計(jì)算流體力學(xué)第2講差分方法.ppt

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2019/12/18,第二講有限差分法（1）,李明軍湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)樓315；52377625email:alimingjun@,計(jì)算流體力學(xué)講義,第2節(jié)差分方法理論基礎(chǔ),第0節(jié)前言,第1節(jié)有限差分法基本概念,2019/12/18,第0節(jié)前言,(1)有限差分法研究背景,(2)研究CFD的手段,研究CFD的理論手段,研究CFD的實(shí)驗(yàn)手段,研究CFD的計(jì)算手段,2019/12/18,傳統(tǒng)計(jì)算方法：有限差分法，有限體積法，有限元法，譜方法（譜元法）等；最近發(fā)展的方法:基于粒子的算法（格子-Boltzmann,BGK），無(wú)網(wǎng)格,(1)有限差分法研究背景,3,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,4,流體力學(xué),,理論研究,實(shí)驗(yàn)研究,數(shù)值研究,計(jì)算流體力學(xué)（數(shù)值計(jì)算技術(shù)、計(jì)算方法研究）,理論研究：格式推導(dǎo)、穩(wěn)定性分析，精度及誤差分析，……,數(shù)值實(shí)驗(yàn)：采用實(shí)際問(wèn)題考核方法的正確性,數(shù)值研究：采用數(shù)值計(jì)算推導(dǎo)格式、考察精度/穩(wěn)定性/分辨率……,“計(jì)算流體力學(xué)”作為一個(gè)學(xué)科，其研究手段依然包括理論、實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬。,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,與的依賴關(guān)系,5,(2)研究CFD的手段,例：Fourier分析,線性系統(tǒng)：線性方程+線性格式,任意函數(shù)都可分解為三角函數(shù)的疊加,差分系統(tǒng)(解差分方程),初始值,數(shù)值解（特定時(shí)刻離散的函數(shù)值）,記為：,是差分算子，把離散函數(shù)（有限點(diǎn)列）映射為另一個(gè)離散函數(shù),,{vi}與{ui}的依賴關(guān)系,,,線性系統(tǒng)，可大為簡(jiǎn)化,波數(shù)空間單一的依賴關(guān)系：,原理：線性系統(tǒng)，輸入一個(gè)波，只能輸出一個(gè)波（且波數(shù)不變）。非線性系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生多個(gè)諧波,線性差分系統(tǒng)：針對(duì)一個(gè)單波，研究經(jīng)過(guò)差分系統(tǒng)后的變化就可以了解該系統(tǒng)。Fourier誤差分析；Fourier穩(wěn)定性分析,理論分析的局限性：對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)（非線性方程、非線性格式）非常困難,CopyrightbyLiMingjun,研究CFD的理論手段,2019/12/18,6,研究CFD的實(shí)驗(yàn)手段:,例：精度分析,思想：通過(guò)具體算例來(lái)研究（考核，分析…）差分方法,典型的文章：提出方法+理論分析+算例驗(yàn)證,差分離散,理論方法，Taylor展開(kāi)，求余項(xiàng)。對(duì)于復(fù)雜（如非線性）格式，難度大。,實(shí)驗(yàn)方法，通過(guò)算例考核精度,精確解:,為該離散函數(shù)的模,,計(jì)算誤差:,分析誤差對(duì)網(wǎng)格步長(zhǎng)的依賴關(guān)系,,斜率為精度的階數(shù)（通常用最小二乘法計(jì)算）,斜率為精度的階數(shù)n,CopyrightbyLiMingjun,常用的模：1模：2模：無(wú)窮模：,2019/12/18,7,常用的驗(yàn)證算例（“實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”）,考核方法通常找一些難度大的（條件苛刻、極端）的算例。否則，無(wú)法突出方法的優(yōu)越性。