剛體和流體力學(xué)(1-3)白.ppt

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轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義及其量的計(jì)算 剛體運(yùn)動(dòng)的描述 第二章剛體和流體力學(xué) 本章要求掌握的基本內(nèi)容 剛體的角動(dòng)量定理 即動(dòng)量矩定理 及其守恒定律 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及其應(yīng)用 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理及其應(yīng)用 本次課要求掌握的基本內(nèi)容 1 何為剛體 如何描述剛體的運(yùn)動(dòng) 2 什么叫剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 它的物理意義怎樣 3 如何計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 5 什么叫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 如何應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題 4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能如何確定 一 剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 平動(dòng) 用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論 剛體在運(yùn)動(dòng)中 其上任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)始終保持平行 剛體 在外力作用下形狀和大小保持不變的物體 即各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點(diǎn)系 2 1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) 轉(zhuǎn)動(dòng) 分對(duì)點(diǎn) 對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng) 只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng) 其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線(xiàn) 轉(zhuǎn)軸 上 轉(zhuǎn)軸 剛體的一般運(yùn)動(dòng) 既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng) 質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng) 角位移 各質(zhì)元的線(xiàn)速度 加速度一般不同 但角量 角位移 角速度 角加速度 都相同 描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便 二 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量 其角量和線(xiàn)量的關(guān)系 角速度方向規(guī)定為沿軸方向 指向用右手螺旋法則確定 角速度 角加速度 其角量和線(xiàn)量的關(guān)系 比較 一 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2 2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 定義J為剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 momentofinertia 其中ri是質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離 在國(guó)際單位制中其單位為千克 米2 kg m2 二 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素 剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀 實(shí)質(zhì)與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的只有兩個(gè)因素 形狀即質(zhì)量分布 與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個(gè)質(zhì)元的矢徑 對(duì)于質(zhì)量元連續(xù)分布的剛體 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫(xiě)成 剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和 注意 2 對(duì)于質(zhì)量元不連續(xù) 離散型 分布的剛體 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫(xiě)成和式 1 只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則 質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體 才能用上式積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和 1 求質(zhì)量為m 半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心 解 J是可加的 所以若為薄圓筒 不計(jì)厚度 結(jié)果相同 例題 2 求質(zhì)量為m 半徑為R 厚為l的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心 解 取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán) 可見(jiàn) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無(wú)關(guān) 所以 實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2 2 3 求長(zhǎng)為L(zhǎng) 質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 取如圖坐標(biāo) dm dx 4 求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 一球繞Z軸旋轉(zhuǎn) 離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤(pán) 其半徑為 其體積 其質(zhì)量 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Z 平行軸定理 前例中JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JA表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 兩軸平行 相距L 2 可見(jiàn) 推廣上述結(jié)論 若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行 相距為d 剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 則有 J JC md2 這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為平行軸定理 右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算 棒長(zhǎng)為L(zhǎng) 球半徑為R 作用在剛體上的軸的力矩 三 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 如果有幾個(gè)外力矩作用在剛體上 積分得 力矩的大小等于力在作用點(diǎn)的切向分量與力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸Z的距離的乘積 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出 和 dF和df為合外力和合內(nèi)力 分解為作用在質(zhì)量元dm上的切向力和法向力 將切向分量式兩邊同乘以r 變換得 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 對(duì)等式左邊積分得到外力矩 其中 角加速度對(duì)所有質(zhì)量元都相等 所以 寫(xiě)成矢量形式 注意 法向分量通過(guò)轉(zhuǎn)軸 對(duì)軸不產(chǎn)生力矩 問(wèn) 那么法向分量情況 為什么 m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性 J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性 