《控制工程基礎(chǔ)》第3版配套課件
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第四章第四章 控制系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性頻率特性及其表示法頻率特性及其表示法極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)由單位脈沖響應(yīng)求傳遞函數(shù)由單位脈沖響應(yīng)求傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)幅相圖對(duì)數(shù)幅相圖控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)時(shí)域(分析方法)時(shí)域(分析方法)線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 常微分方程常微分方程傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 復(fù)頻域(分析方法)復(fù)頻域(分析方法)頻率特性頻率特性 頻域(分析方法)頻域(分析方法)系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型頻率特性的特點(diǎn)頻率特性的特點(diǎn)(1)頻率特性具有明確的物理意義,它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)確定,這對(duì)于難以列寫(xiě)微分方程式的元部件或系統(tǒng)來(lái)說(shuō),具有重要的實(shí)際意義。(2)由于頻率響應(yīng)法主要通過(guò)開(kāi)環(huán)頻率特性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析,因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。(3)頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng),而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。4.1.1 4.1.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 4.1 頻率特性 頻率特性又稱(chēng)頻率響應(yīng),它是系統(tǒng)(或元件)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。定義:定義:在正弦信號(hào)作用下,系統(tǒng)的 輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入量復(fù)數(shù)之比。頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)注意注意:穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的頻率相同,僅振幅和相位不同。00.51.01.52.02.53.0-5-4-3-2-101234500.51.01.52.02.53.0-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0 0123456-8-6-4-20246u(t)y(t)yss(t)紅輸入,藍(lán)全響應(yīng),黑穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 0123456-2-1.5-1-0.500.511.52u(t)y(t)紅輸入,藍(lán)全響應(yīng),黑穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(t)RCi(t)ui(t)u0(t)例:如圖所示的例:如圖所示的RCRC電路電路數(shù)學(xué)本質(zhì)穩(wěn)態(tài)分量:RC電路的傳遞函數(shù):當(dāng) S=j 時(shí)式中:式中:X輸入信號(hào)的振幅;輸入信號(hào)的角頻率。一般線性定常系統(tǒng),設(shè)輸入信號(hào)為正弦函數(shù),即:x(t)=Xsin t(4.1(4.1)其拉氏變換為:(4.2(4.2)一般情況下,傳遞函數(shù)可以寫(xiě)成如下形式:X(s)Y(s)G(s)(4.3(4.3)系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的輸出為:(4.4(4.4)(4.6(4.6)穩(wěn)定系統(tǒng)(4.5(4.5)待定系數(shù) 穩(wěn)態(tài)輸出(4.7(4.7)式中的待定系數(shù)A,可按求留數(shù)的方法求得:(4.8(4.8)(4.9(4.9)G(j)是一個(gè)復(fù)數(shù),它可以表示為:(4.10(4.10)(4.11(4.11)式中:將式(4.8)(4.11)代入式(4.7)中,有:(4.12(4.12)式中:穩(wěn)態(tài)輸出的幅值,是的函數(shù)。線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)Xsint的穩(wěn)態(tài)輸出Ysin(t+),仍是一個(gè)正弦信號(hào)。其特點(diǎn)是:.頻率與輸入信號(hào)相同;.相移為()=G(j)。.振幅Y為輸入振幅X的 倍;振振幅幅Y Y和和相相移移 都都是是輸輸入入信信號(hào)號(hào)頻頻率率 的的函函數(shù)數(shù),對(duì)對(duì)于于確確定定的的 值值來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō),振振幅幅Y Y和和相相移移 都都將將是常量是常量.b)b)向量圖向量圖XYReIm0a)a)函數(shù)圖函數(shù)圖XYx(t)ys(t)ys(t)tx(t)0 輸入、輸出關(guān)系用函數(shù)圖和向量圖表示如下:頻率特性的定義頻率特性的定義 幅頻特性 相頻特性(4.13(4.13)頻率特性(4.14(4.14)4.1.2 4.1.2 頻率特性的求取方法頻率特性的求取方法 1 1)根據(jù)定義求取根據(jù)定義求取 已知系統(tǒng)的微分方程,把正弦輸入函數(shù)代入,求出其穩(wěn)態(tài)解,取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。2 2)根據(jù)傳遞函數(shù)求取根據(jù)傳遞函數(shù)求取 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù),即用s=j代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù),即可得到。3 3)通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法直接測(cè)得通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法直接測(cè)得 (4.15)(4.15)頻率特性等于系統(tǒng)輸出和輸入的傅氏變換之比。