧道的時間y有最小值329.4 s.典例引領已知某物體的溫度(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是：m2t 21t(t0，并且m0)(1)如果m2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不
11、低于2攝氏度，求m的取值范圍解：(1)若m2，則22t21t2，當5時，2t，令2tx(x1)，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，則0x1，所以m2x22x，因為2x22x22，所以m，因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是.由題悟法指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應用技巧(1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關的問題都
12、屬于指數(shù)函數(shù)模型(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題即時應用候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關系為：vablog3(其中a，b是實數(shù))據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要多少個單位？解：(1)由題意可知，當這種鳥類靜止時，它的速度為0 m/s，此時耗氧量為30個單位，故有ablo
13、g30，即ab0.當耗氧量為90個單位時，速度為1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程組得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飛行速度不低于2 m/s，則有v2，所以1log32，即log33，解得27，即Q270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要270個單位一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1某種商品進價為4元/件，當日均零售價為6元/件，日均銷售100件，當單價每增加1元，日均銷量減少10件，試計算該商品在銷售過程中，若每天固定成本為20元，則預計單價為_元/件時，利潤最大解析：設單價為6x，日均銷售量為10010x，則日利潤
14、y(6x4)(10010x)2010x280x18010(x4)2340(0x10)所以當x4時，ymax340.即單價為10元/件，利潤最大答案：102(2018鹽城中學檢測)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系Ra(a為常數(shù))，廣告效應為DRA.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入廣告費應為_(用常數(shù)a表示)解析：DRAaA，令t(t0)，則At2，所以Datt22a2.所以當ta，即Aa2時，D取得最大值答案：a23某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超
15、過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了_km.解析：設出租車行駛x km時，付費y元，則y由y22.6，解得x9.答案：94(2019鹽城調(diào)研)一批貨物隨17列貨車從A市以v km/h勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400 km，為了安全，兩列貨車間距離不得小于2 km，那么這批物資全部運到B市，最快需要_ h(不計貨車的身長)解析：設這批物資全部運到B市用的時間為y，因為不計貨車的身長，所以設列車為一個點，可知最前的點與最后的點之間距離最小值
16、為162時，時間最快則y2 8，當且僅當，即v100時等號成立，ymin8.答案：85(2019南通模擬)用長度為24的材料圍成一個矩形場地，中間有兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_解析：設矩形場地的寬(即隔墻的長度)為x，則長為，其面積Sx12x2x22(x3)218，當x3時，S有最大值18，所以隔墻的長度為3.答案：36有一位商人，從北京向上海的家中打電話，通話m分鐘的電話費由函數(shù)f(m)1.06(0.5m1)(元)決定，其中m0，m是大于或等于m的最小整數(shù)則從北京到上海通話時間為5.5分鐘的電話費為_元解析：因為m5.5，所以5.56.代入函數(shù)解析式，得f(5.5)1.06
17、(0.561)4.24.答案：4.24二保高考，全練題型做到高考達標1某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t(分鐘)與電話費s(元)的函數(shù)關系如圖所示，當通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差_元解析：依題意可設sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，所以100k20100m，得km0.2，于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10，即兩種方式電話費相差10元答案：102某商店已按每件80元的成本購進某商品1 000件，根據(jù)市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每
18、提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件_元解析：設售價提高x元，利潤為y元，則依題意得y(1 0005x)(100x)801 0005x2500x20 0005(x50)232 500，故當x50時，ymax32 500，此時售價為每件150元答案：1503(2019海安中學檢測)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是_(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)解析：設2017年后的第n
19、年，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由130(112%)n200，得1.12n，兩邊取常用對數(shù)，得n3.8，所以n4，所以從2021年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元答案：2021年4(2019啟東中學檢測)某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站_千米處解析：由題意設倉庫在離車站x千米處，則y1，y2k2x，其中x0，由得，即y1y2x2 8，當且僅當x，即x5時等號
20、成立答案：55將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘甲桶中的水只有，則m_.解析：根據(jù)題意知e5n，令aaent，即ent，因為e5n，故e15n，比較知t15，m15510.答案：106一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元當速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元若勻速行駛10海里，當這艘輪船的速度為_海里/小時時，總費用最小解析：設每小時的總費用為y元，則ykv296，又當v10時，k1026，解得k0.06，所以每小時的
21、總費用y0.06v296，勻速行駛10海里所用的時間為小時，故總費用為Wy(0.06v296)0.6v248，當且僅當0.6v，即v40時等號成立故總費用最小時輪船的速度為40海里/小時答案：407某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為_解析：依題意知：，即x(24y)，所以陰影部分的面積Sxy(24y)y(y224y)(y12)2180.所以當y12時，S有最大值為180.答案：1808某公司為了業(yè)務發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元銷售額x為64萬
