第26章二次函數(shù)提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共12份)pdf版.zip

第26章二次函數(shù)提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共12份)pdf版.zip,26,二次,函數(shù),提優(yōu)特訓(xùn),答案,12,pdf 第 二 十 六 章 二 次 函 數(shù) 博 學(xué) 而 不 自 反, 必 有 邪. — — — 管 仲 第 二 十 六 章 二 次 函 數(shù) ２ ６ ． １ 二 次 函 數(shù) 及 其 圖 象 ２ ６ ． １ ． １ 二 次 函 數(shù) １ ． 能 夠 根 據(jù) 實 際 問 題 體 會 二 次 函 數(shù) 的 意 義, 理 解 并 掌 握 二 次 函 數(shù) 的 概 念 ． 會 分 析 并 表 示 兩 個 變 量 之 間 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 ． 列 出 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 求 出 函 數(shù) 的 自 變 量 的 取 值 范 圍 ． ２ ． 記 住 二 次 函 數(shù) 解 析 式 的 一 般 形 式, 能 說 出 二 次 函 數(shù) 的 二 次 項 系 數(shù)、 一 次 項 系 數(shù)、 常 數(shù) 項 ． ３ ． 能 識 別 一 個 函 數(shù) 是 否 是 二 次 函 數(shù), 能 應(yīng) 用 二 次 函 數(shù) 的 相 關(guān) 概 念 解 決 實 際 問 題 ． 夯 實 基 礎(chǔ), 才 能 有 所 突 破 ?? ?? １ ． 已 知 正 方 形 的 邊 長 為 ３ , 若 邊 長 增 加 x , 面 積 的 增 加 量 為 y , 則 y 與 x 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 為 ． ２ ． 函 數(shù) y＝ ( m－ n ) x ２ ＋ m x＋ n 是 二 次 函 數(shù) 的 條 件 是 ( ) ． A． m , n 為 常 數(shù), 且 m≠０ B． m , n 為 常 數(shù), 且 m≠ n C． m , n 為 常 數(shù), 且 n≠０ D． m , n 可 以 為 任 何 數(shù) ３ ． 下 列 各 關(guān) 系 式 中, 屬 于 二 次 函 數(shù) 的 是( x 為 自 變 量) ( ) ． A． y＝ １ ８ x ２ B． y＝ x ２ －１ C． y＝ １ x ２ D． y＝ a ２ x ４ ． 無 論 m 為 何 值, 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ － ( ２－ m ) x＋ m 的 圖 象 總 是 過 定 點( ) ． A． ( １ , ３ ) B． ( １ , ０ ) C． ( －１ , ３ ) D． ( －１ , ０ ) ５ ． 把 一 根 長 為 ５０cm 的 鐵 絲 彎 成 一 個 長 方 形, 設(shè) 這 個 長 方 形 的 一 邊 長 為 x ( cm ), 它 的 面 積 為 y ( cm ２ ), 則 y 與 x 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為( ) ． A． y＝－ x ２ ＋５０ x B． y＝ x ２ －５０ x C． y＝－ x ２ ＋２５ x D． y＝－２ x ２ ＋２５ ６ ． 某 商 店 從 廠 家 以 每 件 ２１ 元 的 價 格 購 進 一 批 商 品, 該 商 店 可 以 自 行 定 價, 若 每 件 商 品 售 價 為 x 元, 則 可 賣 出( ３５０－ １０ x ) 件 商 品, 那 么 商 品 所 得 利 潤 y ( 元) 與 售 價 x ( 元) 的 函 數(shù) 關(guān) 系 為( ) ． A． y＝－１０ x ２ －５６０ x＋７３５０ B． y＝－１０ x ２ ＋５６０ x－７３５０ C． y＝－１０ x ２ ＋３５０ x D． y＝－１０ x ２ ＋３５０ x－７３５０ ７ ． 下 列 函 數(shù) 中, 二 次 函 數(shù) 的 個 數(shù) 是( ) ． ① y＝３ ( x－１ ) ２ ＋１ ; ② y＝ x＋ １ x ; ③ y＝ ( x＋３ ) ２ － x ２ ; ④ y ＝ １ x ２ ＋ x ; ⑤ y＝ x ２ ． A．１ B．２ C．３ D．４ ８ ． 已 知 函 數(shù) y＝ ( a ２ －４ ) x ２ ＋ ( a＋２ ) x＋３ ． ( １ ) 當(dāng) a 為 何 值 時, 此 函 數(shù) 是 二 次 函 數(shù)? ( ２ ) 當(dāng) a 為 何 值 時, 此 函 數(shù) 是 一 次 函 數(shù)? ９ ． 如 圖 所 示 的 圖 形 是 某 養(yǎng) 殖 專 業(yè) 戶 建 立 的 一 個 矩 形 場 地, 一 邊 靠 墻, 另 三 邊 除 大 門 外 用 籬 笆 圍 成 ． 已 知 籬 笆 總 長 是 ３０m , 門 寬 是 ２m , 若 設(shè) 這 塊 場 地 的 寬 為 xm ． ( １ ) 求 場 地 的 面 積 y ( m ２ ) 與 x ( m ) 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ２ ) 寫 出 自 變 量 x 的 取 值 范 圍 ． ( 第９ 題) 課 內(nèi) 與 課 外 的 橋 梁 是 這 樣 架 設(shè) 的. ( 第１０ 題) １ ０ ． 有 一 長 方 形 紙 片, 長、 寬 分 別 為 ８cm 和 ６cm , 現(xiàn) 在 長 寬 上 分 別 剪 去 寬 為 xcm ( x＜６ ) 的 紙 條( 如 圖), 則 剩 余 部 分( 圖 中 陰 影 部 分) 的 面 積 y＝ , 其 中 是 自 變 量, 是 函 數(shù) ． １ １ ． 某 商 品 的 進 價 為 每 件 ４０ 元 ． 當(dāng) 售 價 為 每 件 ６０ 元 時, 每 星 期 可 賣 出 ３００ 件, 現(xiàn) 需 降 價 處 理, 且 經(jīng) 市 場 調(diào) 查: 每 降 價 １ 元, 每 星 期 可 多 賣 出 ２０ 件 ． 在 確 保 盈 利 的 前 提 下, 若 設(shè) 每 件 降 價 x 元, 每 星 期 售 出 商 品 的 利 潤 為 y 元, 請 寫 出 y 與 x 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 求 出 自 變 量 x 的 取 值 范 圍 ． 開 卷 有 益, 在 乎 用 心. — — — 王 豫 １ ２ ． 寫 出 下 列 各 函 數(shù) 的 關(guān) 系 式, 并 判 斷 它 們 是 什 么 類 型 的 函 數(shù) ． ( １ ) 寫 出 正 方 體 的 表 面 積 S ( cm ２ ) 與 正 方 體 的 棱 長 a ( cm ) 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ２ ) 寫 出 圓 的 面 積 y ( cm ２ ) 與 它 的 周 長 x ( cm ) 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ３ ) 某 種 儲 蓄 的 年 利 率 是 １ ． ９８％ , 存 入 １００００ 元 本 金, 若 不 計 利 息 稅, 求 本 息 和 y ( 元) 與 所 存 年 數(shù) x 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ４ ) 菱 形 的 兩 條 對 角 線 的 和 為 ２６cm , 求 菱 形 的 面 積 S ( cm ２ ) 與 一 條 對 角 線 長 x ( cm ) 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式 ． １ ３ ． 