1 1)與傳遞函數(shù)一樣,頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。)與傳遞函數(shù)一樣,頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性,與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定,則頻率特性也完全確定。4.1.3 4.1.3 頻率特性的性質(zhì)頻率特性的性質(zhì) 2 2)頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。)頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的,不穩(wěn)定系統(tǒng)則無(wú)法直接觀察到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來(lái),而且其規(guī)律并不依賴(lài)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此,我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。3 3)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。當(dāng)頻率改變,則輸出、輸入量的幅值之比A()和相位移()隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲(chǔ)能元件引起的。4.1.4 4.1.4 系統(tǒng)模型之間的關(guān)系系統(tǒng)模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)微分方程頻率特性傳遞函數(shù)4.1.5 4.1.5 頻率特性的表示法頻率特性的表示法1 1)數(shù)學(xué)式表示法)數(shù)學(xué)式表示法 (直角坐標(biāo)表示法)(直角坐標(biāo)表示法)(極坐標(biāo)表示法)(極坐標(biāo)表示法)(指數(shù)坐標(biāo)表示法)(指數(shù)坐標(biāo)表示法)2 2)頻率特性的圖示方法頻率特性的圖示方法對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性(BodeBode圖圖)頻率對(duì)數(shù)分度頻率對(duì)數(shù)分度 幅值幅值/相角線性分度相角線性分度幅相頻率特性幅相頻率特性 極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖 (NyquistNyquist圖圖)對(duì)數(shù)幅相頻率特性對(duì)數(shù)幅相頻率特性(NicholsNichols圖圖)以頻率為參變量表示對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系:以頻率為參變量表示對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系:L()L()()()4.2 極坐標(biāo)圖 (Nyquist圖)奈奎斯特(奈奎斯特(NyquistNyquist)圖圖 極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖 當(dāng)從0變化時(shí),根據(jù)頻率特性的極坐標(biāo)式G(j)=A()(),可以算出每一個(gè)值所對(duì)應(yīng)的幅值A(chǔ)()和(),將它們畫(huà)在極坐標(biāo)平面圖上,就得到了頻率特性的極坐標(biāo)圖。RC 網(wǎng)絡(luò)的幅相特性曲線4.2.1 典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖 如果系統(tǒng)如右圖所示,則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般表達(dá)式為典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G(s)H(s)將其分子、分母分解因式,則常見(jiàn)有以下七種典型環(huán)節(jié):比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)1 1)比例環(huán)節(jié))比例環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性ReIm0比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖 所有元部件和系統(tǒng)都包含這種環(huán)節(jié),如減速器、放大器、液壓放大器等。2 2)積分環(huán)節(jié))積分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率從0特性曲線由虛軸的趨向原點(diǎn)。ReIm03 3)微分環(huán)節(jié))微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖Re微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率從0特性曲線由虛軸的原點(diǎn)趨向+。Im04 4)慣性環(huán)節(jié))慣性環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓,對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。證明如下:整理得:下半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于正頻率部分,而上半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于負(fù)頻率部分。5 5)一階微分環(huán)節(jié))一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖ReIm16 6)二階振蕩環(huán)節(jié))二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性實(shí)頻特性虛頻特性由圖可見(jiàn)無(wú)論是欠阻尼還是過(guò)阻尼系統(tǒng),其圖形的基本形狀是相同的。當(dāng)過(guò)阻尼時(shí),阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。7 7)二階微分環(huán)節(jié))二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性8 8)延遲環(huán)節(jié))延遲環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性1極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓。