第26章二次函數(shù)提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共12份)pdf版.zip

第26章二次函數(shù)提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共12份)pdf版.zip,26,二次,函數(shù),提優(yōu)特訓(xùn),答案,12,pdf 好 學(xué) 不 倦 者, 必 成 大 才. — — — 林 肯 第 二 十 六 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 ( 時(shí) 間: ６０ 分 鐘 滿 分: １００ 分) 一、 選 擇 題( 每 題 ２ 分, 共 １６ 分) １ ． 二 次 函 數(shù) y＝ ( x＋１ ) ２ ＋２ 的 最 小 值 是( ) ． A．２ B．１ C．－３ D． ２ ３ ２ ． 把 拋 物 線 y＝－ x ２ 向 左 平 移 １ 個(gè) 單 位, 然 后 向 上 平 移 ３ 個(gè) 單 位, 則 平 移 后 拋 物 線 的 解 析 式 為( ) ． A． y＝－ ( x－１ ) ２ －３ B． y＝－ ( x＋１ ) ２ －３ C． y＝－ ( x－１ ) ２ ＋３ D． y＝－ ( x＋１ ) ２ ＋３ ３ ． 如 圖, 拋 物 線 y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 與 x 軸 的 一 個(gè) 交 點(diǎn) 是( －２ , ０ ), 頂 點(diǎn) 為( １ , ３ ), 下 列 說 法 中 不 正 確 的 是 ( ) ． ( 第３ 題) A． 拋 物 線 的 對 稱 軸 是 直 線 x＝１ B． 拋 物 線 開 口 向 下 C． 拋 物 線 與 x 軸 的 另 一 交 點(diǎn) 是( ２ , ０ ) D． 當(dāng) x＝１ 時(shí), y 有 最 大 值 是 ３ ４ ． 二 次 函 數(shù) y＝－３ x ２ －６ x＋５ 的 圖 象 的 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 是 ( ) ． A． ( －１ , ８ ) B． ( １ , ８ ) C． ( －１ , ２ ) D． ( １ , －４ ) ５ ． 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 如 圖 所 示, 反 比 例 函 數(shù) y＝ a x 與 正 比 例 函 數(shù) y＝ b x 在 同 一 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 的 大 致 圖 象 是 ( ) ． ( 第５ 題) ６ ． 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 如 圖 所 示, 有 下 列 四 個(gè) 結(jié) 論: ① b＜０ ; ② c＞０ ; ③ b ２ －４ a c＞０ ; ④ a－ b＋ c ＜０ ． 其 中 正 確 的 有( ) ． ( 第６ 題) A．１ 個(gè) B．２ 個(gè) C．３ 個(gè) D．４ 個(gè) ７ ． 如 圖, 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 與 y 軸 正 半 軸 相 交, 其 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 １ ２ , １ ( ) , 下 列 結(jié) 論: ① a c＜０ ; ② a＋ b＝ ０ ; ③４ a c－ b ２ ＝４ a ; ④ a＋ b＋ c＜０ ． 其 中 正 確 的 個(gè) 數(shù) 是 ( ) ． ( 第７ 題) A．１ B．２ C．３ D．４ ８ ． 若 把 函 數(shù) y＝ x 的 圖 象 用 E ( x , x ) 記, 函 數(shù) y＝２ x＋１ 的 圖 象 用 E ( x , ２ x＋１ ) 記,?? ?? , 則 E ( x , x ２ －２ x＋１ ) 可 以 由 E ( x , x ２ )( ) ． A． 向 上 平 移 １ 個(gè) 單 位 得 到 B． 向 下 平 移 １ 個(gè) 單 位 得 到 C． 向 左 平 移 １ 個(gè) 單 位 得 到 D． 向 右 平 移 １ 個(gè) 單 位 得 到 二、 填 空 題( 每 題 ２ 分, 共 １４ 分) ９ ． 