力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 例1 一個(gè)質(zhì)量為 0 半徑為 的定滑輪 當(dāng)作均勻圓盤(pán) 上面繞有細(xì)繩 繩的一端固定在滑輪邊上 另一端掛一質(zhì)量為 的物體而下垂 忽略軸處摩擦 求物體 由靜止下落高度 時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度 解 例2 一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg 半徑為0 25m 正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng) 現(xiàn)在要制動(dòng)飛輪 要求在5 0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來(lái) 摩擦系數(shù)為0 2 求閘瓦對(duì)輪子的壓力N為多大 解 飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度 外力矩是摩擦阻力矩 角加速度為負(fù)值 例3 如圖所示 兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2 滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 半徑為r 1 如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為 求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T1與T2 設(shè)繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)猾動(dòng) 2 如物體2與桌面間為光滑接觸 求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T1與T2 解 1 物體2與桌面間為光滑接觸時(shí) 例4 一根長(zhǎng)為L(zhǎng) 質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒 其一端有一固定的光滑水平軸 因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) 最初棒靜止在水平位置 求它由此下擺 角時(shí)的角加速度和角速度 解 棒下擺為加速過(guò)程 外力矩為重力對(duì)O的力矩 棒上取質(zhì)元dm 當(dāng)棒處在下擺 角時(shí) 該質(zhì)量元的重力對(duì)軸的元力矩為 重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩為 代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律 可得 四 力矩的功 式中 力矩做功是力做功的角量表達(dá)式 力矩的瞬時(shí)功率 五 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 六 包括剛體的系統(tǒng)的場(chǎng)中機(jī)械能守恒定律 若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中 只有重力做功 其他非保守內(nèi)力不做功 則剛體在重力場(chǎng)中機(jī)械能守恒 例5 一根長(zhǎng)為l 質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒 其一端有一固定的光滑水平軸 另一端固定一質(zhì)量為m的小球 小球半徑R l 因而棒可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) 最初棒靜止在水平位置 求棒由此下擺 角時(shí)的角加速度和角速度 06年 請(qǐng)與例題4比較 解 棒下擺有 角的過(guò)程中 只有棒和小球的重力矩做功 因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 設(shè)最初棒靜止的水平位置為零勢(shì)點(diǎn) 求角加速度 還有解法 同學(xué)們想一想 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律解 棒下擺為加速過(guò)程 外力矩為棒和小球的重力對(duì)O的力矩 當(dāng)棒處在下擺 角時(shí) 重力矩和為 另解 求角速度 1 什么叫剛體的角動(dòng)量 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理是如何定義的 本次課要求掌握的基本內(nèi)容 2 3剛體角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 2 什么叫剛體的角動(dòng)量守恒定律 如何應(yīng)用剛體的角動(dòng)量定理或角動(dòng)量守恒定律解題 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 各質(zhì)元某一瞬時(shí)均以相同的角速度繞該定軸作圓周運(yùn)動(dòng) 剛體對(duì)某定軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積 角動(dòng)量又叫做動(dòng)量矩 一 剛體的角動(dòng)量定理 外力矩對(duì)系統(tǒng)的沖量矩 角沖量 等于角動(dòng)量的增量 剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一種形式 叫做角動(dòng)量定理 或動(dòng)量矩定理 二 角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用 角動(dòng)量守恒定律的兩種情況 1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體 當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí) 物體的角動(dòng)量保持不變 這一結(jié)論稱(chēng)為角動(dòng)量守恒定律 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量的關(guān)系 若J改變 則 2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體 實(shí)際中的一些應(yīng)用 藝術(shù)美 人體美 物理美相互結(jié)合 芭蕾舞演員的高難動(dòng)作 當(dāng)滑冰 跳水 體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體 減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 增加角速度 當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體 增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 使身體平穩(wěn)地 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過(guò)改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)改變轉(zhuǎn)速 例1 如圖所示 一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端 穿出后速度損失3 4 求子彈穿出后棒的角速度 已知棒長(zhǎng)為l 質(zhì)量為M 解 以f代表棒對(duì)子彈的阻力 對(duì)子彈有 子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為 因 由兩式得 另解 利用系統(tǒng)總角動(dòng)量守恒 解 m為粘土塊的質(zhì)量 碰撞 t極小 對(duì)m 盤(pán)系統(tǒng) 沖力遠(yuǎn)大于重力 故重力對(duì)O力矩可忽略 角動(dòng)量守恒 則 求碰撞后瞬間盤(pán)的 0 求p點(diǎn)轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤(pán)的 60o 例題3 飛輪的質(zhì)量為60kg 直徑為0 50m 轉(zhuǎn)速為1000r min 現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動(dòng) 求制動(dòng)力F 假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù) 0 4 飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上 尺寸如圖所示 教材p115 2 5 104 7r s 課堂練習(xí) 如圖 已知 子彈射入并嵌在棒內(nèi) 求子彈的初速 解 過(guò)程分兩步1 子彈與棒發(fā)生完全非彈性碰撞角動(dòng)量守恒2 子彈與棒擺動(dòng) 機(jī)械能守恒 三 陀螺的旋進(jìn) 進(jìn)動(dòng) 1 何謂旋進(jìn) 陀螺的運(yùn)動(dòng)