4.2.2 4.2.2 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性 一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)及頻率特性為:一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)及頻率特性為:當(dāng)=0時(shí),稱(chēng)該系統(tǒng)為0 型系統(tǒng);當(dāng)=1時(shí),稱(chēng)該系統(tǒng)為型系統(tǒng);當(dāng)=2時(shí),稱(chēng)該系統(tǒng)為型系統(tǒng);系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖(系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖(NyquistNyquist圖)圖)由上式可知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的頻率特性是由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成,其極坐標(biāo)圖可由下面的方法繪制。幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性之乘積。相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。q 將開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫(xiě)成 或 的形式,根據(jù)不同的 算出 或 可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連之為曲線(手工畫(huà)法)。(1)求A(0)、(0);A()、();(2)補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)),根據(jù)A()、()的變化趨勢(shì),畫(huà)出Nyquist圖的大致形狀。繪制方法繪制方法:q 使用MATLAB工具繪制。qsys=tf(num,den)qnyquist(sys)例 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為:試列出實(shí)頻和虛頻特性的表達(dá)式。當(dāng) 繪制奈氏圖。解:當(dāng) 時(shí) 找出幾個(gè)特殊點(diǎn)(如 ,與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)等),可大致勾勒出奈氏圖。為了相對(duì)準(zhǔn)確,可以再算幾個(gè)點(diǎn)。0-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角:-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。下圖是用 Matlab工具繪制的奈氏圖。具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點(diǎn):頻率特性可表示為:其相角為:當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),顯然,低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān),高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。4.3 4.3 對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性(Bode(Bode圖圖)對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱(chēng)伯德(Bode)圖,包括對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻兩條曲線。頻率特性:頻率特性:對(duì)數(shù)坐標(biāo)刻度圖對(duì)數(shù)坐標(biāo)刻度圖(dB)(dB)octoctdecdec只標(biāo)注的自然數(shù)值自然數(shù)值。用L()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)幅頻特性,也稱(chēng)L()為增益。用()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)相頻特性。關(guān)于Bode圖的幾點(diǎn)說(shuō)明=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來(lái);橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定;工程中采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)工程中采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)u 可以展寬頻帶;頻率是以10倍頻表示的,因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性;u 可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算;u 所有典型環(huán)節(jié)的頻率特性可以用分段直線(漸進(jìn)線)近似表示;u 將實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示,并用分段直線近似的方法繪制頻率特性曲線,可以方便地確定頻率特性的函數(shù)表達(dá)式。傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性比例環(huán)節(jié)的Bode圖04.3.1 4.3.1 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 1 1)比例環(huán)節(jié))比例環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性當(dāng)當(dāng)有有兩兩個(gè)個(gè)積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)時(shí)時(shí)可可見(jiàn)見(jiàn)斜斜率為率為40/dec 積分環(huán)節(jié)的Bode圖2 2)積分環(huán)節(jié))積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性微分環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù)頻率特性3 3)微分環(huán)節(jié))微分環(huán)節(jié)積分與微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性(積分與微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性(BodeBode圖)的對(duì)圖)的對(duì)比比微分環(huán)節(jié)的Bode圖積分環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性4 4)慣性環(huán)節(jié))慣性環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性低頻段:當(dāng) 時(shí) 低低頻頻段段近近似似為為0 0dBdB的的水水平平線線,稱(chēng)稱(chēng)為為低低頻漸近線。