22、元時，獎勵4萬元若公司擬定的獎勵模型為yalog4xb.某業(yè)務員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應為_(萬元)解析：依題意得即解得a2，b2.所以y2log4x2，當y8時，即2log4x28.x1 024(萬元)答案：1 0249某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費用x(單位：百元)滿足如下關系：w4，且投入的肥料費用不超過5百元，此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克)，且市場需求始終供不應求記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元)(1)求L(x)的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(2)當投
23、入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)L(x)16x2x643x，x(0,5(2)法一：L(x)643x6767243，當且僅當3(x1)，即x3時取等號故L(x)max43.答：當投入的肥料費用為300元時，該水密桃樹獲得的利潤最大，為4 300元法二：L(x)3，令L(x)0，得x3.故當x(0,3)時，L(x)0，L(x)在(0,3)上單調(diào)遞增；當x(3,5時，L(x)0，L(x)在(3,5上單調(diào)遞減故L(x)maxL(3)43.答：當投入的肥料費用為300元時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，為4 300元10(2019鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，政府有一個邊長為40
24、0 m的正方形公園ABCD，在以四個角的頂點為圓心，以150 m為半徑的四分之一圓內(nèi)都種植了花卉現(xiàn)在中間修建一塊長方形的活動廣場PQMN，其中P，Q，M，N四點都在相應的圓弧上，并且活動廣場邊界與公園邊界對應平行，記QBC，長方形活動廣場的面積為S.(1)請把S表示成關于的函數(shù)關系式；(2)求S的最小值解：(1)過Q作QEBC于E，連結BQ(圖略)在RtBQE中，BE150cos ，QE150sin ，0，可得矩形PQMN的PQ400300sin ，QM400300cos ，則SPQQM(400300sin )(400300cos )10 000(43sin )(43cos )，.(2)由(1
25、)知，S10 0001612(sin cos )9sin cos ，設tsin cos sin ，則，可得1t，sin cos ，S10 0005 000.當t時，S取得最小值5 000735 000 m2.三上臺階，自主選做志在沖刺名校某輛汽車以x千米/時的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求60x120)時，每小時的耗油量(所需要的汽油量)為升，其中k為常數(shù)，且60k100.(1)若汽車以120千米/時的速度行駛時，每小時的耗油量為11.5升，欲使每小時的耗油量不超過9升，求x的取值范圍；(2)求該汽車行駛100千米的耗油量的最小值解：(1)由題意知，當x120時，11.5
26、，k100，由9，得x2145x4 5000，45x100.又60x120，60x100.故x的取值范圍為60,100(2)設該汽車行駛100千米的耗油量為y升，則y20(60x120)令t，則t，y90 000t220kt2090 000220，該函數(shù)圖象的對稱軸為直線t.60k100，.若，即75k100，則當t，即x時，ymin20.若，即60k75，則當t，即x120時，ymin.答：當75k100時，該汽車行駛100千米的耗油量的最小值為升；當60k75時，該汽車行駛100千米的耗油量的最小值為升命題點一基本初等函數(shù)()1(2017全國卷改編)設x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則2
27、x,3y,5z的大小關系為_解析：設2x3y5zk1，所以xlog2k，ylog3k，zlog5k.因為2x3y2log2k3log3k0，所以2x3y；因為3y5z3log3k5log5k0，所以3y5z；因為2x5z2log2k5log5k0，所以5z2x.所以5z2x3y.答案：5z2x3y2(2018天津高考改編)已知alog3，b，clog，則a，b，c的大小關系為_解析：cloglog35，alog3，又ylog3x在(0，)上是增函數(shù)，log35log3log331，ca1.yx在(，)上是減函數(shù)，01，即b1.cab.答案：cab3(2015江蘇高考)不等式24的解集為_解析：
28、因為2x2x4，所以222，所以x2x2，即x2x20，所以1x2.答案：(1,2)4(2015全國卷)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)0恒成立，所以xln(x)xln(x)0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a0，即a1.答案：15(2018上海高考)已知常數(shù)a0，函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點P，Q，若2pq36pq，則a_.解析：因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點P，Q，所以f(p)f(q)1，化簡得2pqa2pq.因為2pq36pq，所以a236且a0，所以a6.答案：66(2016江蘇高考)已知函數(shù)f(x)axbx(a0，b0，
29、a1，b1)(1)設a2，b.求方程f(x)2的根；若對于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求實數(shù)m的最大值(2)若0a1，b1，函數(shù)g(x)f(x)2有且只有1個零點，求ab的值解：(1)因為a2，b，所以f(x)2x2x.方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，即2x1，解得x0.由條件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因為f(2x)mf(x)6對于xR恒成立，且f(x)0，所以m對于xR恒成立而f(x)2 4，且4，所以m4，故實數(shù)m的最大值為4.(2)因為函數(shù)g(x)f(x)2axbx2有且只有1個零點，而g(0)f
30、(0)2a0b020，所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點因為g(x)axln abxln b，又由0a1，b1知ln a0，ln b0，所以g(x)0有唯一解x0log.令h(x)g(x)，則h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，從而對任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的單調(diào)增函數(shù)于是當x(，x0)時，g(x)g(x0)0；當x(x0，)時，g(x)g(x0)0.因而函數(shù)g(x)在(，x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0，)上是單調(diào)增函數(shù)下證x00.若x00，則x00，于是gg(0)0.又g(loga2)aloga2bloga22aloga220，且
