流體力學(xué)擴(kuò)散理論.ppt

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1,環(huán)境流體力學(xué)第四章擴(kuò)散理論,2,4.1概述,,，,,關(guān)心問題：排放的污染物質(zhì)在大氣內(nèi)和水域內(nèi)濃度分布。理論基礎(chǔ)：擴(kuò)散與輸移理論。傳輸過程：流體中含有物質(zhì)，在流場內(nèi)某處轉(zhuǎn)移至另一處的過程。擴(kuò)散：流體中含有物質(zhì)從含量多處向含量少處傳輸?shù)默F(xiàn)象。隨流傳輸：流體的含有物質(zhì)隨流體質(zhì)點(diǎn)的時(shí)均運(yùn)動(dòng)而轉(zhuǎn)移的過程。離散：剪切流中由于時(shí)均流速分布不均引起含有物質(zhì)散開的現(xiàn)象。,3,4.2分子擴(kuò)散的費(fèi)克定律，擴(kuò)散方程,,,,——費(fèi)克第一定律,——費(fèi)克第二定律,積分：,M為t=0時(shí)在x1=0處的擴(kuò)散質(zhì)的數(shù)量，這些擴(kuò)散質(zhì)沿x1方向擴(kuò)散。表示濃度c沿x1分布規(guī)律，按指數(shù)規(guī)律急劇衰減。,4,4.3分子擴(kuò)散的隨機(jī)游動(dòng)分析,自由程：一個(gè)分子在兩次碰撞之間的運(yùn)動(dòng)距離；假設(shè)分子的自由程為一固定值l，其運(yùn)動(dòng)平行于x1方向；每個(gè)分子沿正x1方向運(yùn)動(dòng)和沿負(fù)x1方向運(yùn)動(dòng)的概率相等；出現(xiàn)正號(hào)的次數(shù)為p，出現(xiàn)負(fù)號(hào)的次數(shù)為q；p+q=N，p-q=S，p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2經(jīng)過N次運(yùn)動(dòng)，分子向前運(yùn)動(dòng)的距離為Sl，這種情況的概率：p=[N!/(p!q!)]/2N：,5,分子運(yùn)動(dòng)N是個(gè)大數(shù)，S《N，有：lnn!=(n+1/2)lnn-n+ln2π/2,令a表示分子運(yùn)動(dòng)速度，t為分子運(yùn)動(dòng)N次經(jīng)歷的時(shí)間；,N=at/l，Sl=x1,與比較，Dm=la/2=Nl2/(2t),——以Dm表示的分子在N次運(yùn)動(dòng)后到達(dá)x1處的概率,6,求在t時(shí)刻分子位于x1與x1+δx1之間的概率δP，分子到達(dá)x1后，下一步仍有1/2機(jī)會(huì)前進(jìn)，1/2機(jī)會(huì)后退，每一步距離為l，下一步在x1與x1+δx1的范圍的機(jī)會(huì)為(1/2)(δx1/l)，則：,分子沿x1作隨機(jī)運(yùn)動(dòng)其概率密度(δP/δx1)符合正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)差：,平均值：,方差：,隨機(jī)游動(dòng)分析與從費(fèi)克擴(kuò)散理論的結(jié)果基本一致。,7,4.4移流（層流）擴(kuò)散方程,流動(dòng)流體除了分子擴(kuò)散還有隨流傳輸,流入擴(kuò)散質(zhì)cudydzdt，擴(kuò)散量流出擴(kuò)散質(zhì)dydzdt，擴(kuò)散量,8,進(jìn)出量之差：,在dt時(shí)間段微元體擴(kuò)散質(zhì)的增加量：,由于生物、化學(xué)等各種因素，擴(kuò)散質(zhì)的發(fā)生率Fc，質(zhì)量守恒：,或,——移流擴(kuò)散方程,左邊第一項(xiàng)是當(dāng)?shù)刈兓诙?xiàng)是移流變化；右邊第一項(xiàng)是分子擴(kuò)散，第二項(xiàng)是產(chǎn)生或衰減的源匯項(xiàng),9,4.5紊動(dòng)擴(kuò)散——拉格朗日法,4.5.1單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的紊動(dòng)擴(kuò)散——泰勒擴(kuò)散理論,設(shè)標(biāo)志質(zhì)點(diǎn)在y2方向的流速為v2（2表示拉格朗日流速）,假定紊流場在時(shí)間和空間是均勻的，只沿y方向一維擴(kuò)散取Y2(0)點(diǎn)為原點(diǎn)，v2(t)是隨機(jī