頻漸近線。高頻段:當(dāng) 時(shí)轉(zhuǎn)折頻率:當(dāng) 時(shí) 高高頻頻段段近近似似斜斜率率為為-20dB/dec-20dB/dec的的直直線,稱(chēng)為線,稱(chēng)為高頻漸近線。高頻漸近線。對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性BodeBode圖誤差分析圖誤差分析(實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差)(實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差)當(dāng) 時(shí),誤差為:當(dāng) 時(shí),誤差為:最大誤差發(fā)生在 處,為T(mén)0.1 0.2 0.5 1 2 510L()(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-7.00-14.2-20.04 漸近線(dB)0 000-6.00-14.0-20.0 誤差(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-1.00-0.2-0.04相頻特性的說(shuō)明:相頻特性的說(shuō)明:作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn):由圖不難看出相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于(0,-45)點(diǎn)是斜對(duì)稱(chēng)的,這是對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí),對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的形狀都不變,僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時(shí),相頻特性不變,幅頻特性上下平移。w wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(wj(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45w wT2.03.04.05.07.0102050100j(wj(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.45 5)一階微分環(huán)節(jié))一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性tt 1tg)(-=低頻段:當(dāng) 時(shí) 低低頻頻段段近近似似為為0 0dBdB的的水水平平線線,稱(chēng)稱(chēng)為為低頻漸近線。低頻漸近線。高頻段:當(dāng) 時(shí) 高高頻頻段段近近似似斜斜率率為為-20dB/dec-20dB/dec的的直線,稱(chēng)為直線,稱(chēng)為高頻漸近線。高頻漸近線。轉(zhuǎn)折頻率:當(dāng) 時(shí)一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)(慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)(BodeBode圖)的對(duì)比圖)的對(duì)比6 6)二階振蕩環(huán)節(jié))二階振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段:當(dāng) 時(shí)低低頻頻段段近近似似為為0 0dBdB的的水水平平線線,稱(chēng)為稱(chēng)為低頻漸近線。低頻漸近線。高頻段:當(dāng) 時(shí)高頻段近似斜率為高頻段近似斜率為-40dB/dec-40dB/dec的直線,稱(chēng)為的直線,稱(chēng)為高頻漸近線。高頻漸近線。轉(zhuǎn)折頻率:在 時(shí),即=1/T諧振頻率為0.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-20000二階振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性0.1/T1/T10/T-6-4-202468101214dB二階振蕩環(huán)節(jié)以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差二階振蕩環(huán)節(jié)以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差7 7)二階微分環(huán)節(jié))二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段:當(dāng) 時(shí)低低頻頻段段近近似似為為0 0dBdB的的水水平平線線,稱(chēng)為稱(chēng)為低頻漸近線。低頻漸近線。高頻段:當(dāng) 時(shí)高頻段近似斜率為高頻段近似斜率為-40dB/dec-40dB/dec的直線,稱(chēng)為的直線,稱(chēng)為高頻漸近線。高頻漸近線。轉(zhuǎn)折頻率:在 時(shí),即=1/T-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二階振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)BodeBode圖圖的對(duì)比的對(duì)比二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)0.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-200008 8)延遲環(huán)節(jié)的頻率特性)延遲環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性二階振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)4.3.2 4.3.2 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性對(duì)數(shù)幅相頻率特性(系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性對(duì)數(shù)幅相頻率特性(BodeBode圖)圖)幅頻率及相頻率特性為:對(duì)數(shù)幅頻率及對(duì)數(shù)相頻率特性為:對(duì)數(shù)幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。