正 方 形 鐵 片 的 邊 長 為 １５cm , 在 四 個 角 上 各 剪 去 一 個 邊 長 為 xcm 的 小 正 方 形, 用 余 下 的 部 分 做 成 一 個 無 蓋 的 盒 子 ． ( １ ) 求 盒 子 的 表 面 積 S ( cm ２ ) 與 小 正 方 形 邊 長 x ( cm ) 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ２ ) 當(dāng) 小 正 方 形 的 邊 長 為 ３cm 時, 求 盒 子 的 表 面 積 ． 對 未 知 的 探 索, 你 準 行! １ ４ ． 影 響 剎 車 距 離 的 最 主 要 因 素 是 汽 車 行 駛 的 速 度 及 路 面 的 摩 擦 系 數(shù) ． 有 關(guān) 研 究 表 明, 晴 天 在 某 段 公 路 上 行 駛 時, 行 駛 速 度 為 v ( km / h ) 的 汽 車 的 剎 車 距 離 s ( m ) 可 以 由 公 式 s＝ １ １００ v ２ 確 定; 雨 天 行 駛 時, 這 一 公 式 為 s＝ １ ５０ v ２ ． ( １ ) 如 果 行 車 速 度 是 ７０km / h , 那 么 在 雨 天 行 駛 和 在 晴 天 行 駛 相 比, 剎 車 距 離 相 差 多 少 米? ( ２ ) 如 果 行 車 速 度 分 別 是 ６０km / h 與 ８０km / h , 且 同 在 雨 天 行 駛( 相 同 的 路 面), 那 么 剎 車 距 離 相 差 多 少 米? ( ３ ) 根 據(jù) 上 述 兩 點 分 析, 你 想 對 司 機 師 傅 說 些 什 么? １ ５ ． 某 公 司 試 銷 一 種 成 本 單 價 為 ５００ 元/ 件 的 新 產(chǎn) 品, 規(guī) 定 試 銷 時 的 銷 售 單 價 不 低 于 成 本 單 價, 又 不 高 于 ８００ 元/ 件 ． 試 銷 時 發(fā) 現(xiàn) 銷 售 量 y ( 件) 與 銷 售 單 價 x ( 元/ 件) 的 關(guān) 系 可 近 似 看 作 一 次 函 數(shù) 關(guān) 系, 當(dāng) 銷 售 量 為 ４００ 件 時, 售 價 是 ６００ 元/ 件; 當(dāng) 銷 售 量 為 ３００ 件 時, 售 價 是 ７００ 元/ 件 ． ( １ ) 求 銷 售 量 y ( 件) 與 銷 售 單 價 x ( 元/ 件) 的 關(guān) 系 式; ( ２ ) 設(shè) 公 司 獲 得 的 毛 利 潤 為 S 元, 試 用 銷 售 單 價 表 示 毛 利 潤 S ． ( 毛 利 潤 ＝ 銷 售 總 價 － 成 本 總 價) 解 剖 真 題, 體 驗 情 境. １ ６ ． ( ２ ０ １ １ ?? 湖 南 益 陽) 如 圖, 一 塊 草 地 是 長 ８０m 、 寬 ６０m 的 矩 形, 欲 在 中 間 修 筑 兩 條 互 相 垂 直 的 寬 為 xm 的 小 路, 這 時 草 坪 面 積 為 ym ２ ． 求 y 與 x 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 寫 出 自 變 量 x 的 取 值 范 圍 ． ( 第１６ 題)第 二 十 六 章 二 次 函 數(shù) ２ ６ ． １ 二 次 函 數(shù) 及 其 圖 象 ２ ６ ． １ ． １ 二 次 函 數(shù) １ ?? y ＝ x ２ ＋ ６ x ２ ?? B ３ ． A ４ ． C ５ ． C ６ ． B ７ ． B ８ ?? ( １ ) a ≠ ± ２ ( ２ ) a ＝ ２ ９ ?? ( １ ) y ＝ － ２ x ２ ＋ ３ ２ x ( ２ ) ２ ＜ x ＜ １ ６ １ ０ ?? ( ６ － x ) ( ８ － x ) x y １ １ ?? y ＝ ( ６ ０ － x － ４ ０ ) ( ３ ０ ０ ＋ ２ ０ x ) ＝ ( ２ ０ － x ) ( ３ ０ ０ ＋ ２ ０ x ) ＝ － ２ ０ x ２ ＋ １ ０ ０ x ＋ ６ ０ ０ ０ , ０ ≤ x ≤ ２ ０ ． １ ２ ?? ( １ ) 由 題 意 , 得 S ＝ ６ a ２ ( a ＞ ０ ) , 其 中 S 是 a 的 二 次 函 數(shù) ． ( ２ ) 由 題 意 , 得 y ＝ x ２ ４ π ( x ＞ ０ ) , 其 中 y 是 x 的 二 次 函 數(shù) ． ( ３ ) 由 題 意 , 得 y ＝１ ０ ０ ０ ０ ＋ １ ． ９ ８ ％ x ?? １ ０ ０ ０ ０ ( x ≥ ０ , 且 x 是 正 整 數(shù) ) , 其 中 y 是 x 的 一 次 函 數(shù) ． ( ４ ) 由 題 意 , 得 S ＝ １ ２ x ( ２ ６ － x ) ＝ － １ ２ x ２ ＋ １ ３ x ( ０ ＜ x ＜ ２ ６ ) , 其 中 S 是 x 的 二 次 函 數(shù) ． １ ３ ?? ( １ ) S ＝ １ ５ ２ － ４ x ２ ＝ ２ ２ ５ － ４ x ２ ( ０ ＜ x ＜ １ ５ ２ ) ． ( ２ ) 當(dāng) x ＝ ３ c m 時 , S ＝ ２ ２ ５ － ４ × ３ ２ ＝ １ ８ ９ ( c m ２ ) ． １ ４ ?? ( １ ) v ＝ ７ ０ k m / h , s 晴 ＝ １ １ ０ ０ v ２ ＝ １ １ ０ ０ × ７ ０ ２ ＝ ４ ９ ( m ) , s 雨 ＝ １ ５ ０ v ２ ＝ １ ５ ０ × ７ ０ ２ ＝ ９ ８ ( m ) , s 雨 － s 晴 ＝ ９ ８ － ４ ９ ＝ ４ ９ ( m ) ． ( ２ ) v １ ＝ ８ ０ k m / h , v ２ ＝ ６ ０ k m / h , s １ ＝ １ ５ ０ v ２ １ ＝ １ ５ ０ × ８ ０ ２ ＝ １ ２ ８ ( m ) , s ２ ＝ １ ５ ０ v ２ ２ ＝ １ ５ ０ × ６ ０ ２ ＝ ７ ２ ( m ) , s １ － s ２ ＝ １ ２ ８ － ７ ２ ＝ ５ ６ ( m ) ． ( ３ ) 在 汽 車 速 度 相 同 的 情 況 下 , 雨 天 的 剎 車 距 離 要 大 于 晴 天 的 剎 車 距 離 ． 在 同 是 雨 天 的 情 況 下 , 汽 車 速 度 越 快 , 剎 車 距 離 也 就 越 大 ． 請 司 機 師 傅 一 定 要 注 意 天 氣 情 況 與 車 速 ． １ ５ ?? ( １ ) 設(shè) y 與 x 之 間 的 關(guān) 系 式 為 y ＝ k x ＋ b , 當(dāng) x ＝ ６ ０ ０ , y ＝ ４ ０ ０ 和 x ＝ ７ ０ ０ , y ＝ ３ ０ ０ 時 , 則 ４ ０ ０ ＝ ６ ０ ０ k ＋ b , ３ ０ ０ ＝ ７ ０ ０ k ＋ b ． { 解 得 k ＝ － １ , b ＝ １ ０ ０ ０ ． ∴ y ＝ － x ＋ １ ０ ０ ０ ( ５ ０ ０ ≤ x ≤ ８ ０ ０ ) ． ( ２ ) 銷 售 總 價 ＝ 銷 售 單 價 × 銷 售 量 ＝ x y , 成 本 總 價 ＝ 成 本 單 價 × 銷 售 量 ＝ ５ ０ ０ y , 代 入 毛 利 潤 公 式 , 得 S ＝ x y － ５ ０ ０ y ＝ x ( － x ＋ １ ０ ０ ０ ) － ５ ０ ０ ( － x ＋ １ ０ ０ ０ ) ＝ － x ２ ＋ １ ５ ０ ０ x － ５ ０ ０ ０ ０ ０ , ∴ S ＝ － x ２ ＋ １ ５ ０ ０ x － ５ ０ ０ ０ ０ ０ ( ５ ０ ０ ≤ x ≤ ８ ０ ０ ) ． １ ６ ?? y ＝ ( ８ ０ － x ) ( ６ ０ － x ) ＝ x ２ － １ ４ ０ x ＋ ４ ８ ０ ０ ( ０ ≤ x ＜ ６ ０ ) ．