1維算例：Shu-OsherSod激波管，方波/尖波……,Shu-Osher問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果（Lietal.Init.J.Num.Fluid.2005),航空領(lǐng)域權(quán)威的考核算例——DPW標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算模型,CopyrightbyLiMingjun,2維算例：前/后臺(tái)階、雙馬赫反射、二維Riemann問(wèn)題、RT不穩(wěn)定性問(wèn)題、翼型擾流、圓柱繞流3維復(fù)雜算例：各向同性湍流的DNS,槽道湍流的DNS,激波-邊界層干擾的DNS,2019/12/18,8,研究CFD的計(jì)算手段,例：差分格式構(gòu)造,理論方法：手工推導(dǎo)系數(shù)（工作量大）,數(shù)值方法：通過(guò)數(shù)值手段推導(dǎo)系數(shù),數(shù)值求解，獲得系數(shù),格式優(yōu)化；通過(guò)數(shù)值計(jì)算手段進(jìn)行Fourier分析;……,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,第1節(jié)有限差分法基本原理,1.差分方法的基本概念,2.時(shí)間項(xiàng)的離散,3.數(shù)值算例,4*.復(fù)雜網(wǎng)格的處理方法,2019/12/18,,1.差分方法的基本概念,,,離散點(diǎn)上利用Taylor展開(kāi)，把微分轉(zhuǎn)化成差分,,,,,,（等距網(wǎng)格）,10,CopyrightbyLiMingjun,,,2019/12/18,多維問(wèn)題各方向獨(dú)自離散；（時(shí)間同樣考慮）,比有限體積法計(jì)算量?。槐阌跇?gòu)造高階格式；,11,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,基本概念：,截?cái)嗾`差,差分表達(dá)式,（1階）,精度,（2階）,12,CopyrightbyLiXinliang,a.差分表達(dá)式及截?cái)嗾`差,2019/12/18,b.前差、后差、中心差,前,前差,中心差,,,后差,其他：向前（后）偏心差分；,后,13,CopyrightbyLiXinliang,2019/12/18,差分方程,如何確定精度？1）理論方法，給出誤差表達(dá)式2）數(shù)值方法，給出誤差對(duì)的數(shù)值依賴關(guān)系,,微分方程,差分方程,截?cái)嗾`差：,14,CopyrightbyLiXinliang,經(jīng)差分離散后的方程，稱為差分方程,2019/12/18,d.差分方程的修正方程,修正方程——差分方程準(zhǔn)確逼近（無(wú)誤差逼近）的方程,,差分方程,截?cái)嗾`差,微分方程=差分方程+截?cái)嗾`差,差分方程=微分方程-截?cái)嗾`差≡新的微分方程（修正方程）,等價(jià)于,修正方程,,,15,,2019/12/18,通常要求：修正方程中不出現(xiàn)時(shí)間的高價(jià)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（便于進(jìn)行空間分析）,修正方程,主導(dǎo)項(xiàng)：1階；耗散型,16,2019/12/18,17,e.顯格式及隱格式,顯格式：無(wú)需解方程組就可直接計(jì)算n+1層的值；,隱格式：必須求解方程組才能計(jì)算n+1層的值.,2019/12/18,e.守恒型差分格式,基本思想：保證（整個(gè)區(qū)域）積分守恒律嚴(yán)格滿足,,,稱為守恒型差分格式。,,其中：,特點(diǎn)：消去了中間點(diǎn)上的值，只保留兩端物理含義：只要邊界上沒(méi)有誤差，總體積分方程不會(huì)有任何誤差。,如果是準(zhǔn)確的，則也是準(zhǔn)確的（假設(shè)邊界條件沒(méi)有誤差）,,,,守恒性的例子：環(huán)形管道里的流動(dòng)——總質(zhì)量保持不變,早期——極為強(qiáng)調(diào)守恒性最近——重新認(rèn)識(shí),18,守恒型方程,定義：對(duì)于上述守恒型方程，差分格式,2019/12/18,關(guān)于守恒性格式的一些注解,注意：符號(hào),與函數(shù)f在點(diǎn)的值無(wú)關(guān)！,是j點(diǎn)周圍幾個(gè)點(diǎn)上f(或者u)值的函數(shù)，為一記號(hào)，,CopyrightbyLiMingjun,請(qǐng)勿理解為點(diǎn)的值！,（1）流通量形式,2019/12/18,（2）常系數(shù)線性格式都是守恒的,例如，差分格式：,等價(jià)于,其中,20,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,（3）關(guān)于,得到后，將j替換成j-1即可得到,,無(wú)需單獨(dú)計(jì)算！