且有:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的伯德圖步驟如下系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的伯德圖步驟如下 (1)寫(xiě)出開(kāi)環(huán)頻率特性表達(dá)式,分析系統(tǒng)由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成,并將這 些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標(biāo)準(zhǔn)形式(以時(shí)間常數(shù)形式)。(2)繪制出各因子(典型環(huán)節(jié))的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線及相頻特性曲線。(3)將對(duì)應(yīng)頻率下因子(典型環(huán)節(jié))的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線及相頻特性曲線相加,即得出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的(Bode圖)。(4)如果需要,再按典型因子的誤差曲線對(duì)相應(yīng)的分段直線進(jìn)行修正。例:開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:解:該系統(tǒng)由四個(gè)典型環(huán)節(jié)組成。一個(gè)比例環(huán)節(jié),一個(gè)積分環(huán)節(jié)兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫(huà)在一張圖上。然后,在圖上相加。試畫(huà)出該系統(tǒng)的波德圖。實(shí)際上,畫(huà)制Bode圖不用如此麻煩。我們注意到:幅頻曲線由折線(漸進(jìn)線)組成,在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率。q 確定 和各轉(zhuǎn)折頻率 ,并將這些頻率按小大順序依次標(biāo)注在頻率軸上;步驟如下:q 確定低頻漸進(jìn)線:因?yàn)橛?可推得 低頻漸進(jìn)線低頻漸進(jìn)線,就是第一條折線就是第一條折線,其斜率為要確定這條折線要確定這條折線,還需確定該線所通過(guò)的一個(gè)點(diǎn)還需確定該線所通過(guò)的一個(gè)點(diǎn),有兩種方法:有兩種方法:因?yàn)楫?dāng) 時(shí),有1)令即首段線(實(shí)際上是比例 k 和積分 的曲線),過(guò)點(diǎn)(1,20lgk)。2)令 ,有即對(duì)于0型系統(tǒng),=0,首段線平行于橫軸,距橫軸 20lgk;對(duì)于1型系統(tǒng),=1,首段線與零分貝線(橫軸)交于=K;對(duì)于2型系統(tǒng),=2,首段線與零分貝線(橫軸)交于=;q 高頻漸進(jìn)線的斜率為:-20(n-m)dB/dec。q 相頻特性還是需要點(diǎn)點(diǎn)相加,才可畫(huà)出。遇到 (一階慣性)時(shí),斜率下降-20dB/Dec;遇到 (二階振蕩)時(shí),斜率下降-40dB/Dec。q 畫(huà)好低頻漸進(jìn)線后,從低頻開(kāi)始沿頻率增大的方向,每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率:遇到 (一階微分)時(shí),斜率增加+20dB/Dec;遇到 (二階微分)時(shí),斜率增加+40dB/Dec;例 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)特性為:試畫(huà)出波德圖。2)低頻漸進(jìn)線:斜率為 ,過(guò)點(diǎn)(1,20)3)波德圖如下:紅線為漸進(jìn)線,蘭線為實(shí)際曲線。例已知試畫(huà)波德圖。解:1)2)低頻漸進(jìn)線斜率為 ,過(guò)(1,-60)點(diǎn)4)畫(huà)出波德圖如下頁(yè):3)高頻漸進(jìn)線斜率為:紅線為漸進(jìn)線,蘭線為實(shí)際曲線。例具有延遲環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)頻率特性為:,試畫(huà)出波德圖。解:可見(jiàn),加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變,相位特性滯后了。4.3.3 4.3.3 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)定定義義:若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)均在s復(fù)平面的左側(cè),同時(shí)無(wú)純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng),相應(yīng)的傳遞函數(shù)為最小相位傳遞函數(shù)。反之若傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和(或)零點(diǎn)有在s復(fù)平面右側(cè)的系統(tǒng)稱(chēng)為非最小相位系統(tǒng),相應(yīng)的傳遞函數(shù)為非最小相位傳遞函數(shù)。在最小相位系統(tǒng)中,具有相同幅頻特性的系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))其相角(位)的變化范圍最小,如上表示的 。相角變化大于最小值的系統(tǒng)稱(chēng)為非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的特征最小相位系統(tǒng)的特征 a)a)在nm且幅頻特性相同的情況下,最小相位系統(tǒng)的相角變變化化范范圍圍最小。(這里n和m分別表示傳遞函數(shù)分母和分子多項(xiàng)式的階次。)c)c)對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一個(gè)最小相位系統(tǒng),我們?nèi)糁懒似浞l特性,它的相頻特性也就唯一地確定了。也就是說(shuō):只要知道其幅頻特性,就能寫(xiě)出此最小相位系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù),而無(wú)需再畫(huà)出相頻特性。b)b)當(dāng)=時(shí),其相角等于 ,對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為 。有時(shí)用這一特性來(lái)判別該系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。例有兩個(gè)系統(tǒng),頻率特性分別為:轉(zhuǎn)折頻率都是:幅頻特性相同,均為:相頻特性不同,分別為:顯然,滿足 的條件,是最小相位系統(tǒng);而 不滿足 的條件,是非最小相位系統(tǒng)??梢园l(fā)現(xiàn):在右半平面有一個(gè)零點(diǎn)。