奧 賽 園 地 得 之 在 俄 傾, 積 之 在 平 日. — — — 袁 守 侗 【 例】 ( 全 國 初 中 數(shù) 學(xué) 競 賽 海 南 賽 區(qū)) 實 數(shù) x , y 滿 足 ２ x ２ － ６ x＋ y ２ ＝０ , 設(shè) w＝ x ２ ＋ y ２ －８ x , 則 w 的 最 大 值 是 ． 【 分 析】 由 ２ x ２ －６ x＋ y ２ ＝０ , 得 ２ x ２ ＋ y ２ ＝６ x , 知 x≥０ ． 又 y ２ ＝－２ x ２ ＋６ x , w＝ x ２ －２ x ２ ＋６ x－８ x＝－ x ２ －２ x＝－ ( x＋１ ) ２ ＋１ , 由 此 可 見, 當(dāng) x≥－１ 時, w 隨 著 x 的 增 大 而 減 小, 又 因 為 x≥０＞－１ ,, 故 當(dāng) x＝０ 時, w 的 最 大 值 是 ０ ． 【 解 答】 ０ ． 【 說 明】 解 答 本 題 需 利 用 代 入 法 和 配 方 法 ． 解 題 的 難 點 是 通 過 x 的 取 值 范 圍 確 定 w 的 最 大 值 ． 初 賽 題 １ ． 已 知 拋 物 線 y＝ x ２ ＋ b x＋ c 的 系 數(shù) 滿 足 ２ b－ c＝５ , 則 這 條 拋 物 線 一 定 經(jīng) 過 點( ) ． A． ( －１ , －２ ) B． ( －２ , －１ ) C． ( ２ , －１ ) D． ( －２ , １ ) ２ ． ( 全 國 初 中 數(shù) 學(xué) 競 賽 海 南 賽 區(qū)) 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 如 圖 所 示, 記 p＝２ a＋ b , q＝ b－ a , 則 下 列 結(jié) 論 正 確 的 是( ) ． ( 第２ 題) A． p＞ q＞０ B． q＞ p＞０ C． p＞０＞ q D． q＞０＞ p ３ ． ( 全 國 初 中 數(shù) 學(xué) 聯(lián) 賽 江 西 省 初 賽 試 題) 設(shè) a b≠０ , 且 函 數(shù) f１ ( x ) ＝ x ２ ＋２ a x＋４ b 與 f２ ( x ) ＝ x ２ ＋４ a x＋２ b 有 相 同 的 最 小 值 u ; 函 數(shù) f３ ( x ) ＝－ x ２ ＋２ b x＋４ a 與 f４ ( x ) ＝－ x ２ ＋４ b x＋ ２ a 有 相 同 的 最 大 值 v , 則 u＋ v 的 值( ) ． A． 必 為 正 數(shù) B． 必 為 負 數(shù) C． 必 為 ０ D． 符 號 不 能 確 定 ４ ． 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x＋ c ( c ) ＜０ 的 圖 象 與 x 軸 的 交 點 分 別 為 點 A 、 B , 與 y 軸 的 交 點 為 點 C ． 設(shè) △ A B C 的 外 接 圓 的 圓 心 為 點 P ． ( １ ) 證 明: ☉ P 與 y 軸 的 另 一 個 交 點 為 定 點; ( ２ ) 如 果 A B 恰 好 為 ☉ P 的 直 徑 且 S△ A B C＝２ , 求 b 和 c 的 值 ． 復(fù) 賽 題 ５ ． ( 全 國 初 中 數(shù) 學(xué) 聯(lián) 合 競 賽 試 題) 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x－ c 的 圖 象 經(jīng) 過 兩 點 P ( １ , a ), Q ( ２ , １０ a ) ． ( １ ) 如 果 a , b , c 都 是 整 數(shù), 且 c＜ b＜８ a , 求 a , b , c 的 值; ( ２ ) 設(shè) 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x－ c 的 圖 象 與 x 軸 的 交 點 為 A 、 B , 與 y 軸 的 交 點 為 C ． 如 果 關(guān) 于 x 的 方 程 x ２ ＋ b x－ c ＝０ 的 兩 個 根 都 是 整 數(shù), 求 △ A B C 的 面 積 ． ６ ． ( 全 國 初 中 數(shù) 學(xué) 競 賽 海 南 賽 區(qū)) 如 圖, 在 Rt△ A B C 中, ∠ C＝ ９０ ° , A C＝３ , B C＝４ , 點 E 在 A C 上( 點 E 與 點 A 、 C 都 不 重 合), 點 F 在 斜 邊 A B 上( 點 F 與 點 A 、 B 都 不 重 合) ． ( １ ) 若 E F 平 分 Rt△ A B C 的 周 長, 設(shè) A E＝ x , △ A E F 的 面 積 為 y , 寫 出 y 與 x 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 指 出 x 的 取 值 范 圍; ( ２ ) 試 問: 是 否 存 在 直 線 E F 將 Rt△ A B C 的 周 長 和 面 積 同 時 平 分? 若 存 在, 求 出 A E 的 長; 若 不 存 在, 請 說 明 理 由 ． ( 第６ 題)奧 賽 園 地 １ ?? B ２ ?? B 提 示 : 由 圖 象 , 知 a ＜ ０ , c ＝ ０ , － b ２ a ＞ １ , 從 而 ２ a ＋ b ＞ ０ , 又 ( ２ a ＋ b ) － ( b － a ) ＝ ３ a ＜ ０ , 即 ２ a ＋ b ＜ b － a ． ３ ?? C 提 示 : f １ ( x ) ＝ ( x ＋ a ) ２ ＋ ４ b － a ２ ≥ ４ b － a ２ , f ２ ( x ) ＝ ( x ＋ ２ a ) ２ ＋ ２ b － ４ a ２ ≥ ２ b － ４ a ２ ． 由 ４ b － a ２ ＝ u ＝ ２ b － ４ a ２ , 得 － ２ b ＝ ３ a ２ ． ① f ３ ( x ) ＝ － ( x － b ) ２ ＋ ４ a ＋ b ２ ≤ ４ a ＋ b ２ , f ４ ( x ) ＝ － ( x － ２ b ) ２ ＋ ２ a ＋ ４ b ２ ≤ ２ a ＋ ４ b ２ ． 由 ４ a ＋ b ２ ＝ v ＝ ２ a ＋ ４ b ２ , 得 ２ a ＝ ３ b ２ ． ② ② － ① , 得 ２ ( a ＋ b ) ＝ ３ ( b ２ － a ２ ) , 所 以 a ＋ b ＝ ０ , ③ 或 b － a ＝ ２ ３ ． ④ 若 a ＋ b ＝ ０ , 則 ２ ( u ＋ v ) ＝ ( ６ b － ５ a ２ ) ＋ ( ６ a ＋ ５ b ２ ) ＝ ( a ＋ b ) [ ６ ＋ ５ ( b － a ) ] ＝ ０ ; 若 b － a ＝ ２ ３ , 根 據(jù) ② ④ , 得 ２ b － ２ ３ ( ) ＝ ３ b ２ , 即 ( ３ b － １ ) ２ ＋ ３ ＝ ０ , 矛 盾 ． ４ ?? ( １ ) 易 求 得 點 C 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , c ) , 設(shè) A ( x １ , ０ ) , B ( x ２ , ０ ) , 則 x １ ＋ x ２ ＝ － b , x １ x ２ ＝ c ． 