2019-2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題跟蹤突破四　壓軸題(I)——四邊形.doc

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2019-2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題跟蹤突破四　壓軸題(I)——四邊形 　　　　　　　　　　　　 1．在半徑為R的半圓O內(nèi)，畫出兩個正方形ABCD和正方形DEFG，使得A，D，E都在直線MN上，B，F(xiàn)都在半圓弧上．請你解答下列問題： (1)如圖1，當(dāng)C，G重合時，求兩個正方形的面積和S； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在半圓弧上時，求兩個正方形的面積和S. 解：(1)如圖1，連接MB，MN, 設(shè)正方形ABCD的邊為a，∴AM＝R－a，AN＝R＋a, ∵M(jìn)N是半圓O的直徑，BA⊥MN，∴∠ABN＝90，∴AB2＝AMAN, 則a2＝(R－a)(R＋a)，∴a2＝R2－a2，∴2a2＝R2，即S＝R2　(2)如圖2，連接MB，MN，依題意有，AB2＝AMAN ，則OA＝OD＝， ∴AM＝R－，AN＝R＋，∴a2＝(R－)(R＋)＝R2－()2，∴a2＋()2＝R2，又由勾股定理可得小正方形的邊長為， 即S＝R2 2．如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2 cm/s，以AQ，PQ為邊作平行四邊形AQPB，連接DQ，交AB于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動時間為t(單位：s)(0≤t≤4)．請你解答下列問題： (1)用含t的代數(shù)式表示AE＝__5－t__； (2)當(dāng)t為何值時，DQ＝AP； (3)如圖2，當(dāng)t為何值時，平行四邊形AQPD為菱形． 解：(1)如圖1，依題意有，AQ＝2t，BP＝2t，∵AB＝10，∴AP＝10－2t，∴AE＝5－t　(2)如實(shí)驗(yàn)用圖，當(dāng)DQ＝AP時，四邊形AQPD為矩形，則△APQ∽ABC, ∴＝，∴＝，解得t＝，即當(dāng)t＝時，DQ＝AP　(3)如圖2，當(dāng)平行四邊形AQPD為菱形時，DQ⊥AP, ∴∠AEQ＝ACB＝90， 由三角函數(shù)的定義有cos∠EAQ＝＝，∴＝，解得t＝，即當(dāng)t＝時，平行四邊形AQPD為菱形 3．(xx陜西)問題探究 (1)在圖①的半徑為R的半圓O內(nèi)(含弧)，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個正三角形的面積． (2)在圖②的半徑為R的半圓O內(nèi)(含弧)，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個正方形的面積． 問題解決 (3)如圖③，現(xiàn)有一塊半徑R＝6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請求出這個矩形的面積；若不存在，說明理由． 解：(1)如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形. 連接OC，則OC⊥AB.∵AB＝2OCtan30＝R，∴S△ACB＝ABOC＝RR＝R2　(2)如圖②，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形， 連接OA，令OB＝a，則AB＝2a.在Rt△ABO中，a2＋(2a)2＝R2, 即a2＝R2，S正方形ABCD＝(2a)2＝R2　(3)存在．如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點(diǎn)A，D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對稱圖形，A，D的對稱點(diǎn)分別是A′，D′.連接A′D，AD′，則A′D為⊙O的直徑， ∴S矩形ABCD＝ABAD＝AA′AD＝S△AA′D, ∵在Rt△AA′D中，當(dāng)OA⊥A′D時，S△AA′D的面積最大， ∴S矩形ABCD最大＝2RR＝R2＝36 4．在正方形ABCD中，AB＝4，O是CD上一點(diǎn)，且OD＝1.(有同樣條件的圖形，供解答下列問題時使用) (1)如圖1，若直線CD繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30時交BC于點(diǎn)G, 則CG＝____； (2)如圖2，當(dāng)直線CD繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到什么位置時，正好將正方形ABCD的面積分成相等的兩部分，此時，直線CD旋轉(zhuǎn)與正方形ABCD的另一個交點(diǎn)是F，求OF的長度； (3)如圖3，直線CD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與AD相交于點(diǎn)E，與BC的延長線交于點(diǎn)F時，恰好DE＝，設(shè)P為OF上一動點(diǎn)，過P作PM⊥AB于M，PN⊥BF于N，PN＝x，S矩形BMPN＝y(tǒng). ①求y與之間的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng)為何值時，y的值最大，最大值是多少？ 解：(1)∵正方形ABCD的邊長是4，OD＝1，∴OC＝3，∵∠C＝90， ∴在Rt△OGC中，由三角函數(shù)的定義有，tan30＝，＝， 即CG＝　(2)連接AC，BD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作FG⊥CD于點(diǎn)G, ∵OD＝BF＝CG＝1，∴OG＝2，而FG＝4，∴在Rt△FGO中，由勾股定理得，OF＝＝2　(3)依題意可知有，PN＝x，DE＝，OQ＝3－x，又△OQP∽△ODE，∴＝， ∴＝，∴QP＝(3－x)，∴MP＝4＋(3－x)＝－x＋8, ∴y＝MPPN＝(－x＋8)x，∴y＝－x2＋8x，∵a＝－＜0, ∴當(dāng)x＝－＝時，y最大值＝＝6