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ －２ x－３ 的 圖 象 關(guān) 于 原 點(diǎn) O ( ０ , ０ ) 對 稱 的 圖 象 的 解 析 式 是 ． １ ０ ． 若 把 代 數(shù) 式 x ２ －２ x－３ 化 為( x－ m ) ２ ＋ k 的 形 式, 其 中 m , k 為 常 數(shù), 則 m＋ k＝ ． １ １ ． 如 圖 所 示, 拋 物 線 y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 與 x 軸 的 兩 個(gè) 交 點(diǎn) 分 別 為 A ( －１ , ０ ) 和 B ( ２ , ０ ), 當(dāng) y＜０ 時(shí), x 的 取 值 范 圍 是 ． ( 第１１ 題) １ ２ ． 已 知 點(diǎn) A 、 B 是 拋 物 線 y＝ x ２ －４ x＋３ 上 位 置 不 同 的 兩 點(diǎn), 且 關(guān) 于 拋 物 線 的 對 稱 軸 對 稱, 則 點(diǎn) A 、 B 的 坐 標(biāo) 可 能 是 ． ( 寫 出 一 對 即 可)第 二 十 六 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 活 水 源 流 隨 處 滿, 東 風(fēng) 花 柳 逐 時(shí) 新. — — — 于 謙 １ ３ ． 如 圖, 已 知 拋 物 線 y＝ x ２ ＋６ x＋ c 經(jīng) 過 點(diǎn)( ０ , －３ ), 請 你 確 定 一 個(gè) b 的 值, 使 該 拋 物 線 與 x 軸 的 一 個(gè) 交 點(diǎn) 在( １ , ０ ) 和 ( ３ , ０ ) 之 間 你 所 確 定 的 b 的 值 是 ． ( 第１３ 題) ( 第１４ 題) １ ４ ． 如 圖, 是 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 的 一 部 分, 給 出 下 列 命 題: ① a＋ b＋ c＝０ ; ② b＞２ a ; ③ a x ２ ＋ b x＋ c＝０ 的 兩 根 分 別 為 －３ 和 １ ; ④ a－２ b＋ c＞０ ． 其 中 正 確 的 命 題 是 ． ( 只 要 求 填 寫 正 確 命 題 的 序 號) １ ５ ． 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ ( x－２ a ) ２ ＋ ( a－１ )( a 為 常 數(shù)), 當(dāng) a 取 不 同 的 值 時(shí), 其 圖 象 構(gòu) 成 一 個(gè)“ 拋 物 線 系” ． 下 圖 分 別 是 當(dāng) a＝－１ , a＝０ , a＝１ , a＝２ 時(shí) 二 次 函 數(shù) 的 圖 象 ． 它 們 的 頂 點(diǎn) 在 一 條 直 線 上, 這 條 直 線 的 解 析 式 是 y＝ ． ( 第１５ 題) 三、 解 答 題( 第 １６ 、 １７ 題 每 題 ７ 分, 第 １８~２４ 題 每 題 ８ 分, 共 ７０ 分) １ ６ ． 如 圖, 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 與 x 軸 交 于 點(diǎn) B 、 C , 與 y 軸 交 于 點(diǎn) A ． ( １ ) 根 據(jù) 圖 象 確 定 a , b , c 的 符 號, 并 說 明 理 由; ( ２ ) 若 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) 為( ０ , －３ ), ∠ A B C＝４５ ° , ∠ A C B＝ ６０ ° , 求 這 個(gè) 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 ． ( 第１６ 題) １ ７ ． 一 次 函 數(shù) y＝ x－３ 的 圖 象 與 x 軸、 y 軸 分 別 交 于 點(diǎn) A 、 B ． 一 個(gè) 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 經(jīng) 過 點(diǎn) A 、 B ． ( １ ) 求 點(diǎn) A 、 B 的 坐 標(biāo), 并 畫 出 一 次 函 數(shù) y＝ x－３ 的 圖 象; ( ２ ) 求 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 及 它 的 最 小 值 ． １ ８ ． 