設(shè) ☉ P 與 y 軸 的 另 一 個 交 點 為 D , 由 于 A B 、 C D 是 ☉ P 的 兩 條 相 交 弦 , 它 們 的 交 點 為 點 O , 所 以 O A × O B ＝ O C × O D , 則 O D ＝ O A × O B O C ＝ | x １ x ２ | | c | ＝ | c | | c | ＝ １ ． 因 為 c ＜ ０ , 所 以 點 C 在 y 軸 的 負 半 軸 上 , 從 而 點 D 在 y 軸 的 正 半 軸 上 , 所 以 點 D 為 定 點 , 它 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , １ ) ． ( ２ ) 因 為 A B ⊥ C D , 若 A B 恰 好 為 ☉ P 的 直 徑 , 則 C 、 D 關(guān) 于 點 O 對 稱 , 所 以 點 C 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , － １ ) , 即 c ＝ － １ ． 又 A B ＝ | x １ － x ２ | ＝ ( x １ ＋ x ２ ) ２ － ４ x １ x ２ ＝ ( － b ) ２ － ４ c ＝ b ２ ＋ ４ , 所 以 S △ A B C ＝ １ ２ A B ?? O C ＝ １ ２ b ２ ＋ ４ ?? １ ＝ ２ , 解 得 b ＝ ± ２ ３ ． ５ ?? 點 P ( １ , a ) , Q ( ２ , １ ０ a ) 在 二 次 函 數(shù) y ＝ x ２ ＋ b x － c 的 圖 象 上 ,故 １ ＋ b － c ＝ a , ４ ＋ ２ b － c ＝ １ ０ a , 解 得 b ＝ ９ a － ３ , c ＝ ８ a － ２ ． ( １ ) 由 c ＜ b ＜ ８ a , 知 ８ a － ２ ＜ ９ a － ３ , ９ a － ３ ＜ ８ a , { 解 得 １ ＜ a ＜ ３ ． 又 a 為 整 數(shù) , 所 以 a ＝ ２ , b ＝ ９ a － ３ ＝ １ ５ , c ＝ ８ a － ２ ＝ １ ４ ． ( ２ ) 設(shè) m , n 是 方 程 的 兩 個 整 數(shù) 根 , 且 m ≤ n ． 由 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 可 得 m ＋ n ＝ － b ＝ ３ － ９ a , m n ＝ － c ＝ ２ － ８ a , 消 去 a , 得 ９ m n － ８ ( m ＋ n ) ＝ － ６ , 兩 邊 同 時 乘 以 ９ , 得 ８ １ m n － ７ ２ ( m ＋ n ) ＝ － ５ ４ , 分 解 因 式 , 得 ( ９ m － ８ ) ( ９ n － ８ ) ＝ １ ０ ． 所 以 ９ m － ８ ＝ １ , ９ n － ８ ＝ １ ０ { 或 ９ m － ８ ＝ ２ , ９ n － ８ ＝ ５ { 或 ９ m － ８ ＝ － １ ０ , ９ n － ８ ＝ － １ { 或 ９ m － ８ ＝ － ５ , ９ n － ８ ＝ － ２ , { 解 得 m ＝ １ , n ＝ ２ { 或 m ＝ １ ０ ９ , n ＝ １ ３ ９ { 或 m ＝ － ２ ９ , n ＝ ７ ９ { 或 m ＝ １ ３ , n ＝ ２ ３ ． { 又 m , n 是 整 數(shù) , 所 以 后 面 三 組 解 舍 去 , 故 m ＝ １ , n ＝ ２ ． 因 此 b ＝ － ( m ＋ n ) ＝ － ３ , c ＝ － m n ＝ － ２ , 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 為 y ＝ x ２ － ３ x ＋ ２ ． 易 求 得 點 A 、 B 的 坐 標(biāo) 為 ( １ , ０ ) 和 ( ２ , ０ ) , 點 C 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , ２ ) , 所 以 △ A B C 的 面 積 為 １ ２ × ( ２ － １ ) × ２ ＝ １ ． ６ ?? ( １ ) 在 R t △ A B C 中 , A C ＝ ３ , B C ＝ ４ , 所 以 A B ＝ ５ ． ∴ △ A B C 的 周 長 為 １ ２ ． 又 E F 平 分 △ A B C 的 周 長 , ∴ A E ＋ A F ＝ ６ , 而 A E ＝ x ． ∴ A F ＝ ６ － x ． ( 第 ６ 題 ) 過 點 F 作 F D ⊥ A C 于 點 D , 則 D F A F ＝ s i n A ＝ B C A B ＝ ４ ５ ． ∴ D F ６ － x ＝ ４ ５ ． ∴ D F ＝ ４ ５ ( ６ － x ) ． ∴ y ＝ １ ２ A E ?? D F ＝ １ ２ x ?? ４ ５ ( ６ － x ) ＝ － ２ ５ x ２ ＋ １ ２ ５ x ( ０ ＜ x ＜ ３ ) ． ( ２ ) 這 樣 的 E F 存 在 , 此 時 A E ＝ ６ － ６ ２ ． S △ A B C ＝ １ ２ B C ?? A C ＝ １ ２ × ４ × ３ ＝ ６ ． 由 E F 平 分 △ A B C 的 面 積 , 所 以 － ２ ５ x ２ ＋ １ ２ ５ x ＝ ３ , 解 得 x １ ＝ ６ － ６ ２ , x ２ ＝ ６ ＋ ６ ２ ． ∵ ０ ＜ x ＜ ３ , ∴ x ２ ＝ ６ ＋ ６ ２ , 不 合 題 意 舍 去 ． 當(dāng) x １ ＝ ６ － ６ ２ 時 , ６ － x ＝ ６ ＋ ６ ２ ＜ ５ , 符 合 題 意 , 所 以 這 樣 的 E F 存 在 , 此 時 A E ＝ ６ － ６ ２ ． 好 學(xué) 不 倦 者, 必 成 大 才. — — — 林 肯 第 二 十 六 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 ( 時 間: ６０ 分 鐘 滿 分: １００ 分) 一、 選 擇 題( 每 題 ２ 分, 共 １６ 分) １ ． 二 次 函 數(shù) y＝ ( x＋１ ) ２ ＋２ 的 最 小 值 是( ) ． A．２ B．１ C．－３ D． ２ ３ ２ ． 把 拋 物 線 y＝－ x ２ 向 左 平 移 １ 個 單 位, 然 后 向 上 平 移 ３ 個 單 位, 則 平 移 后 拋 物 線 的 解 析 式 為( ) ． A． y＝－ ( x－１ ) ２ －３ B． y＝－ ( x＋１ ) ２ －３ C． y＝－ ( x－１ ) ２ ＋３ D． y＝－ ( x＋１ ) ２ ＋３ ３ ． 如 圖, 拋 物 線 y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 與 x 軸 的 一 個 交 點 是( －２ , ０ ), 頂 點 為( １ , ３ ), 下 列 說 法 中 不 正 確 的 是 ( ) ． ( 第３ 題) A． 拋 物 線 的 對 稱 軸 是 直 線 x＝１ B． 拋 物 線 開 口 向 下 C． 拋 物 線 與 x 軸 的 另 一 交 點 是( ２ , ０ ) D． 當(dāng) x＝１ 時, y 有 最 大 值 是 ３ ４ ． 二 次 函 數(shù) y＝－３ x ２ －６ x＋５ 的 圖 象 的 頂 點 坐 標(biāo) 是 ( ) ． A． ( －１ , ８ ) B． ( １ , ８ ) C． ( －１ , ２ ) D． ( １ , －４ ) ５ ． 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 如 圖 所 示, 反 比 例 函 數(shù) y＝ a x 與 正 比 例 函 數(shù) y＝ b x 在 同 一 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 的 大 致 圖 象 是 ( ) ． ( 第５ 題) ６ ． 