最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng) 該兩個(gè)系統(tǒng)的波德圖如下所示:例:有五個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下:由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類(lèi)系統(tǒng)中,當(dāng)從0變化至?xí)r,系統(tǒng)的相相角角變變化化范范圍圍最最小小,且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關(guān)系(如 1()。而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如2()、3()、5();或者相角變化范圍雖不大,但相角的變化趨勢(shì)與幅頻特性的變化趨勢(shì)不一致(如 4()。對(duì)于最小相位系統(tǒng),幅值特性和相位特性之間具有唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系。這意味著,如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無(wú)窮大的全部頻率范圍上給定,則相角曲線被唯一確定,反之亦然;但是這個(gè)結(jié)論對(duì)于非最小相位系統(tǒng)不成立。非最小相位系統(tǒng)情況可能發(fā)生在兩種不同的條件下。一是當(dāng)系統(tǒng)中包含一個(gè)或多個(gè)非最小相位環(huán)節(jié);另一種情況可能發(fā)生在系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的內(nèi)部小回路。一般來(lái)說(shuō),右半平面有零點(diǎn)時(shí),其相位滯后更大,閉環(huán)系統(tǒng)更難穩(wěn)定。因此,在實(shí)際系統(tǒng)中,應(yīng)盡量避免出現(xiàn)非最小相位環(huán)節(jié)。例:例:已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L出開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解:解:斜率為-20db/dec 由于,所以低頻段的 漸近線為 因?yàn)橄到y(tǒng)是最小相位系統(tǒng),所以其頻率可以只繪幅頻特性曲線。4.4 4.4 由頻率特性曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由頻率特性曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定主要由 一下兩部分組成:a a)頻率響應(yīng))頻率響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)信號(hào)源信號(hào)源對(duì)象對(duì)象記錄儀器記錄儀器 由穩(wěn)態(tài)的輸入輸出信號(hào)幅值比和相位差繪制出被測(cè)對(duì)象的對(duì)數(shù)頻率特性曲線(Bode圖),再得漸近對(duì)數(shù)幅頻曲線。注意:注意:求得的傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)相頻曲線與實(shí)驗(yàn)曲線應(yīng)基本一致,兩條曲線在低頻和高頻段應(yīng)嚴(yán)格相符。由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則 由低頻段的斜率 ,推知所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) ,由低頻段在=1處的高度 或由低頻段斜線(或其延長(zhǎng)線)與零分貝線交點(diǎn)來(lái)求得增益K。b b)傳遞函數(shù)的確定)傳遞函數(shù)的確定 由低頻高頻,斜率每增加一個(gè)+20dB/dec,即含一個(gè)比例微分環(huán)節(jié);斜率每增加一個(gè)-20dB/dec,即含一個(gè)慣性環(huán)節(jié);斜率每增加一個(gè)-40dB/dec,即含一個(gè)振蕩環(huán)節(jié),再由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比;斜率每增加一個(gè)+40dB/dec,即含一個(gè)二階微分環(huán)節(jié),同樣由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比。例例:已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù),并寫(xiě)出系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。解解:1)由于低頻段斜率為-20dB/dec所以有一個(gè)積分環(huán)節(jié) 2)在=1處,L()=15dB=20lgK,可得 K=5.6 3)在=2處,斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec,故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/2+1)4)在=7處,斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec,故有一階微分環(huán)節(jié)(s/7+1)例:例:已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解解:1)由于低頻段斜率為-40dB/dec所以有兩個(gè)積分環(huán)節(jié) 3)在=30處,斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec,故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/30+1)2)在=0.8處,斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec,故有一 階 微 分 環(huán) 節(jié)(s/0.8+1)4)在=50處,斜率由-40dB/dec變?yōu)?60dB/dec,故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/50+1)根據(jù)根據(jù)Bode圖所示圖所示,縱軸設(shè)在縱軸設(shè)在 處處,首段線與縱軸的首段線與縱軸的50dB點(diǎn)相交點(diǎn)相交,由由 ,若將若將Bode圖的首段線延長(zhǎng)至與橫軸相交圖的首段線延長(zhǎng)至與橫軸相交,則交點(diǎn)應(yīng)為則交點(diǎn)應(yīng)為 4.5 4.5 由單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 單位脈沖函數(shù)的傅里葉變換等于1,即對(duì)于說(shuō)明 中隱含著幅值相等的各種頻率,如果對(duì)系統(tǒng)輸入一個(gè)單位脈沖,則相當(dāng)于用等單位強(qiáng)度的所有頻率去激發(fā)系統(tǒng)。