已 知 拋 物 線 y＝ a ( x－ t－１ ) ２ ＋ t ２ ( a , t 是 常 數(shù), a≠０ , t≠ ０ ) 的 頂 點(diǎn) 為 點(diǎn) A , 拋 物 線 y＝ x ２ －２ x＋１ 的 頂 點(diǎn) 為 點(diǎn) B ． ( １ ) 判 斷 點(diǎn) A 是 否 在 拋 物 線 y＝ x ２ －２ x＋１ 上, 請 說 明 理 由; ( ２ ) 如 果 拋 物 線 y＝ a ( x－ t－１ ) ２ ＋ t ２ 經(jīng) 過 點(diǎn) B ． ① 求 a 的 值; ② 這 條 拋 物 線 與 x 軸 的 兩 個(gè) 交 點(diǎn) 和 它 的 頂 點(diǎn) A 能 否 構(gòu) 成 直 角 三 角 形? 若 能, 請 求 出 t 的 值; 若 不 能, 請 說 明 理 由 ． １ ９ ． 對 于 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c , 如 果 當(dāng) x 取 任 意 整 數(shù) 時(shí), 函 數(shù) 值 y 都 是 整 數(shù), 那 么 我 們 把 該 函 數(shù) 的 圖 象 叫 做 整 點(diǎn) 拋 物 線( 例 如: y＝ x ２ ＋２ x＋２ ) ． ( １ ) 請 你 寫 出 一 個(gè) 二 次 項(xiàng) 系 數(shù) 的 絕 對 值 小 于 １ 的 整 點(diǎn) 拋 物 線 的 解 析 式 ;( 不 必 證 明) ( ２ ) 請 探 索: 是 否 存 在 二 次 項(xiàng) 系 數(shù) 的 絕 對 值 小 于 １ ２ 的 整 點(diǎn) 拋 物 線? 若 存 在, 請 寫 出 其 中 一 條 拋 物 線 的 解 析 式; 若 不 存 在, 請 說 明 理 由 ． ２ ０ ． 已 知 拋 物 線 y＝３ a x ２ ＋２ b x＋ c ． ( １ ) 若 a＝ b＝１ , c＝－１ , 求 該 拋 物 線 與 x 軸 公 共 點(diǎn) 的 坐 標(biāo); ( ２ ) 若 a＝ b＝１ , 且 當(dāng) －１＜ x＜１ 時(shí), 拋 物 線 與 x 軸 有 且 只 有 一 個(gè) 公 共 點(diǎn), 求 c 的 取 值 范 圍; ( ３ ) 若 a＋ b＋ c＝０ , 且 當(dāng) x１＝０ 時(shí), 對 應(yīng) 的 y１＞０ ; 當(dāng) x２＝ １ 時(shí), 對 應(yīng) 的 y２＞０ , 試 判 斷 當(dāng) ０＜ x＜１ 時(shí), 拋 物 線 與 x 軸 是 否 有 公 共 點(diǎn) ． 若 有, 請 證 明 你 的 結(jié) 論; 若 沒 有, 闡 述 理 由 ． 大 志, 非 才 不 就, 大 才 非 學(xué) 不 成. — — — 鄭 心 材 ２ １ ． 如 圖( １ ), 某 灌 溉 設(shè) 備 的 噴 頭 B 高 出 地 面 １ ． ２５m , 噴 出 的 拋 物 線 形 水 流 在 與 噴 頭 底 部 A 的 距 離 為 １m 處 達(dá) 到 距 地 面 最 大 高 度 ２ ． ２５m , 試 在 恰 當(dāng) 的 直 角 坐 標(biāo) 系 中 求 出 與 該 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 ． 學(xué) 生 小 龍 在 解 答 圖( １ ) 所 示 的 問 題 時(shí), 具 體 解 答 如 下: ( １ ) ( ２ ) ( 第２１ 題) ① 以 水 流 的 最 高 點(diǎn) 為 原 點(diǎn), 過 原 點(diǎn) 的 水 平 線 為 橫 軸, 過 原 點(diǎn) 的 鉛 垂 線 為 縱 軸, 建 立 如 圖( ２ ) 所 示 的 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系; ② 設(shè) 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y＝ a x ２ ; ③ 根 據(jù) 題 意 可 得 點(diǎn) B 與 x 軸 的 距 離 為 １m , 故 點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) 為( －１ , １ ); ④ 代 入 y＝ a x ２ , 得 －１＝ a ?? １ , 所 以 a＝－１ ; ⑤ 所 以 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y＝－ x ２ ． 