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 如 圖 所 示, 有 下 列 四 個 結(jié) 論: ① b＜０ ; ② c＞０ ; ③ b ２ －４ a c＞０ ; ④ a－ b＋ c ＜０ ． 其 中 正 確 的 有( ) ． ( 第６ 題) A．１ 個 B．２ 個 C．３ 個 D．４ 個 ７ ． 如 圖, 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 與 y 軸 正 半 軸 相 交, 其 頂 點 坐 標(biāo) 為 １ ２ , １ ( ) , 下 列 結(jié) 論: ① a c＜０ ; ② a＋ b＝ ０ ; ③４ a c－ b ２ ＝４ a ; ④ a＋ b＋ c＜０ ． 其 中 正 確 的 個 數(shù) 是 ( ) ． ( 第７ 題) A．１ B．２ C．３ D．４ ８ ． 若 把 函 數(shù) y＝ x 的 圖 象 用 E ( x , x ) 記, 函 數(shù) y＝２ x＋１ 的 圖 象 用 E ( x , ２ x＋１ ) 記,?? ?? , 則 E ( x , x ２ －２ x＋１ ) 可 以 由 E ( x , x ２ )( ) ． A． 向 上 平 移 １ 個 單 位 得 到 B． 向 下 平 移 １ 個 單 位 得 到 C． 向 左 平 移 １ 個 單 位 得 到 D． 向 右 平 移 １ 個 單 位 得 到 二、 填 空 題( 每 題 ２ 分, 共 １４ 分) ９ ． 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ －２ x－３ 的 圖 象 關(guān) 于 原 點 O ( ０ , ０ ) 對 稱 的 圖 象 的 解 析 式 是 ． １ ０ ． 若 把 代 數(shù) 式 x ２ －２ x－３ 化 為( x－ m ) ２ ＋ k 的 形 式, 其 中 m , k 為 常 數(shù), 則 m＋ k＝ ． １ １ ． 如 圖 所 示, 拋 物 線 y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 與 x 軸 的 兩 個 交 點 分 別 為 A ( －１ , ０ ) 和 B ( ２ , ０ ), 當(dāng) y＜０ 時, x 的 取 值 范 圍 是 ． ( 第１１ 題) １ ２ ． 已 知 點 A 、 B 是 拋 物 線 y＝ x ２ －４ x＋３ 上 位 置 不 同 的 兩 點, 且 關(guān) 于 拋 物 線 的 對 稱 軸 對 稱, 則 點 A 、 B 的 坐 標(biāo) 可 能 是 ． ( 寫 出 一 對 即 可)第 二 十 六 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 活 水 源 流 隨 處 滿, 東 風(fēng) 花 柳 逐 時 新. — — — 于 謙 １ ３ ． 如 圖, 已 知 拋 物 線 y＝ x ２ ＋６ x＋ c 經(jīng) 過 點( ０ , －３ ), 請 你 確 定 一 個 b 的 值, 使 該 拋 物 線 與 x 軸 的 一 個 交 點 在( １ , ０ ) 和 ( ３ , ０ ) 之 間 你 所 確 定 的 b 的 值 是 ． ( 第１３ 題) ( 第１４ 題) １ ４ ． 如 圖, 是 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 的 一 部 分, 給 出 下 列 命 題: ① a＋ b＋ c＝０ ; ② b＞２ a ; ③ a x ２ ＋ b x＋ c＝０ 的 兩 根 分 別 為 －３ 和 １ ; ④ a－２ b＋ c＞０ ． 其 中 正 確 的 命 題 是 ． ( 只 要 求 填 寫 正 確 命 題 的 序 號) １ ５ ． 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ ( x－２ a ) ２ ＋ ( a－１ )( a 為 常 數(shù)), 當(dāng) a 取 不 同 的 值 時, 其 圖 象 構(gòu) 成 一 個“ 拋 物 線 系” ． 下 圖 分 別 是 當(dāng) a＝－１ , a＝０ , a＝１ , a＝２ 時 二 次 函 數(shù) 的 圖 象 ． 它 們 的 頂 點 在 一 條 直 線 上, 這 條 直 線 的 解 析 式 是 y＝ ． ( 第１５ 題) 三、 解 答 題( 第 １６ 、 １７ 題 每 題 ７ 分, 第 １８~２４ 題 每 題 ８ 分, 共 ７０ 分) １ ６ ． 如 圖, 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 與 x 軸 交 于 點 B 、 C , 與 y 軸 交 于 點 A ． ( １ ) 根 據(jù) 圖 象 確 定 a , b , c 的 符 號, 并 說 明 理 由; ( ２ ) 若 點 A 的 坐 標(biāo) 為( ０ , －３ ), ∠ A B C＝４５ ° , ∠ A C B＝ ６０ ° , 求 這 個 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 ． ( 第１６ 題) １ ７ ． 一 次 函 數(shù) y＝ x－３ 的 圖 象 與 x 軸、 y 軸 分 別 交 于 點 A 、 B ． 一 個 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x＋ c 的 圖 象 經(jīng) 過 點 A 、 B ． ( １ ) 求 點 A 、 B 的 坐 標(biāo), 并 畫 出 一 次 函 數(shù) y＝ x－３ 的 圖 象; ( ２ ) 求 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 及 它 的 最 小 值 ． １ ８ ． 已 知 拋 物 線 y＝ a ( x－ t－１ ) ２ ＋ t ２ ( a , t 是 常 數(shù), a≠０ , t≠ ０ ) 的 頂 點 為 點 A , 拋 物 線 y＝ x ２ －２ x＋１ 的 頂 點 為 點 B ． ( １ ) 判 斷 點 A 是 否 在 拋 物 線 y＝ x ２ －２ x＋１ 上, 請 說 明 理 由; ( ２ ) 如 果 拋 物 線 y＝ a ( x－ t－１ ) ２ ＋ t ２ 經(jīng) 過 點 B ． ① 求 a 的 值; ② 這 條 拋 物 線 與 x 軸 的 兩 個 交 點 和 它 的 頂 點 A 能 否 構(gòu) 成 直 角 三 角 形? 若 能, 請 求 出 t 的 值; 若 不 能, 請 說 明 理 由 ． １ ９ ． 對 于 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c , 如 果 當(dāng) x 取 任 意 整 數(shù) 時, 函 數(shù) 值 y 都 是 整 數(shù), 那 么 我 們 把 該 函 數(shù) 的 圖 象 叫 做 整 點 拋 物 線( 例 如: y＝ x ２ ＋２ x＋２ ) ． ( １ ) 請 你 寫 出 一 個 二 次 項 系 數(shù) 的 絕 對 值 小 于 １ 的 整 點 拋 物 線 的 解 析 式 ;( 不 必 證 明) ( ２ ) 請 探 索: 是 否 存 在 二 次 項 系 數(shù) 的 絕 對 值 小 于 １ ２ 的 整 點 拋 物 線? 若 存 在, 請 寫 出 其 中 一 條 拋 物 線 的 解 析 式; 若 不 存 在, 請 說 明 理 由 ． ２ ０ ． 