)變量，則Y2(t)的統(tǒng)計(jì)平均值,10,每一質(zhì)點(diǎn)取兩個(gè)時(shí)刻的流速的乘積來平均,左邊是距形微元從0到t的積分，是一正方形,的兩個(gè)流速的乘積對(duì)許多質(zhì)點(diǎn)的平均值,右邊積分是個(gè)三角形,左邊是右邊的2倍,的意義是同一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間差為,11,拉格朗日自相關(guān)數(shù)：,有兩種極端情況,12,（1）擴(kuò)散時(shí)間很短,很小，,,,,,在擴(kuò)散初期，擴(kuò)散的發(fā)展與時(shí)間t成正比。,（2）擴(kuò)散時(shí)間很長,達(dá)到某一時(shí)刻t*后，可認(rèn)為已無相關(guān)，即t=t*時(shí)，RL(τ)≈0，當(dāng)t》t*時(shí)，,,13,當(dāng)t很大時(shí)，忽略右邊第二項(xiàng)，令：,——拉格朗日積分時(shí)間比尺。,或,在擴(kuò)散發(fā)展很久之后，擴(kuò)散的發(fā)展與成正比。,紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)：,14,——拉格朗日擴(kuò)散長度比尺,在t》TL后，紊動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，紊動(dòng)擴(kuò)散和分子擴(kuò)散遵循相同的規(guī)律。,15,4.5.2兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)擴(kuò)散,有些問題還需要研究質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置關(guān)系。如兩點(diǎn)間距大于紊動(dòng)的長度積分比尺，則兩點(diǎn)將各自獨(dú)立游動(dòng)，互不影響，如小于紊動(dòng)的長度積分比尺，將受到部分紊動(dòng)的影響。,設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)α和β的速度為vα和vβ，相對(duì)速度w=vα-vβ，各自位移為和,相對(duì)位移:,,,,16,相對(duì)擴(kuò)散距離的均方值：,,——s兩點(diǎn)間距長度,相對(duì)擴(kuò)散系數(shù)：,（a）,相對(duì)擴(kuò)散速度：,,變換：,,17,改寫：,,從（a）得：,,或,,,18,（1）擴(kuò)散時(shí)間t很短,認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)流速不變，保持t0時(shí)的值，,相對(duì)流速的相關(guān),,等于常數(shù)，,,,,19,常數(shù)A1與s0的大小有關(guān)：,（1）當(dāng)s00.7s，線性關(guān)系良好。,由圖b曲線擴(kuò)散初期的線性關(guān)系：,擴(kuò)散長度比尺：,24,,,,4.6紊動(dòng)擴(kuò)散——?dú)W拉法,4.6.1紊流擴(kuò)散方程,溶質(zhì)濃度：c=c(x1,x2,x3,t),層流移流擴(kuò)散方程：,——紊流擴(kuò)散方程,25,的物理意義：紊流中通過分別正交于xi軸的單位面積在單位時(shí)間內(nèi)傳輸?shù)奈蓜?dòng)擴(kuò)散量。,——?dú)W拉型紊流擴(kuò)散方程,簡化：,當(dāng)i≠j時(shí)，Dij=0，,4.6.2紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù),設(shè)擴(kuò)散質(zhì)沿x2方向，通過單位面積單位時(shí)間擴(kuò)散質(zhì)γ數(shù)量,t0為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過該單位面積的時(shí)刻；,t為從開始擴(kuò)散算的擴(kuò)散時(shí)間；,cγ(t0,t)為擴(kuò)散質(zhì)濃度。,27,,在t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)流動(dòng)距離為Y2，由混合長度概念：,質(zhì)點(diǎn)流速：,由費(fèi)克定律：,28,,,1.