數(shù) 學(xué) 老 師 看 了 小 龍 的 解 題 過 程 說: “ 小 龍 的 解 答 是 錯(cuò) 誤 的” ． ( １ ) 請 指 出 小 龍 的 解 題 從 第 步 開 始 出 現(xiàn) 錯(cuò) 誤, 錯(cuò) 誤 的 原 因 是 什 么? ( ２ ) 請 你 寫 出 完 整 的 正 確 解 答 過 程 ． ２ ２ ． 一 快 餐 店 試 銷 某 種 套 餐, 試 銷 一 段 時(shí) 間 后 發(fā) 現(xiàn), 每 份 套 餐 的 成 本 為 ５ 元, 該 店 每 天 固 定 支 出 費(fèi) 用 為 ６００ 元( 不 含 套 餐 成 本) ． 若 每 份 售 價(jià) 不 超 過 １０ 元 時(shí), 每 天 可 銷 售 ４００ 份; 若 每 份 售 價(jià) 超 過 １０ 元, 每 提 高 １ 元, 每 天 的 銷 售 量 就 減 少 ４０ 份 ． 為 了 便 于 結(jié) 算, 每 份 套 餐 的 售 價(jià) x ( 元) 取 整 數(shù), 用 y ( 元) 表 示 該 店 日 凈 收 入 ． ( 日 凈 收 入 ＝ 每 天 的 銷 售 額 － 套 餐 成 本 － 每 天 固 定 支 出) ( １ ) 求 y 與 x 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ２ ) 若 每 份 套 餐 售 價(jià) 不 超 過 １０ 元, 要 使 該 店 日 凈 收 入 不 少 于 ８００ 元, 那 么 每 份 售 價(jià) 最 少 不 低 于 多 少 元? ( ３ ) 該 店 既 要 吸 引 顧 客, 使 每 天 銷 售 量 較 大, 又 要 有 較 高 的 日 凈 收 入 ． 按 此 要 求, 每 份 套 餐 的 售 價(jià) 應(yīng) 定 為 多 少 元? 此 時(shí) 日 凈 收 入 為 多 少? ２ ３ ． 如 圖, 在 邊 長 為 ２ 的 正 方 形 A B C D 中, 點(diǎn) P 為 A B 的 中 點(diǎn), 點(diǎn) Q 為 邊 C D 上 一 動(dòng) 點(diǎn), 設(shè) D Q＝ t ( ０≤ t≤２ ), 線 段 P Q 的 垂 直 平 分 線 分 別 交 邊 A D 、 B C 于 點(diǎn) M 、 N , 過 點(diǎn) Q 作 Q E⊥ A B 于 點(diǎn) E , 過 點(diǎn) M 作 M F⊥ B C 于 點(diǎn) F ． ( １ ) 當(dāng) t≠１ 時(shí), 求 證: △ P E Q≌△ N F M ; ( ２ ) 順 次 連 接 點(diǎn) P 、 M 、 Q 、 N , 設(shè) 四 邊 形 P M Q N 的 面 積 為 S , 求 出 S 與 自 變 量 t 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 求 S 的 最 小 值 ． ( 第２３ 題) ２ ４ ． 如 圖, 已 知 拋 物 線 y＝－ x ２ ＋ b x＋９－ b ２ ( b 為 常 數(shù)) 經(jīng) 過 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) O , 且 與 x 軸 交 于 另 一 點(diǎn) E , 其 頂 點(diǎn) M 在 第 一 象 限 ． ( １ ) 求 該 拋 物 線 所 對 應(yīng) 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ２ ) 設(shè) 點(diǎn) A 是 該 拋 物 線 上 位 于 x 軸 上 方, 且 在 其 對 稱 軸 左 側(cè) 的 一 個(gè) 動(dòng) 點(diǎn); 過 點(diǎn) A 作 x 軸 的 平 行 線 交 該 拋 物 線 于 另 一 點(diǎn) D , 再 作 A B⊥ x 軸 于 點(diǎn) B , D C⊥ x 軸 于 點(diǎn) C ． ① 當(dāng) 線 段 A B 、 B C 的 長 都 是 整 數(shù) 個(gè) 單 位 長 度 時(shí), 求 矩 形 A B C D 的 周 長; ② 求 矩 形 A B C D 的 周 長 的 最 大 值, 并 寫 出 此 時(shí) 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo); ③ 當(dāng) 矩 形 A B C D 的 周 長 取 得 最 大 值 時(shí), 它 的 面 積 是 否 也 同 時(shí) 取 得 最 大 值? 