已 知 拋 物 線 y＝３ a x ２ ＋２ b x＋ c ． ( １ ) 若 a＝ b＝１ , c＝－１ , 求 該 拋 物 線 與 x 軸 公 共 點 的 坐 標(biāo); ( ２ ) 若 a＝ b＝１ , 且 當(dāng) －１＜ x＜１ 時, 拋 物 線 與 x 軸 有 且 只 有 一 個 公 共 點, 求 c 的 取 值 范 圍; ( ３ ) 若 a＋ b＋ c＝０ , 且 當(dāng) x１＝０ 時, 對 應(yīng) 的 y１＞０ ; 當(dāng) x２＝ １ 時, 對 應(yīng) 的 y２＞０ , 試 判 斷 當(dāng) ０＜ x＜１ 時, 拋 物 線 與 x 軸 是 否 有 公 共 點 ． 若 有, 請 證 明 你 的 結(jié) 論; 若 沒 有, 闡 述 理 由 ． 大 志, 非 才 不 就, 大 才 非 學(xué) 不 成. — — — 鄭 心 材 ２ １ ． 如 圖( １ ), 某 灌 溉 設(shè) 備 的 噴 頭 B 高 出 地 面 １ ． ２５m , 噴 出 的 拋 物 線 形 水 流 在 與 噴 頭 底 部 A 的 距 離 為 １m 處 達 到 距 地 面 最 大 高 度 ２ ． ２５m , 試 在 恰 當(dāng) 的 直 角 坐 標(biāo) 系 中 求 出 與 該 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 ． 學(xué) 生 小 龍 在 解 答 圖( １ ) 所 示 的 問 題 時, 具 體 解 答 如 下: ( １ ) ( ２ ) ( 第２１ 題) ① 以 水 流 的 最 高 點 為 原 點, 過 原 點 的 水 平 線 為 橫 軸, 過 原 點 的 鉛 垂 線 為 縱 軸, 建 立 如 圖( ２ ) 所 示 的 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系; ② 設(shè) 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y＝ a x ２ ; ③ 根 據(jù) 題 意 可 得 點 B 與 x 軸 的 距 離 為 １m , 故 點 B 的 坐 標(biāo) 為( －１ , １ ); ④ 代 入 y＝ a x ２ , 得 －１＝ a ?? １ , 所 以 a＝－１ ; ⑤ 所 以 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y＝－ x ２ ． 數(shù) 學(xué) 老 師 看 了 小 龍 的 解 題 過 程 說: “ 小 龍 的 解 答 是 錯 誤 的” ． ( １ ) 請 指 出 小 龍 的 解 題 從 第 步 開 始 出 現(xiàn) 錯 誤, 錯 誤 的 原 因 是 什 么? ( ２ ) 請 你 寫 出 完 整 的 正 確 解 答 過 程 ． ２ ２ ． 一 快 餐 店 試 銷 某 種 套 餐, 試 銷 一 段 時 間 后 發(fā) 現(xiàn), 每 份 套 餐 的 成 本 為 ５ 元, 該 店 每 天 固 定 支 出 費 用 為 ６００ 元( 不 含 套 餐 成 本) ． 若 每 份 售 價 不 超 過 １０ 元 時, 每 天 可 銷 售 ４００ 份; 若 每 份 售 價 超 過 １０ 元, 每 提 高 １ 元, 每 天 的 銷 售 量 就 減 少 ４０ 份 ． 為 了 便 于 結(jié) 算, 每 份 套 餐 的 售 價 x ( 元) 取 整 數(shù), 用 y ( 元) 表 示 該 店 日 凈 收 入 ． ( 日 凈 收 入 ＝ 每 天 的 銷 售 額 － 套 餐 成 本 － 每 天 固 定 支 出) ( １ ) 求 y 與 x 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ２ ) 若 每 份 套 餐 售 價 不 超 過 １０ 元, 要 使 該 店 日 凈 收 入 不 少 于 ８００ 元, 那 么 每 份 售 價 最 少 不 低 于 多 少 元? ( ３ ) 該 店 既 要 吸 引 顧 客, 使 每 天 銷 售 量 較 大, 又 要 有 較 高 的 日 凈 收 入 ． 按 此 要 求, 每 份 套 餐 的 售 價 應(yīng) 定 為 多 少 元? 此 時 日 凈 收 入 為 多 少? ２ ３ ． 如 圖, 在 邊 長 為 ２ 的 正 方 形 A B C D 中, 點 P 為 A B 的 中 點, 點 Q 為 邊 C D 上 一 動 點, 設(shè) D Q＝ t ( ０≤ t≤２ ), 線 段 P Q 的 垂 直 平 分 線 分 別 交 邊 A D 、 B C 于 點 M 、 N , 過 點 Q 作 Q E⊥ A B 于 點 E , 過 點 M 作 M F⊥ B C 于 點 F ． ( １ ) 當(dāng) t≠１ 時, 求 證: △ P E Q≌△ N F M ; ( ２ ) 順 次 連 接 點 P 、 M 、 Q 、 N , 設(shè) 四 邊 形 P M Q N 的 面 積 為 S , 求 出 S 與 自 變 量 t 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 求 S 的 最 小 值 ． ( 第２３ 題) ２ ４ ． 如 圖, 已 知 拋 物 線 y＝－ x ２ ＋ b x＋９－ b ２ ( b 為 常 數(shù)) 經(jīng) 過 坐 標(biāo) 原 點 O , 且 與 x 軸 交 于 另 一 點 E , 其 頂 點 M 在 第 一 象 限 ． ( １ ) 求 該 拋 物 線 所 對 應(yīng) 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式; ( ２ ) 設(shè) 點 A 是 該 拋 物 線 上 位 于 x 軸 上 方, 且 在 其 對 稱 軸 左 側(cè) 的 一 個 動 點; 過 點 A 作 x 軸 的 平 行 線 交 該 拋 物 線 于 另 一 點 D , 再 作 A B⊥ x 軸 于 點 B , D C⊥ x 軸 于 點 C ． ① 當(dāng) 線 段 A B 、 B C 的 長 都 是 整 數(shù) 個 單 位 長 度 時, 求 矩 形 A B C D 的 周 長; ② 求 矩 形 A B C D 的 周 長 的 最 大 值, 并 寫 出 此 時 點 A 的 坐 標(biāo); ③ 當(dāng) 矩 形 A B C D 的 周 長 取 得 最 大 值 時, 它 的 面 積 是 否 也 同 時 取 得 最 大 值? 請 判 斷 并 說 明 理 由 ． ( 第２４ 題)第 二 十 六 章 綜 合 提 優(yōu) 測 評 卷 １ ?? A ２ ． D ３ ． C ４ ． A ５ ． B ６ ． C ７ ． C ８ ． D ９ ?? y ＝ － x ２ － ２ x ＋ ３ １ ０ ． － ３１ １ ?? x ＜ － １ 或 x ＞ ２ １ ２ ． ( １ , ０ ) , ( ３ , ０ ) １ ３ ?? 如 － ８ ( 答 案 不 唯 一 ) １ ４ ?? ① ③ １ ５ ?? １ ２ x － １ １ ６ ?? ( １ ) ∵ 拋 物 線 開 口 向 上 , ∴ a ＞ ０ ． 由 對 稱 軸 在 y 軸 左 側(cè) , 則 － b ２ a ＜ ０ ． ∴ b ＞ ０ ． 又 拋 物 線 與 y 軸 的 負 半 軸 相 交 , ∴ c ＜ ０ ． ( ２ ) 連 接 A B 、 A C ． 在 R t △ A O B 中 , ∠ A B O ＝ ４ ５ ° , ∴ ∠ O A B ＝ ４ ５ ° ． ∴ O B ＝ O A ． ∴ B ( － ３ , ０ ) ． 在 R t △ A C O 中 , ∠ A C O ＝ ６ ０ ° , ∴ O C ＝ ３ ． ∴ C ( ３ , ０ ) ． 