當(dāng)擴(kuò)散時(shí)間較短，R(τ)是時(shí)間函數(shù)，Dγ也隨時(shí)間變化。,討論:,2.當(dāng)擴(kuò)散時(shí)間很長：,當(dāng)擴(kuò)散時(shí)間較長時(shí)，Dγ與ΛL成正比。,3.ΛL是一個(gè)長度積分比尺，是衡量大尺度紊動(dòng)的參數(shù),可見，紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)Dγ主要取決于大尺度的旋渦運(yùn)動(dòng)。,29,4.7關(guān)于擴(kuò)散方程的求解,（1）在靜止或均勻流動(dòng)中的擴(kuò)散,擴(kuò)散方程可從一個(gè)固定點(diǎn)瞬時(shí)放入或連續(xù)放入擴(kuò)散質(zhì)，求得一維、二維和三維解析解。,（2）剪切流中的一維縱向離散,采用過流斷面上的平均流速和平均濃度計(jì)算，求得斷面平均濃度沿縱向的分布。,（3）剪切流中的二維離散,（4）數(shù)值求解,（5）物理模型,30,4.8靜止流體中瞬時(shí)源和連續(xù)源的擴(kuò)散,4.8.1瞬時(shí)源的擴(kuò)散,(1)集中投入的情況,在t=0時(shí)刻，在原點(diǎn)瞬時(shí)投入質(zhì)量為M的擴(kuò)散質(zhì)，分析t時(shí)刻在無界空間濃度分布。,一維分子擴(kuò)散方程：,數(shù)學(xué)求解：量綱分析法。,濃度c(x1,t)是M,x1,t,Dm的函數(shù)，與M成正比。,擴(kuò)散系數(shù)Dm的量鋼為[L2/T]，選用Dmt為特性長度。,31,令：,代入：,通解為：,質(zhì)量守恒,積分:,c0=1,基本解:,結(jié)果：濃度c沿x1軸的分布是正態(tài)分布,32,二維擴(kuò)散：,令c(x1,x2,t)=c1(x1,t)c2(x2,t),上式只有當(dāng)兩個(gè)括號(hào)的量分別等于零才能滿足，即c1和c2應(yīng)滿足瞬時(shí)源一維擴(kuò)散的解。,擴(kuò)散總質(zhì)量：,基本解：,33,(2)空間上分布投入的情況,可考慮為若干個(gè)瞬時(shí)源的疊加，按疊加原理求解。,設(shè)沿x1軸上在x1=ξ處dξ上面源的強(qiáng)度：M(ξ)=f(ξ)dξ,34,起始時(shí)：c(x1,0)=f(ξ)，a≤x1≤b，,擴(kuò)散作用疊加后，經(jīng)時(shí)間t在x1處的濃度：,對(duì)于一階函數(shù)，t=0時(shí)，f(ξ)=0(x1<0);f(ξ)=c0(x1≥0),變換后：,35,誤差函數(shù)：,性質(zhì)：erf(-z)=-erf(z)；erf(0)=0；erf(∞)=1,起始為臺(tái)階形分布的瞬時(shí)源的擴(kuò)散,36,表：誤差函數(shù)及正態(tài)分布的積分,,,,37,4.8.2連續(xù)源的擴(kuò)散,連續(xù)源是指在時(shí)間上的連續(xù)擴(kuò)散，即從某時(shí)刻t=0開始，在某處連續(xù)加入擴(kuò)散質(zhì)，求以后任何時(shí)刻空間中擴(kuò)散值的濃度分布。,設(shè)擴(kuò)散源于原點(diǎn)x1=0,當(dāng)t=0,沿x1=0處濃度在瞬間突然升高為C0,從量綱分析出發(fā)，設(shè),38,代入擴(kuò)散方程，變換為一常微分方程,邊界條件為f(0)=1,f(∞)=0,因C(-x1,t)=c(x1,t),可只沿+x1軸求解，得,39,給定連續(xù)加入的擴(kuò)散的量，而且是變化的，可以看作無數(shù)不同的強(qiáng)度的瞬時(shí)源產(chǎn)生的時(shí)間上疊加的結(jié)果，然后進(jìn)行零到t的時(shí)間積分。設(shè)在時(shí)間微時(shí)段加入的擴(kuò)散質(zhì)為如圖所示，則經(jīng)歷（t-）時(shí)間擴(kuò)散的產(chǎn)生的濃度為,,,,40,連續(xù)源分布在沿x1軸一定范圍a≤x1≤b內(nèi),于時(shí)刻在d時(shí)間內(nèi)加入的擴(kuò)散質(zhì)的量為，一維擴(kuò)散時(shí)間經(jīng)時(shí)間（t-）在x1處的濃度為,對(duì)于連續(xù)源的二維、三維擴(kuò)散，原則上也可按上述方法看作無數(shù)個(gè)相應(yīng)瞬時(shí)源擴(kuò)散的疊加，用相應(yīng)瞬時(shí)源的濃度分布公式進(jìn)行時(shí)間積分計(jì)算。