請 判 斷 并 說 明 理 由 ． ( 第２４ 題)第 二 十 六 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 １ ?? A ２ ． D ３ ． C ４ ． A ５ ． B ６ ． C ７ ． C ８ ． D ９ ?? y ＝ － x ２ － ２ x ＋ ３ １ ０ ． － ３１ １ ?? x ＜ － １ 或 x ＞ ２ １ ２ ． ( １ , ０ ) , ( ３ , ０ ) １ ３ ?? 如 － ８ ( 答 案 不 唯 一 ) １ ４ ?? ① ③ １ ５ ?? １ ２ x － １ １ ６ ?? ( １ ) ∵ 拋 物 線 開 口 向 上 , ∴ a ＞ ０ ． 由 對 稱 軸 在 y 軸 左 側(cè) , 則 － b ２ a ＜ ０ ． ∴ b ＞ ０ ． 又 拋 物 線 與 y 軸 的 負(fù) 半 軸 相 交 , ∴ c ＜ ０ ． ( ２ ) 連 接 A B 、 A C ． 在 R t △ A O B 中 , ∠ A B O ＝ ４ ５ ° , ∴ ∠ O A B ＝ ４ ５ ° ． ∴ O B ＝ O A ． ∴ B ( － ３ , ０ ) ． 在 R t △ A C O 中 , ∠ A C O ＝ ６ ０ ° , ∴ O C ＝ ３ ． ∴ C ( ３ , ０ ) ． 設(shè)二次 函數(shù)的 解析 式為 y ＝ a x ２ ＋ b x ＋ c ( a ≠ ０ ) , 則 ９ a － ３ b ＋ c ＝ ０ , ３ a ＋ ３ b ＋ c ＝ ０ , c ＝ － ３ ． { 解 得 a ＝ ３ ３ , b ＝ ３ － １ , c ＝ － ３ ． ì ? í ? ? ? ? ∴ 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 為 y ＝ ３ ３ x ２ ＋ ( ３ － １ ) x － ３ ． １ ７ ?? ( １ ) 令 y ＝ ０ , 得 x ＝ ３ , ∴ 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) 是 ( ３ , ０ ) ． 令 x ＝ ０ , 得 y ＝ － ３ , ∴ 點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) 是 ( ０ , － ３ ) ． ( ２ ) ∵ 二 次 函 數(shù) y ＝ x ２ ＋ b x ＋ c 的 圖 象 經(jīng) 過 點(diǎn) A 、 B , ( 第 １ ７ 題 ) ∴ ０ ＝ ９ ＋ ３ b ＋ c , － ３ ＝ c ． { 解 得 b ＝ － ２ , c ＝ － ３ ． { ∴ 二 次 函 數(shù) y ＝ x ２ ＋ b x ＋ c 的 解 析 式 是 y ＝ x ２ － ２ x － ３ ． ∵ y ＝ x ２ － ２ x － ３ ＝ ( x － １ ) ２ － ４ , ∴ 函 數(shù) y ＝ x ２ － ２ x － ３ 的 最 小 值 為 － ４ ． １ ８ ?? ( １ ) 點(diǎn) A 在 拋 物 線 y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ 上 ． ∵ 拋 物 線 y ＝ a ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 的 頂 點(diǎn) 為 A ( t ＋ １ , t ２ ) , 而 當(dāng) x ＝ t ＋ １ 時(shí) , y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ ＝ ( t ＋ １ ) ２ － ２ ( t ＋ １ ) ＋ １ ＝ t ２ , ∴ 點(diǎn) A 在 拋 物 線 y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ 上 ． ( ２ ) ① 拋 物 線 y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ 的 頂 點(diǎn) 為 B ( １ , ０ ) ． ∵ 拋 物 線 y ＝ a ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 經(jīng) 過 點(diǎn) B , ∴ a ( １ － t － １ ) ２ ＋ t ２ ＝ ０ ． ∴ t ２ ( a ＋ １ ) ＝ ０ ． ∵ t ≠ ０ , ∴ a ＋ １ ＝ ０ ． ∴ a ＝ － １ ． ② 拋 物 線 y ＝ a ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 和 x 軸 有 兩 個(gè) 交 點(diǎn) , 設(shè) 另 一 個(gè) 交 點(diǎn) 為 點(diǎn) C ． 