,21,CopyrightbyLiMingjun,（白白增加計(jì)算量）,守恒方程+守恒格式=守恒解,2019/12/18,22,f.傳統(tǒng)型（非緊致）差分格式及緊致型差分格式,傳統(tǒng)型：運(yùn)用多個(gè)點(diǎn)函數(shù)值的組合逼近一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),,,,,…j-2j-1jj+1…,,,緊致型：多個(gè)點(diǎn)函數(shù)值的組合逼近多個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值的組合,,例：,,,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,23,例：,聯(lián)立求解，多對(duì)角方程?追趕法求解（LU分解法）,緊致格式：同樣的基架點(diǎn)，可構(gòu)造更高階格式,CopyrightbyLiMingjun,（最高）精度=自由參數(shù)個(gè)數(shù)-1,（因?yàn)樽杂蓞?shù)更多）,2019/12/18,CopyrightbyLiXinliang,24,一些”差分算子”記號(hào),約定：,一階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù),一階精度前差,上面兩個(gè)算子表示的差分格式形式可以任意，包括線性/非線性、低階/高階、普通/緊致……,二階中心,下面三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)的差分算子有固定含義。,一階精度后差,,,,…j-1jj+1…,2019/12/18,2.時(shí)間項(xiàng)的離散,(1)直接離散法——把時(shí)間導(dǎo)數(shù)直接差分離散,1階Euler顯格式,1階Euler隱格式,2階Crank-Nicolson格式,守恒方程,2019/12/18,(2)Runge-Kutta格式,這是目前最常使用的3步3階TVD型R-K方法。,推薦！,時(shí)間離散算子為：,2019/12/18,在某一點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開(kāi)，構(gòu)造格式,(3)時(shí)-空耦合離散,n+1,n,,,,,,,j-1jj+1,(i)蛙跳格式,,n,j,,,,,,(ii)Lax-Wandrof格式,,,,,,,2019/12/18,(iii)半隱錯(cuò)點(diǎn)格式,(iv)MacCormack格式,2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,算例1：有限差分法求解拋物型方程,一維非定常熱傳導(dǎo)方程,初始條件,t=0,T=T0(x),,邊界條件,既可以采用顯示法也可以采用隱式法。顯示格式:,(a),(b),(c1),(c2),3.數(shù)值算例,2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,x=0,x=L,,,,,2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,表1有限差分法計(jì)算結(jié)果(FDS)與解析解(AS)在x=0.3的對(duì)比數(shù)據(jù)(r=0.10),2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,表2有限差分法計(jì)算結(jié)果(FDS)與解析解(AS)在x=0.3的對(duì)比數(shù)據(jù)(r=0.50),2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,表3在不同空間位置有限差分法計(jì)算的結(jié)果(r=1),2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,(d1),(d2),,在i=0點(diǎn)，式(a)表述為,如果選用中心差分公式，式(d1)可寫為,由式(e1)和式(e2)聯(lián)立消掉得,(e1),(f1),注：考慮以下邊界條件的情況,2019/12/18,CopyrightbyLiMingjun,在i=K點(diǎn)，式(a)表述為,根據(jù)中心差分公式，在i=K點(diǎn)邊界條件可寫為,2019/12/18,,4*.復(fù)雜網(wǎng)格的處理方法,(1)一維情況：非均勻網(wǎng)格,,,,,…j-2j-1jj+1…,非均勻網(wǎng)格,[0,1]的均勻網(wǎng)格,將方程由物理空間變到計(jì)算空間（以x為自變量變?yōu)橐詾樽宰兞浚?