31、函數(shù)g(x)在以和loga2為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和loga2之間存在g(x)的零點，記為x1.因為0a1，所以loga20.又0，所以x10，與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點”矛盾若x00，同理可得，在和logb2之間存在g(x)的非0的零點，與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點”矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.7(2016上海高考)已知aR，函數(shù)f(x)log2.(1)當a5時，解不等式f(x)0；(2)若關于x的方程f(x)log2(a4)x2a50的解集中恰有一個元素，求a的取值范圍；(3)設a0，若對任意t，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上的最大值與最小
32、值的差不超過1，求a的取值范圍解：(1)由log20，得51，解得x(0，)(2)由原方程可得a(a4)x2a5，即(a4)x2(a5)x10.當a4時，x1，經(jīng)檢驗，滿足題意當a3時，x1x21，經(jīng)檢驗，滿足題意當a3且a4時，x1，x21，x1x2.若x1是原方程的解，則a0，即a2；若x2是原方程的解，則a0，即a1.由題意知x1，x2只有一個為方程的解，所以或于是滿足題意的a(1,2綜上，a的取值范圍為(1,23,4(3)易知f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上的最大值與最小值分別為f(t)，f(t1)f(t)f(t1)log2log21，即at2(a1)t1
33、0對任意t恒成立因為a0，所以函數(shù)yat2(a1)t1在區(qū)間上單調(diào)遞增，當t時，y有最小值a.由a0，得a.故a的取值范圍為.命題點二函數(shù)與方程1.(2017江蘇高考)設f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f(x)其中集合D，則方程f(x)lg x0的解的個數(shù)是_解析：由于f(x)0,1)，因此只需考慮1x10的情況，在此范圍內(nèi)，當xQ且xZ時，設x，q，pN*，p2且p，q互質(zhì)若lg xQ，則由lg x(0,1)，可設lg x，m，nN*，m2且m，n互質(zhì)，因此10，則10nm，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此lg xQ，故lg x不可能與每個周期內(nèi)xD對應的部分
34、相等，只需考慮lg x與每個周期內(nèi)xD部分的交點畫出函數(shù)草圖(如圖)，圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期xD的部分，且x1處(lg x)1，則在x1附近僅有一個交點，因此方程f(x)lg x0的解的個數(shù)為8.答案：82(2015江蘇高考)已知函數(shù)f(x)|ln x|，g(x)則方程|f(x)g(x)|1實根的個數(shù)為_解析：當0x1時，方程為ln x1，解得x.當1x2時，f(x)g(x)ln x2x2單調(diào)遞減，值域為(ln 22,1)，方程f(x)g(x)1無解，方程f(x)g(x)1恰有一解當x2時，f(x)g(x)ln xx26單調(diào)遞增，值域為ln 22，)，方程
35、f(x)g(x)1恰有一解，方程f(x)g(x)1恰有一解綜上所述，原方程有4個實根答案：43(2018全國卷改編)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是_解析：令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標系中畫出yf(x)，yh(x)的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個零點，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個交點，平移yh(x)的圖象，可知當直線yxa過點(0,1)時，有2個交點，此時10a，a1.當yxa在yx1上方，即a1時，僅有1個交點，不符合題意當yxa在yx1下方，即a1時，有2個交點，符合題意綜上，a的取值范圍是1，)答案：
36、1，)4(2018天津高考)已知a0，函數(shù)f(x)若關于x的方程f(x)ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是_解析：法一：作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示l1是過原點且與拋物線yx22ax2a相切的直線，l2是過原點且與拋物線yx22axa相切的直線由圖可知，當直線yax在l1，l2之間(不含直線l1，l2)變動時，符合題意由消去y，整理得x2ax2a0.由a28a0，得a8(a0舍去)由消去y，整理得x2axa0.由a24a0，得a4(a0舍去)綜上可得a的取值范圍是(4,8)法二：當x0時，由x22axaax，得ax2ax；當x0時，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x)
37、作出直線ya，y2a，函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為，由圖象可知，若f(x)ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a2a，解得4a8.答案：(4,8)命題點三函數(shù)模型及其應用1(2018浙江高考)我國古代數(shù)學著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為x，y，z，則當z81時，x_，y_.解析：由題意，得即解得答案：8112(2015江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路為l1，
38、l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為 20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy.假設曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度解：(1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5,40)，(20，2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點P的坐標為.設在點P處
39、的切線l交x，y軸分別于A，B兩點，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20設g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當t(5,10)時，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當t(10，20)時，g(t)0，g(t)是增函數(shù)從而，當t10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時f(t)min15.故當t10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米3(2012江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(1)求炮的最大射程；(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實際意義和題設條件知x0，k0，故x10，當且僅當k1時取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因為a0，所以炮彈可擊中目標存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立關于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當a不超過6(千米)時，可擊中目標22
（江蘇專版）2020版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用學案（理）（含解析）