令 y ＝ ０ , 得 － ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ ＝ ０ ． 解 得 x １ ＝ １ , x ２ ＝ ２ t ＋ １ ． ∴ 點(diǎn) C 的 坐 標(biāo) 是 ( ２ t ＋ １ , ０ ) ． 由 拋 物 線 的 對 稱 性 可 知 , △ A B C 為 等 腰 直 角 三 角 形 , 過 點(diǎn) A 作 A D ⊥ x 軸 , 垂 足 為 D ． 則 A D ＝ B D ． 當(dāng) 點(diǎn) C 在 點(diǎn) B 的 左 邊 時(shí) , t ２ ＝ １ － ( t ＋ １ ) , 解 得 t ＝ － １ 或 t ＝ ０ ( 舍 去 ) ; 當(dāng) 點(diǎn) C 在 點(diǎn) B 的 右 邊 時(shí) , t ２ ＝ ( t ＋ １ ) － １ , 解 得 t ＝ １ 或 t ＝ ０ ( 舍 去 ) ． ∴ 當(dāng) t ＝ ± １ 時(shí) , 拋 物 線 y ＝ － ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 和 x 軸 的 兩 個(gè) 交 點(diǎn) 能 與 頂 點(diǎn) A 構(gòu) 成 直 角 三 角 形 ． １ ９ ?? ( １ ) 如 : y ＝ １ ２ x ２ ＋ １ ２ x , y ＝ － １ ２ x ２ － １ ２ x 等 等 ． ( 只 要 寫 出 一 個(gè) 符 合 條 件 的 函 數(shù) 解 析 式 ) ( ２ ) 假 設(shè) 存 在 符 合 條 件 的 拋 物 線 , 則 對 于 拋物 線 y ＝ a x ２ ＋ b x ＋ c ． 當(dāng) x ＝ ０ 時(shí) , y ＝ c ; 當(dāng) x ＝ １ 時(shí) , y ＝ a ＋ b ＋ c ． 由 整 點(diǎn) 拋 物 線 定 義 , 知 c 為 整 數(shù) , a ＋ b ＋ c 為 整 數(shù) , ∴ a ＋ b 必 為 整 數(shù) ． 又 當(dāng) x ＝ ２ 時(shí) , y ＝ ４ a ＋ ２ b ＋ c ＝ ２ a ＋ ２ ( a ＋ b ) ＋ c 是 整 數(shù) , ∴ ２ a 必 為 整 數(shù) , 從 而 a 應(yīng) 為 １ ２ 的 整 數(shù) 倍 ． ∵ a ≠ ０ , ∴ | a | ≥ １ ２ ． ∴ 不 存 在 二 次 項(xiàng) 系 數(shù) 的 絕 對 值 小 于 １ ２ 的 整 點(diǎn) 拋 物 線 ． ２ ０ ?? ( １ ) 當(dāng) a ＝ b ＝ １ , c ＝ － １ 時(shí) , 拋 物 線 為 y ＝ ３ x ２ ＋ ２ x － １ , 方 程 ３ x ２ ＋ ２ x － １ ＝ ０ 的 兩 個(gè) 根 為 x １ ＝ － １ , x ２ ＝ １ ３ ． ∴ 該 拋 物 線 與 x 軸 公 共 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是 ( － １ , ０ ) 和 １ ３ , ０ ( ) ． ( ２ ) 當(dāng) a ＝ b ＝ １ 時(shí) , 拋 物 線 為 y ＝ ３ x ２ ＋ ２ x ＋ c , 且 與 x 軸 有 公 共 點(diǎn) ． 對 于 方 程 ３ x ２ ＋ ２ x ＋ c ＝ ０ , 判 別 式 Δ ＝ ４ － １ ２ c ≥ ０ , 有 c ≤ １ ３ ． ① 當(dāng) c ＝ １ ３ 時(shí) , 由 方 程 ３ x ２ ＋ ２ x ＋ １ ３ ＝ ０ , 解 得 x １ ＝ x ２ ＝ － １ ３ ． 此 時(shí) 拋 物 線 為 y ＝ ３ x ２ ＋ ２ x ＋ １ ３ 與 x 軸 只 有 一 個(gè) 公 共 點(diǎn) － １ ３ , ０ ( ) ． ② 當(dāng) c ＜ １ ３ 時(shí) , x １ ＝ － １ 時(shí) , y １ ＝ ３ － ２ ＋ c ＝ １ ＋ c , x ２ ＝ １ 時(shí) , y ２ ＝ ３ ＋ ２ ＋ c ＝ ５ ＋ c ． 