,41,等強(qiáng)度連續(xù)點(diǎn)源的三維擴(kuò)散,瞬時(shí)點(diǎn)源擴(kuò)散,在靜止流體中各向同性擴(kuò)散情況，D1=D2=D3=Dm,42,于時(shí)刻在d時(shí)間內(nèi)加入的擴(kuò)散質(zhì)的量為m，經(jīng)歷（t-）時(shí)間在r處的濃度為,從起始到t時(shí)間在位置r產(chǎn)生的濃度為上式的時(shí)間積分,43,44,4.9均勻紊亂中的擴(kuò)散,,代入:,單向的均勻流動(dòng)中，即各處流速均勻u1=U,u2=u3=0,設(shè):,得:,45,4.9.1均勻紊流中順時(shí)源擴(kuò)散的濃度分布,1.瞬時(shí)（面）源的一維擴(kuò)散,濃度解:,46,2.瞬時(shí)（線）源的二維擴(kuò)散,濃度解:,47,3.瞬時(shí)（點(diǎn)）源的三維擴(kuò)散,濃度解:,48,4.9.2均勻紊流中連續(xù)源擴(kuò)散的濃度分布,1.連續(xù)源的一維擴(kuò)散,濃度解:,49,2.連續(xù)源的三維擴(kuò)散,50,轉(zhuǎn)換為三維濃度時(shí),51,3.連續(xù)源的二維擴(kuò)散,4.連續(xù)源的非穩(wěn)定擴(kuò)散,52,4.10有邊界反射的擴(kuò)散,4.10.1固定邊界的反射,53,,54,4.10.2大氣中擴(kuò)散的逆溫層反射,U,大氣混合層,逆溫層,虛擬源,實(shí)際源,虛擬源,地面,H,L,X1,,55,在x1,x3立面的上產(chǎn)生的濃度為,兩種作用綜合結(jié)果,式中t=x1/U。取n=0,0,1,2計(jì)算已足夠精確。求地面濃度時(shí)取x3=0代入即得。,56,例題:在室內(nèi)水槽進(jìn)行擴(kuò)散試驗(yàn)，設(shè)水槽右端為封閉，左端很長。在水槽具右端10m的斷面A-A以平面源方式瞬時(shí)投放示蹤劑。計(jì)算投放后10分鐘在距右端5m的B-B斷面及在A-A斷面左邊10m的C-C斷面上的示蹤劑濃度。投放量M=1kg/m2。已知擴(kuò)散系數(shù)為200cm2/s。計(jì)算中要考慮右端邊界反射。若不計(jì)邊界反射，B-B斷面及C-C斷面濃度又為多少？,57,[解]Dt=200cm2/s=1.2m2/min(1)考慮右端的反射作用，濃度計(jì)算式為,右端邊界距投放源L=10mB-B斷面x=5m,,58,C-C斷面x=-10m,,(2)若不考慮邊界的反射作用，濃度計(jì)算式為,,B-B斷面,,C-C斷面,,59,例題:某平直均勻河段，寬W=60m，深h=3m，流量QR=140m3/s。污水出口在河中心，其流量Qp=0.7m3/s,濃度c0=500ppm,河寬遠(yuǎn)大于水深，污染源近似看作連續(xù)集中線源，設(shè)橫向擴(kuò)散系數(shù)Dty為0.054m2/s。試求：（1）以c(x,b)=0.05c(x,o)來定義污水場寬b(x)的表達(dá)式；（2）當(dāng)b=W/2時(shí)的距離x值即此處的最大濃度cmax;（3）若污染源在岸邊，將如何變化？,60,[解]已知河寬W=60m,水深h=3m，河流流量Qr=140m3/s,設(shè)為均勻紊流，則流速U=Qr/A=140/(3*60)=0.78m/s,污水河流Qp=0.7m3/s,濃度c0=500ppm,橫向擴(kuò)散系數(shù)Dty=0.054m2/s,看作垂向連續(xù)集中線源，其二維擴(kuò)散的濃度分布表達(dá)式,,現(xiàn)x1=x,x2=y,D=Dty,上式寫為,,61,考慮兩邊邊界一次反射,,(1)以c(x,b)=0.05c(x,0)定義污水寬度b(x),,,（B）,62,當(dāng)x較小時(shí)，b也小，上式兩邊可取第一項(xiàng)，上式簡化為,,實(shí)際反射的影響很小，可忽略.,（2）當(dāng)b→W/2=30m,上式右邊仍取0.05；左邊第二項(xiàng)很小可略去，第三項(xiàng)中b-60≈30≈b,左邊≈,,,,可得,63,當(dāng)b=30m,,在（B）式右邊只取第一項(xiàng)，并考慮y=0時(shí),,64,（3）若源在岸邊，要考慮邊岸反射映像法相當(dāng)于在該處加設(shè)一虛擬源，二源疊加后擴(kuò)散情況和（1）相同，但源強(qiáng)為2。b(x)的隱函數(shù)形勢仍相同，簡化式也相同。但擴(kuò)散至岸完全混合時(shí)b=60m。有簡化式計(jì)算得到距離=3530m。,,與（2）的情況相同。,65,謝謝！,