設(shè)二次 函數(shù)的 解析 式為 y ＝ a x ２ ＋ b x ＋ c ( a ≠ ０ ) , 則 ９ a － ３ b ＋ c ＝ ０ , ３ a ＋ ３ b ＋ c ＝ ０ , c ＝ － ３ ． { 解 得 a ＝ ３ ３ , b ＝ ３ － １ , c ＝ － ３ ． ì ? í ? ? ? ? ∴ 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 為 y ＝ ３ ３ x ２ ＋ ( ３ － １ ) x － ３ ． １ ７ ?? ( １ ) 令 y ＝ ０ , 得 x ＝ ３ , ∴ 點 A 的 坐 標(biāo) 是 ( ３ , ０ ) ． 令 x ＝ ０ , 得 y ＝ － ３ , ∴ 點 B 的 坐 標(biāo) 是 ( ０ , － ３ ) ． ( ２ ) ∵ 二 次 函 數(shù) y ＝ x ２ ＋ b x ＋ c 的 圖 象 經(jīng) 過 點 A 、 B , ( 第 １ ７ 題 ) ∴ ０ ＝ ９ ＋ ３ b ＋ c , － ３ ＝ c ． { 解 得 b ＝ － ２ , c ＝ － ３ ． { ∴ 二 次 函 數(shù) y ＝ x ２ ＋ b x ＋ c 的 解 析 式 是 y ＝ x ２ － ２ x － ３ ． ∵ y ＝ x ２ － ２ x － ３ ＝ ( x － １ ) ２ － ４ , ∴ 函 數(shù) y ＝ x ２ － ２ x － ３ 的 最 小 值 為 － ４ ． １ ８ ?? ( １ ) 點 A 在 拋 物 線 y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ 上 ． ∵ 拋 物 線 y ＝ a ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 的 頂 點 為 A ( t ＋ １ , t ２ ) , 而 當(dāng) x ＝ t ＋ １ 時 , y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ ＝ ( t ＋ １ ) ２ － ２ ( t ＋ １ ) ＋ １ ＝ t ２ , ∴ 點 A 在 拋 物 線 y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ 上 ． ( ２ ) ① 拋 物 線 y ＝ x ２ － ２ x ＋ １ 的 頂 點 為 B ( １ , ０ ) ． ∵ 拋 物 線 y ＝ a ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 經(jīng) 過 點 B , ∴ a ( １ － t － １ ) ２ ＋ t ２ ＝ ０ ． ∴ t ２ ( a ＋ １ ) ＝ ０ ． ∵ t ≠ ０ , ∴ a ＋ １ ＝ ０ ． ∴ a ＝ － １ ． ② 拋 物 線 y ＝ a ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 和 x 軸 有 兩 個 交 點 , 設(shè) 另 一 個 交 點 為 點 C ． 令 y ＝ ０ , 得 － ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ ＝ ０ ． 解 得 x １ ＝ １ , x ２ ＝ ２ t ＋ １ ． ∴ 點 C 的 坐 標(biāo) 是 ( ２ t ＋ １ , ０ ) ． 由 拋 物 線 的 對 稱 性 可 知 , △ A B C 為 等 腰 直 角 三 角 形 , 過 點 A 作 A D ⊥ x 軸 , 垂 足 為 D ． 則 A D ＝ B D ． 當(dāng) 點 C 在 點 B 的 左 邊 時 , t ２ ＝ １ － ( t ＋ １ ) , 解 得 t ＝ － １ 或 t ＝ ０ ( 舍 去 ) ; 當(dāng) 點 C 在 點 B 的 右 邊 時 , t ２ ＝ ( t ＋ １ ) － １ , 解 得 t ＝ １ 或 t ＝ ０ ( 舍 去 ) ． ∴ 當(dāng) t ＝ ± １ 時 , 拋 物 線 y ＝ － ( x － t － １ ) ２ ＋ t ２ 和 x 軸 的 兩 個 交 點 能 與 頂 點 A 構(gòu) 成 直 角 三 角 形 ． １ ９ ?? ( １ ) 如 : y ＝ １ ２ x ２ ＋ １ ２ x , y ＝ － １ ２ x ２ － １ ２ x 等 等 ． ( 只 要 寫 出 一 個 符 合 條 件 的 函 數(shù) 解 析 式 ) ( ２ ) 假 設(shè) 存 在 符 合 條 件 的 拋 物 線 , 則 對 于 拋物 線 y ＝ a x ２ ＋ b x ＋ c ． 當(dāng) x ＝ ０ 時 , y ＝ c ; 當(dāng) x ＝ １ 時 , y ＝ a ＋ b ＋ c ． 由 整 點 拋 物 線 定 義 , 知 c 為 整 數(shù) , a ＋ b ＋ c 為 整 數(shù) , ∴ a ＋ b 必 為 整 數(shù) ． 又 當(dāng) x ＝ ２ 時 , y ＝ ４ a ＋ ２ b ＋ c ＝ ２ a ＋ ２ ( a ＋ b ) ＋ c 是 整 數(shù) , ∴ ２ a 必 為 整 數(shù) , 從 而 a 應(yīng) 為 １ ２ 的 整 數(shù) 倍 ． ∵ a ≠ ０ , ∴ | a | ≥ １ ２ ． ∴ 不 存 在 二 次 項 系 數(shù) 的 絕 對 值 小 于 １ ２ 的 整 點 拋 物 線 ． ２ ０ ?? ( １ ) 當(dāng) a ＝ b ＝ １ , c ＝ － １ 時 , 拋 物 線 為 y ＝ ３ x ２ ＋ ２ x － １ , 方 程 ３ x ２ ＋ ２ x － １ ＝ ０ 的 兩 個 根 為 x １ ＝ － １ , x ２ ＝ １ ３ ． ∴ 該 拋 物 線 與 x 軸 公 共 點 的 坐 標(biāo) 是 ( － １ , ０ ) 和 １ ３ , ０ ( ) ． ( ２ ) 當(dāng) a ＝ b ＝ １ 時 , 拋 物 線 為 y ＝ ３ x ２ ＋ ２ x ＋ c , 且 與 x 軸 有 公 共 點 ． 對 于 方 程 ３ x ２ ＋ ２ x ＋ c ＝ ０ , 判 別 式 Δ ＝ ４ － １ ２ c ≥ ０ , 有 c ≤ １ ３ ． ① 當(dāng) c ＝ １ ３ 時 , 由 方 程 ３ x ２ ＋ ２ x ＋ １ ３ ＝ ０ , 解 得 x １ ＝ x ２ ＝ － １ ３ ． 此 時 拋 物 線 為 y ＝ ３ x ２ ＋ ２ x ＋ １ ３ 與 x 軸 只 有 一 個 公 共 點 － １ ３ , ０ ( ) ． ② 當(dāng) c ＜ １ ３ 時 , x １ ＝ － １ 時 , y １ ＝ ３ － ２ ＋ c ＝ １ ＋ c , x ２ ＝ １ 時 , y ２ ＝ ３ ＋ ２ ＋ c ＝ ５ ＋ c ． 由 已 知 , 當(dāng) － １ ＜ x ＜ １ 時 , 該 拋 物 線 與 x 軸 有 且 只 有 一 個 公 共 點 , 考 慮 其 對 稱 軸 為 x ＝ － １ ３ , 應(yīng) 有 y １ ≤ ０ , y ２ ＞ ０ , { 即 １ ＋ c ≤ ０ , ５ ＋ c ＞ ０ ． { 解 得 － ５ ＜ c ≤ － １ ． 綜 上 , c ＝ １ ３ 或 － ５ ＜ c ≤ － １ ． ( ３ ) 對 于 二 次 函 數(shù) y ＝ ３ a x ２ ＋ ２ b x ＋ c , 由 已 知 x １ ＝ ０ 時 , y １ ＝ c ＞ ０ ; x ２ ＝ １ 時 , y ２ ＝ ３ a ＋ ２ b ＋ c ＞ ０ ． 又 a ＋ b ＋ c ＝ ０ , ∴ ３ a ＋ ２ b ＋ c ＝ ( a ＋ b ＋ c ) ＋ ２ a ＋ b ＝ ２ a ＋ b ． 