由 已 知 , 當(dāng) － １ ＜ x ＜ １ 時(shí) , 該 拋 物 線 與 x 軸 有 且 只 有 一 個(gè) 公 共 點(diǎn) , 考 慮 其 對 稱 軸 為 x ＝ － １ ３ , 應(yīng) 有 y １ ≤ ０ , y ２ ＞ ０ , { 即 １ ＋ c ≤ ０ , ５ ＋ c ＞ ０ ． { 解 得 － ５ ＜ c ≤ － １ ． 綜 上 , c ＝ １ ３ 或 － ５ ＜ c ≤ － １ ． ( ３ ) 對 于 二 次 函 數(shù) y ＝ ３ a x ２ ＋ ２ b x ＋ c , 由 已 知 x １ ＝ ０ 時(shí) , y １ ＝ c ＞ ０ ; x ２ ＝ １ 時(shí) , y ２ ＝ ３ a ＋ ２ b ＋ c ＞ ０ ． 又 a ＋ b ＋ c ＝ ０ , ∴ ３ a ＋ ２ b ＋ c ＝ ( a ＋ b ＋ c ) ＋ ２ a ＋ b ＝ ２ a ＋ b ． 于 是 ２ a ＋ b ＞ ０ ． 而 b ＝ － a － c , ∴ ２ a － a － c ＞ ０ , 即 a － c ＞ ０ ． ∴ a ＞ c ＞ ０ ． ∵ 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ３ a x ２ ＋ ２ b x ＋ c ＝ ０ 的 判 別 式 Δ ＝ ４ b ２ － １ ２ a c ＝ ４ ( a ＋ c ) ２ － １ ２ a c ＝ ４ [ ( a － c ) ２ ＋ a c ] ＞ ０ , ∴ 拋 物 線 y ＝ ３ a x ２ ＋ ２ b x ＋ c 與 x 軸 有 兩 個(gè) 公 共 點(diǎn) , 頂 點(diǎn) 在 x 軸 下 方 ． ( 第 ２ ０ 題 ) 又 該 拋 物 線 的 對 稱 軸 x ＝ － b ３ a , 由 a ＋ b ＋ c ＝ ０ , c ＞ ０ , ２ a ＋ b ＞ ０ , 得 － ２ a ＜ b ＜ － a ． ∴ １ ３ ＜ － b ３ a ＜ ２ ３ ． 又 由 已 知 當(dāng) x １ ＝ ０ 時(shí) , y １ ＞ ０ ; 當(dāng) x ２ ＝ １ 時(shí) , y ２ ＞ ０ ． 觀 察 圖 象 , 可 知 在 ０ ＜ x ＜ １ 范 圍 內(nèi) , 該 拋 物 線 與 x 軸 有 兩 個(gè) 公 共 點(diǎn) ． ２ １ ?? ( １ ) ③ 原 因 : 點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) 寫 錯(cuò) 了 , 應(yīng) 是 ( － １ , － １ )( ２ ) 正 確 解 答 : 如 圖 ( ２ ) 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 , 設(shè) 水 流 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y ＝ a x ２ , 由 題 意 可 知 B ( － １ , － １ ) 代 人 y ＝ a x ２ , 得 － １ ＝ a ( － １ ) ２ , 即 a ＝ － １ ． 即 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y ＝ － x ２ ． ２ ２ ?? ( １ ) 當(dāng) ５ ＜ x ≤ １ ０ 時(shí) , y ＝ ４ ０ ０ ( x － ５ ) － ６ ０ ０ , 即 y ＝ ４ ０ ０ x － ２ ６ ０ ０ ． 當(dāng) x ＞ １ ０ 時(shí) , y ＝ ( x － ５ ) [ ４ ０ ０ － ４ ０ ( x － １ ０ ) ] － ６ ０ ０ , 即 y ＝ － ４ ０ x ２ ＋ １ ０ ０ ０ x － ４ ６ ０ ０ ． ( ２ ) 由 題 意 , 得 ４ ０ ０ x － ２ ６ ０ ０ ≥ ８ ０ ０ , 解 得 x ≥ ８ ． ５ ． ∵ x 為 整 數(shù) , ∴ 每 份 售 價(jià) 最 少 不 低 于 ９ 元 ． ( ３ ) 當(dāng) ５ ＜ x ≤ １ ０ 時(shí) , y 最 大 ＝ １ ４ ０ ０ ． 