當(dāng)輸入 時(shí),系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于其輸出的傅里葉變換,即:由于傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上推出的傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上推出的,4.6 4.6 對(duì)數(shù)幅相頻率特性對(duì)數(shù)幅相頻率特性(NicholsNichols圖圖)對(duì)數(shù)幅相頻特性也稱(chēng)為尼柯?tīng)査箞D是將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。特點(diǎn):1)以頻率 為參變量;2)橫坐標(biāo)為頻率特性的相角,單位度或弧度;3)縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)為頻率特性的對(duì)數(shù)幅值對(duì)數(shù)幅值,單位分貝;4)橫、縱坐標(biāo)都是線性分度。以頻率為參變量表示對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系:L(L()()()4.7 4.7 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性研究閉環(huán)頻率特性的必要性研究閉環(huán)頻率特性的必要性(1)閉環(huán)頻率特性的一些特征量在實(shí)際工程中 應(yīng)用十分廣泛;(2)通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法很容易得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性;(3)通過(guò)閉環(huán)頻率特性可以估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。4.7.1 4.7.1 由開(kāi)環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性由開(kāi)環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性R(s)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):C(s)G(s)H(s)+-系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性:由于求出的閉環(huán)頻率特性的分子分母通常由于求出的閉環(huán)頻率特性的分子分母通常不是因式分解的形式不是因式分解的形式,故其頻率特性圖一般不如故其頻率特性圖一般不如開(kāi)環(huán)頻率特性圖容易畫(huà)開(kāi)環(huán)頻率特性圖容易畫(huà),已知開(kāi)環(huán)幅率特性已知開(kāi)環(huán)幅率特性,也也可以定性地估計(jì)閉環(huán)頻率特性??梢远ㄐ缘毓烙?jì)閉環(huán)頻率特性。單位單位反饋系統(tǒng)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性:一般在實(shí)際系統(tǒng)中其開(kāi)環(huán)頻率特性具有低通特性,即低頻時(shí)低頻段時(shí),高頻段時(shí),因此,低頻時(shí)閉環(huán)的輸出信號(hào)幅值和相位均與輸入基本相等。因此,低頻時(shí)閉環(huán)的輸出信號(hào)幅值和相位均與輸入基本相等。高頻時(shí)高頻時(shí)閉環(huán)的輸出信號(hào)幅值和相位均與開(kāi)環(huán)特性基本相同。閉環(huán)的輸出信號(hào)幅值和相位均與開(kāi)環(huán)特性基本相同。向量法向量法乃氏圖乃氏圖 向量作圖法主要說(shuō)明通過(guò)給定的開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng) ,根據(jù)式計(jì)算閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅頻特性 及相頻特性 的幾何關(guān)系。類(lèi)似于地圖上等高線的思路,我們可以求出閉環(huán)頻率特性的等幅值軌跡(即M圓)和等相角軌跡(即N圓),利用M圓和N圓可以由開(kāi)環(huán)頻率特性的乃奎斯特曲線求出閉環(huán)頻率特性。隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用日益普及,也可以更方便地由計(jì)算機(jī)求得閉環(huán)頻率特性。4.7.2 4.7.2 控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo) 1 1)開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo))開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo) 開(kāi)環(huán)剪切頻率,rad/s 相位裕度 幅值裕度2 2)閉環(huán)頻域指標(biāo)閉環(huán)頻域指標(biāo) 0M()br21MrM(0)0.707M(0)0.5M(0)Mmm(1)零頻的幅值M(0)M(0),反映系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下是否存在靜差。在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性上對(duì)應(yīng)于幅值在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性上對(duì)應(yīng)于幅值20lg|A(w)|=0即與零軸交點(diǎn)的角頻率稱(chēng)為剪切頻率即與零軸交點(diǎn)的角頻率稱(chēng)為剪切頻率(2)諧振峰值MMr r,反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性。(諧振頻率r)(3)截止頻率(帶寬頻率)b,反映系統(tǒng)的快速性。(帶寬:0 b)(4)閉環(huán)幅頻M()在 b b 處的斜率反映系統(tǒng)抗高頻干擾的能力。(5)復(fù)現(xiàn)頻率 mm,mm,A()A()。0M()br21MrM(0)0.707M(0)0.5M(0)Mmm諧振峰值諧振峰值Mr則諧振頻率則諧振頻率r若二階閉環(huán)系統(tǒng)為若二階閉環(huán)系統(tǒng)為第四章作業(yè)第四章作業(yè) 4-2(2),4-4,4-6(a)(d)(e),4-8(4)
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控制工程基礎(chǔ)
控制工程
基礎(chǔ)
配套
課件
- 資源描述:
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《控制工程基礎(chǔ)》第3版配套課件,控制工程基礎(chǔ),控制工程,基礎(chǔ),配套,課件
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