于 是 ２ a ＋ b ＞ ０ ． 而 b ＝ － a － c , ∴ ２ a － a － c ＞ ０ , 即 a － c ＞ ０ ． ∴ a ＞ c ＞ ０ ． ∵ 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ３ a x ２ ＋ ２ b x ＋ c ＝ ０ 的 判 別 式 Δ ＝ ４ b ２ － １ ２ a c ＝ ４ ( a ＋ c ) ２ － １ ２ a c ＝ ４ [ ( a － c ) ２ ＋ a c ] ＞ ０ , ∴ 拋 物 線 y ＝ ３ a x ２ ＋ ２ b x ＋ c 與 x 軸 有 兩 個 公 共 點 , 頂 點 在 x 軸 下 方 ． ( 第 ２ ０ 題 ) 又 該 拋 物 線 的 對 稱 軸 x ＝ － b ３ a , 由 a ＋ b ＋ c ＝ ０ , c ＞ ０ , ２ a ＋ b ＞ ０ , 得 － ２ a ＜ b ＜ － a ． ∴ １ ３ ＜ － b ３ a ＜ ２ ３ ． 又 由 已 知 當(dāng) x １ ＝ ０ 時 , y １ ＞ ０ ; 當(dāng) x ２ ＝ １ 時 , y ２ ＞ ０ ． 觀 察 圖 象 , 可 知 在 ０ ＜ x ＜ １ 范 圍 內(nèi) , 該 拋 物 線 與 x 軸 有 兩 個 公 共 點 ． ２ １ ?? ( １ ) ③ 原 因 : 點 B 的 坐 標(biāo) 寫 錯 了 , 應(yīng) 是 ( － １ , － １ )( ２ ) 正 確 解 答 : 如 圖 ( ２ ) 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 , 設(shè) 水 流 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y ＝ a x ２ , 由 題 意 可 知 B ( － １ , － １ ) 代 人 y ＝ a x ２ , 得 － １ ＝ a ( － １ ) ２ , 即 a ＝ － １ ． 即 拋 物 線 水 流 對 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù) 關(guān) 系 式 為 y ＝ － x ２ ． ２ ２ ?? ( １ ) 當(dāng) ５ ＜ x ≤ １ ０ 時 , y ＝ ４ ０ ０ ( x － ５ ) － ６ ０ ０ , 即 y ＝ ４ ０ ０ x － ２ ６ ０ ０ ． 當(dāng) x ＞ １ ０ 時 , y ＝ ( x － ５ ) [ ４ ０ ０ － ４ ０ ( x － １ ０ ) ] － ６ ０ ０ , 即 y ＝ － ４ ０ x ２ ＋ １ ０ ０ ０ x － ４ ６ ０ ０ ． ( ２ ) 由 題 意 , 得 ４ ０ ０ x － ２ ６ ０ ０ ≥ ８ ０ ０ , 解 得 x ≥ ８ ． ５ ． ∵ x 為 整 數(shù) , ∴ 每 份 售 價 最 少 不 低 于 ９ 元 ． ( ３ ) 當(dāng) ５ ＜ x ≤ １ ０ 時 , y 最 大 ＝ １ ４ ０ ０ ． 當(dāng) x ＞ １ ０ 時 , 由 題 意 , 得 y ＝ － ４ ０ x ２ ＋ １ ０ ０ ０ x － ４ ６ ０ ０ ＝ － ４ ０ x － ２ ５ ２ ( ) ２ ＋ １ ６ ５ ０ ． ∴ 當(dāng) x ＝ １ ２ 或 x ＝ １ ３ ( 不 合 題 意 , 舍 去 ) 時 , y 值 最 大 ． y ＝ － ４ ０ × １ ２ － ２ ５ ２ ( ) ２ ＋ １ ６ ５ ０ ＝ １ ６ ４ ０ ． ∴ 每 份 套 餐 的 售 價 定 為 １ ２ 元 時 , 每 天 銷 量 較 大 且 日 凈 收 入 也 較 高 , 為 １ ６ ４ ０ 元 ． ２ ３ ?? ( １ ) ∵ 四 邊 形 A B C D 是 正 方 形 , ∴ ∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ D ＝ ９ ０ ° , A D ＝ A B ． ∵ Q E ⊥ A B , M F ⊥ B C , ∴ ∠ A E Q ＝ ∠ M F B ＝ ９ ０ ° ． ∴ 四 邊 形 A B F M 、 A E Q D 都 是 矩 形 ． ∴ M F ＝ A B , Q E ＝ A D , M F ⊥ Q E ． ∴ M F ＝ Q E ． 又 P Q ⊥ M N , ∴ ∠ E Q P ＝ ∠ F M N ． 又 ∠ Q E P ＝ ∠ M F N ＝ ９ ０ ° , ∴ △ P E Q ≌ △ N F M ． ( ２ ) ∵ 點 P 是 邊 A B 的 中 點 , A B ＝ ２ , D Q ＝ A E ＝ t , ∴ P A ＝ １ , P E ＝ １ － t , Q E ＝ ２ ． 由 勾 股 定 理 , 得 P Q ＝ Q E ２ ＋ P E ２ ＝ ( １ － t ) ２ ＋ ４ ． ∵ △ P E Q ≌ △ N F M , ∴ M N ＝ P Q ＝ ( １ － t ) ２ ＋ ４ ． 又 P Q ⊥ M N , ∴ S ＝ １ ２ P Q ?? M N ＝ １ ２ [ ( １ － t ) ２ ＋ ４ ] ＝ １ ２ t ２ － t ＋ ５ ２ ． ∵ ０ ≤ t ≤ ２ , ∴ 當(dāng) t ＝ １ 時 , S 最 小 值 ＝ ２ ． 綜 上 , S ＝ １ ２ t ２ － t ＋ ５ ２ , S 的 最 小 值 為 ２ ． ２ ４ ?? ( １ ) 拋 物 線 過 原 點 , 所 以 ９ － b ２ ＝ ０ ． 解 得 b ＝ ± ３ , 對 稱 軸 在 y 軸 右 側(cè) , a , b 異 號 , ∵ a ＝ － １ ＜ ０ , ∴ b ＝ ３ ． ∴ 拋 物 線 解 析 式 為 y ＝ － x ２ ＋ ３ x ． ( ２ ) ① 拋 物 線 頂 點 M ３ ２ , ９ ４ ( ) , 要 使 A B 為 整 數(shù) , A B ＝ １ 或 A B ＝ ２ ． 當(dāng) A B ＝ １ 時 , B C 為 無 理 數(shù) , 故 A B ＝ ２ ． 把 y ＝ ２ 代 入 y ＝ － x ２ ＋ ３ x , 解 得 x １ ＝ １ , x ２ ＝ ２ ． B C ＝ ２ － １ ＝ １ ． l 矩 形 A B C D ＝ ２ ＋ １ ＋ ２ ＋ １ ＝ ６ ． ② 設(shè) 點 A ( x ０ , － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ) , 矩 形 A B C D 周 長 為 l , 則 點 C ( ３ － x ０ , ０ ) ． l ＝ ２ ( － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ) ＋ ２ ( ３ － x ０ － x ０ ) ＝ － ２ x ２ ０ ＋ ２ x ０ ＋ ６ ＝ － ２ x ０ － １ ２ ( ) ２ ＋ １ ３ ２ ． 所 以 當(dāng) x ０ ＝ １ ２ 時 , l 最 大 ＝ １ ３ ２ ． 此 時 － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ＝ ５ ４ ． 所 以 A １ ２ , ５ ４ ( ) ． ③ 設(shè) 矩 形 A B C D 的 面 積 為 S , 則 S ＝ ( － x ２ ０ ＋ ３ x ０ ) ( ３ － ２ x ０ ) ＝ x ０ ( ３ － x ０ ) ( ３ － ２ x ０ ) ． 當(dāng) x ０ ＝ １ ２ 時 , S ＝ ５ ２ ．而 當(dāng) x ０ ＝ ０ ． ６ 時 , S ＝ ２ ． ５ ９ ２ ＞ ５ ２ ． 所 以 當(dāng) 矩 形 A B C D 的 周 長 取 得 最 大 值 時 , 它 的 面 積 不 是 最 大 值 ．