當(dāng) x ＞ １ ０ 時(shí) , 由 題 意 , 得 y ＝ － ４ ０ x ２ ＋ １ ０ ０ ０ x － ４ ６ ０ ０ ＝ － ４ ０ x － ２ ５ ２ ( ) ２ ＋ １ ６ ５ ０ ． ∴ 當(dāng) x ＝ １ ２ 或 x ＝ １ ３ ( 不 合 題 意 , 舍 去 ) 時(shí) , y 值 最 大 ． y ＝ － ４ ０ × １ ２ － ２ ５ ２ ( ) ２ ＋ １ ６ ５ ０ ＝ １ ６ ４ ０ ． ∴ 每 份 套 餐 的 售 價(jià) 定 為 １ ２ 元 時(shí) , 每 天 銷 量 較 大 且 日 凈 收 入 也 較 高 , 為 １ ６ ４ ０ 元 ． ２ ３ ?? ( １ ) ∵ 四 邊 形 A B C D 是 正 方 形 , ∴ ∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ D ＝ ９ ０ ° , A D ＝ A B ． ∵ Q E ⊥ A B , M F ⊥ B C , ∴ ∠ A E Q ＝ ∠ M F B ＝ ９ ０ ° ． ∴ 四 邊 形 A B F M 、 A E Q D 都 是 矩 形 ． ∴ M F ＝ A B , Q E ＝ A D , M F ⊥ Q E ． ∴ M F ＝ Q E ． 又 P Q ⊥ M N , ∴ ∠ E Q P ＝ ∠ F M N ． 又 ∠ Q E P ＝ ∠ M F N ＝ ９ ０ ° , ∴ △ P E Q ≌ △ N F M ． ( ２ ) ∵ 點(diǎn) P 是 邊 A B 的 中 點(diǎn) , A B ＝ ２ , D Q ＝ A E ＝ t , ∴ P A ＝ １ , P E ＝ １ － t , Q E ＝ ２ ． 由 勾 股 定 理 , 得 P Q ＝ Q E ２ ＋ P E ２ ＝ ( １ － t ) ２ ＋ ４ ． ∵ △ P E Q ≌ △ N F M , ∴ M N ＝ P Q ＝ ( １ － t ) ２ ＋ ４ ． 又 P Q ⊥ M N , ∴ S ＝ １ ２ P Q ?? M N ＝ １ ２ [ ( １ － t ) ２ ＋ ４ ] ＝ １ ２ t ２ － t ＋ ５ ２ ． ∵ ０ ≤ t ≤ ２ , ∴ 當(dāng) t ＝ １ 時(shí) , S 最 小 值 ＝ ２ ． 綜 上 , S ＝ １ ２ t ２ － t ＋ ５ ２ , S 的 最 小 值 為 ２ ． ２ ４ ?? ( １ ) 拋 物 線 過 原 點(diǎn) , 所 以 ９ － b ２ ＝ ０ ． 解 得 b ＝ ± ３ , 對 稱 軸 在 y 軸 右 側(cè) , a , b 異 號 , ∵ a ＝ － １ ＜ ０ , ∴ b ＝ ３ ． ∴ 拋 物 線 解 析 式 為 y ＝ － x ２ ＋ ３ x ． ( ２ ) ① 拋 物 線 頂 點(diǎn) M ３ ２ , ９ ４ ( ) , 要 使 A B 為 整 數(shù) , A B ＝ １ 或 A B ＝ ２ ． 當(dāng) A B ＝ １ 時(shí) , B C 為 無 理 數(shù) , 故 A B ＝ ２ ． 把 y ＝ ２ 代 入 y ＝ － x ２ ＋ ３ x , 解 得 x １ ＝ １ , x ２ ＝ ２ ． B C ＝ ２ － １ ＝ １ ． l 矩 形 A B C D ＝ ２ ＋ １ ＋ ２ ＋ １ ＝ ６ ． ② 設(shè) 點(diǎn) A ( x ０ , － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ) , 矩 形 A B C D 周 長 為 l , 則 點(diǎn) C ( ３ － x ０ , ０ ) ． l ＝ ２ ( － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ) ＋ ２ ( ３ － x ０ － x ０ ) ＝ － ２ x ２ ０ ＋ ２ x ０ ＋ ６ ＝ － ２ x ０ － １ ２ ( ) ２ ＋ １ ３ ２ ． 所 以 當(dāng) x ０ ＝ １ ２ 時(shí) , l 最 大 ＝ １ ３ ２ ． 此 時(shí) － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ＝ ５ ４ ． 所 以 A １ ２ , ５ ４ ( ) ． ③ 設(shè) 矩 形 A B C D 的 面 積 為 S , 則 S ＝ ( － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ) ( ３ － ２ x ０ ) ＝ x ０ ( ３ － x ０ ) ( ３ － ２ x ０ ) ． 當(dāng) x ０ ＝ １ ２ 時(shí) , S ＝ ５ ２ ．而 當(dāng) x ０ ＝ ０ ． ６ 時(shí) , S ＝ ２ ． ５ ９ ２ ＞ ５ ２ ． 所 以 當(dāng) 矩 形 A B C D 的 周 長 取 得 最 大 值 時(shí) , 它 的 面 積 不 是 最 大 值 ．