其中為已知函數(shù),37,物理坐標(biāo)??計(jì)算坐標(biāo),CopyrightbyLiMingjun,,,,,…j-2j-1jj+1…,,方法1（常用）：網(wǎng)格（Jacobian）變換,2019/12/18,常用的一維坐標(biāo)變換函數(shù)：,38,要求：(1)坐標(biāo)變換必須足夠光滑，否則會(huì)降低精度(2)網(wǎng)格間距變化要緩慢，否則會(huì)帶來(lái)較大誤差,CopyrightbyLiMingjun,網(wǎng)格非光滑、間距劇烈變化不會(huì)降低精度；隨機(jī)網(wǎng)格都可保證精度,指數(shù)函數(shù),雙曲正切函數(shù),2019/12/18,方法2：在非等距網(wǎng)格上直接構(gòu)造差分格式,,,,,…j-2j-1jj+1…,原理：直接進(jìn)行Taylor展開(kāi)，構(gòu)造格式格式系數(shù)是坐標(biāo)（或網(wǎng)格間距）的函數(shù),,,解出系數(shù),注：系數(shù)隨網(wǎng)格點(diǎn)(j)變化！,39,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,(2)二維/三維情況,坐標(biāo)變換?均勻的直角網(wǎng)格,,,,40,控制方程,2019/12/18,,,,……,三個(gè)方向共需計(jì)算9次導(dǎo)數(shù)，計(jì)算量大,對(duì)流項(xiàng)可組合，求3次導(dǎo)數(shù)即可,41,2019/12/18,RAE2822翼型周圍的網(wǎng)格,,,,42,2019/12/18,第2節(jié)差分方法理論基礎(chǔ),2.差分格式穩(wěn)定性分析方法,1.相容、收斂、穩(wěn)定性與Lax等價(jià)定理,2019/12/18,1）相容性：,,,2）收斂性：,L2模：,模：,44,當(dāng)時(shí)間與空間步長(zhǎng)均趨近于0時(shí)，差分方程的解趨近于微分方程的解，則稱差分方程的解收斂于原微分方程的解。,注意！方程互相趨近解互相趨近,,（多值性、奇異性……）,不一定等于,只有連續(xù)函數(shù)才滿足,,（根據(jù)Lax等價(jià)定理，只有穩(wěn)定性條件滿足的情況下，方程趨近才能保證解趨近）,含義：方程趨近,含義：解趨近（更強(qiáng)）,分別為差分方程和微分方程的解,1.相容、收斂、穩(wěn)定性與Lax等價(jià)定理,相似的例子：,當(dāng)差分方程中，時(shí)間與空間步長(zhǎng)均趨近于0時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨近于0，則稱差分方程與原微分方程是相容的。,2019/12/18,,3）穩(wěn)定性：,定義：稱差分方程的初值問(wèn)題是穩(wěn)定的，如果當(dāng)足夠小時(shí)，存在于無(wú)關(guān)的常數(shù)C1和C2使得:,含義：在差分方程的求解過(guò)程中，如果引入的誤差隨時(shí)間的增長(zhǎng)有界，則稱差分方程是穩(wěn)定的。,45,4）Lax等價(jià)定理,如果微分方程的初邊問(wèn)題是適定的，差分方程是相容的，則差分方程解的收斂性與穩(wěn)定性是等價(jià)的。,含義：如果微分方程不出問(wèn)題（適定），差分方程性質(zhì)好（穩(wěn)定），則方程逼近就可保證解逼近。如果方程逼近就可以導(dǎo)致解逼近，則差分方程的性質(zhì)肯定好（穩(wěn)定）,CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,2.差分格式穩(wěn)定性分析方法,,Fourier分析法：基本思想：初始時(shí)刻引入單波擾動(dòng)，考慮其隨時(shí)間的變化基本原理：任何擾動(dòng)都可認(rèn)為是單波擾動(dòng)的疊加；線性情況下不同波之間獨(dú)立發(fā)展。引入單波擾動(dòng)，帶入差分方程，如果其振幅放大，則不穩(wěn)定；否則穩(wěn)定,,,引入單波擾動(dòng)：,,,,解出放大因子：,,,,,46,穩(wěn)定性條件：對(duì)所有a,代入差分方程,例1：考察右式給出差分格式的穩(wěn)定性,一些注解：,通常為復(fù)數(shù)；可反映振幅及相位；,稱為庫(kù)朗數(shù),穩(wěn)定條件：,有效波數(shù),一個(gè)波里面的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù),CopyrightbyLiMingjun,2019/12/18,